歷屆真題專題【年高考試題】一、選擇題:1.(年高考山東卷理科11)下圖是長和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A【解析】對于①,可以是放倒的三棱柱；容易判斷②③可以.2.(年高考浙江卷理科3)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是4.(年高考安徽卷理科6)一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（A）48(B)32+8(C)48+8(D)80【答案】C【命題意圖】本題考查三視圖的識(shí)別以及空間多面體表面積的求法.【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，。故【解題指導(dǎo)】：三視圖還原很關(guān)鍵，每一個(gè)數(shù)據(jù)都要標(biāo)注準(zhǔn)確。5.(年高考遼寧卷理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下故AC⊥平面ABD,因?yàn)镾B平面ABD,所以AC⊥SB，正確.對于B：因?yàn)锳B//CD,所以AB//平面SCD.對于C:設(shè).因?yàn)锳C⊥平面ABD，所以SA和SC在平面SBD內(nèi)的射影為SO，則∠ASO和∠CSO就是SA與平面SBD所成的角和SC與平面SBD所成的角，二者相等，正確.故選D.6.(年高考遼寧卷理科12)已知球的直徑SC=4，A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，，則棱錐S-ABC的體積為（）（A）（B）（C）（D）1第6題圖答案：D解析：由主視圖和府視圖可知，原幾何體是由后面是半個(gè)圓錐，前面是三棱錐的組合體，所以，左視圖是D.點(diǎn)評：本題考查三視圖、直觀圖及他們之間的互化，同時(shí)也考查空間想象能力和推理能力，要求有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。8．(年高考江西卷理科8)已知，，是三個(gè)相互平行的平面．平面，之間的距離為，平面，之間的距離為．直線與，，分別相交于，，，那么“=”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】過點(diǎn)作平面的垂線g,交平面，分別于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知∥,所以,故選C.332正視圖332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1A.B.C.D.答案：B解析：由三視圖可以還原為一個(gè)底面為邊長是3的正方形，高為2的長方體以及一個(gè)直徑為3的球組成的簡單幾何體，其體積等于。故選B評析：本小題主要考查球與長方體組成的簡單幾何體的三視圖以及幾何體的體積計(jì)算.10.(年高考廣東卷理科7)如圖l—3．某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【解析】B.由題得三視圖對應(yīng)的直觀圖是如圖所示的直四棱柱，。所以選B11.(年高考陜西卷理科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 （A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】：由三視圖可知該幾何體為立方體與圓錐，立方體棱長為2，圓錐底面半徑為1、高為2，所以體積為故選A12.(年高考重慶卷理科9)高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（A）（B）（C）1（D）解析：選C.設(shè)底面中心為G，球心為O，則易得，于是，用一個(gè)與ABCD所在平面距離等于的平面去截球，S便為其中一個(gè)交點(diǎn)，此平面的中心設(shè)為H，則，故，故13．(年高考四川卷理科3)，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()(A)，（B），(C)，，共面（D），，共點(diǎn)，，共面【答案】C【解析】如圖，作于，由為直二面角，，得平面，進(jìn)而,又,,于是平面。故為到平面的距離。在中，利用等面積法得15.(年高考全國卷理科11)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為(A)(B)(c)(D)【答案】D【解析】：由圓的面積為得，，在故選D二、填空題:1.(年高考遼寧卷理科15)一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是____________.答案：小，正確運(yùn)用公式求解。3．(年高考天津卷理科10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則這個(gè)幾何體的體積為__________【答案】【解析】由題意知,該幾何體為一個(gè)組合體,其下面是一個(gè)長方體(長為3m,寬為2m,高為1m),上面有一個(gè)圓錐(底面半徑為1,高為3),所以其體積為.4.(年高考四川卷理科15)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是.答案：解析：時(shí)，，則5.(年高考全國卷理科16)己知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.6．(年高考福建卷理科12)三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于______。【答案】7．(年高考上海卷理科7)若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為。【答案】；三、解答題:1.(年高考山東卷理科19)（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠

ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ)若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．【解析】（Ⅰ)連結(jié)AF,因?yàn)镋F∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證∽,所以,即,即,又M為AD的中點(diǎn),所以,又因?yàn)椋疲恰危拢谩危罝，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GM∥FA,又因?yàn)椋牵推矫妫粒拢疲?FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)CO,因?yàn)椋粒茫剑拢?所以CO⊥AB,又因?yàn)椋牛痢推矫妫粒拢茫模珻O平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,又ＥＡ∩AB=A,所以CO⊥平面ＡＢＦＥ,在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)O作OH⊥BF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知:CH⊥BF,所以為二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的平面角.設(shè)ＡＢ=２ＥＦ=,因?yàn)椤?/p>

ACB=，ＡＣ＝ＢＣ=,CO=,,連結(jié)FO,容易證得FO∥EA且,所以,所以O(shè)H==,所以在中,tan∠

CHO=,故∠

CHO=,所以二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小為.2.(年高考浙江卷理科20)（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。【解析】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量即，可取由即得可取，由得解得，故綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，法二（Ⅰ）證明：又因?yàn)樗云矫婀剩á颍┤鐖D，在平面內(nèi)作由（Ⅰ）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，，在中，所以得，在中，得又即，.故平面DCQ，又平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.4.(年高考安徽卷理科17)（本小題滿分12分）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，,△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）證明直線∥；（=2\*ROMANII）求棱錐F-OBED的體積。【命題意圖】：本題考查空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計(jì)算，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（1）【證法一】：同理可證，【解題指導(dǎo)】：空間線線、線面、面面位置關(guān)系的證明方法，一是要從其上位或下位證明，本題的第一問方法一，是從其上位先證明面面平行，再借助面面平行的性質(zhì)得到線面平行，再借助線面平行的性質(zhì)得到線線平行；二是借助中位線定理等直接得到；三是借助空間向量直接證明。求不規(guī)則的幾何體體積或表面積，通常采用分割或補(bǔ)齊成規(guī)則幾何體即可。求解過程要堅(jiān)持“一找二證三求”的順序和原則防止出錯(cuò)。5.(年高考全國新課標(biāo)卷理科18)(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要證明線線垂直只要證明線面垂直或者用向量去證明；（2）求二面角的余弦只需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，有空間向量來完成。解：(1)證明：在三角形ABD中，因?yàn)樵撊切螢橹苯侨切危?（2）建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是則，設(shè)平面PAB的法向量為，所以，取得，同理設(shè)平面PBC的法向量為，取得，于是，，因此二面角的余弦值是。點(diǎn)評：該題考查空間內(nèi)的垂直關(guān)的證明，空間角的計(jì)算。考查定理的理解和運(yùn)用，空間向量的運(yùn)用。同時(shí)也考察了空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。解題時(shí)要注意法向量的計(jì)算和運(yùn)用這一關(guān)鍵。6.(年高考天津卷理科17)（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求線段的長．所以二面角的正弦值為.（Ⅲ）由N為棱的中點(diǎn),得,設(shè),則,由平面,得,即,解得,故,因此,所以線段的長為.7.(年高考江西卷理科21)（本小題滿分14分）（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的，使得且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：求該正四面體的體積．解析：如圖，將此正四面體補(bǔ)形為正方體（如圖），分別取AB、CD、、的中點(diǎn)E、F、、，平面與是分別過點(diǎn)、的兩平行平面，若其距離為1，則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長為，若，因?yàn)椋谥苯侨切蜛DE中，AM⊥DE，所以，所以，又正四面體的棱長為，所以此正四面體的體積為．本題考查立體幾何中的面面關(guān)系、正四面體及體積計(jì)算．8．(年高考湖南卷理科19)（本小題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知=，⊙O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面平面;（Ⅱ）求二面角的余弦值.解法1：連結(jié)OC，因?yàn)橛值酌妗袿，AC底面⊙O，所以，因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，過O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，過O作于G，連接HG，則有平面OGH，從而，故為二面角B—PA—C的平面角。在在在在所以故二面角B—PA—C的余弦值為解法2：（I）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面POD的一個(gè)法向量，則由，得所以設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由，得所以得。因?yàn)樗詮亩矫嫫矫鍼AC。（II）因?yàn)閥軸平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為由（I）知，平面PAC的一個(gè)法向量為,設(shè)向量的夾角為，則由圖可知，二面角B—PA—C的平面角與相等，所以二面角B—PA—C的余弦值為PBG 又PB//EF，得，而DE//GB得ADDE，又，所以AD平面DEF。（2）， 為二面角P—AD—B的平面角， 在 在 法二：（1）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)?又為等邊三角形，因此，，從而平面PBG。 由于 得 平面DEF。（2） 取平面ABD的法向量 設(shè)平面PAD的法向量 由 取 10.(年高考湖北卷理科18)（本小題滿分12分）如圖，已知，本棱柱ABC-A1B1C1CC1上，且不與點(diǎn)C重合.(Ⅰ)當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1E(Ⅱ)設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求的最小值.本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.解析：過E點(diǎn)作EN⊥AC于N，連結(jié)EF.（Ⅰ）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直線柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面A1C又底面ABC∩側(cè)面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN⊥側(cè)面A1C，為EF在側(cè)面內(nèi)的射影.在Rt△CEN中，CN=cos600=1.則由，得，又，故作，由三垂線定理知.（Ⅱ）如圖2。連結(jié)AF，過N作NM⊥AF于M，連結(jié)ME，由（Ⅰ）知EN⊥側(cè)面A1C。根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF,所以EM⊥AF，所以是二面角的平面角，即.設(shè)則.在中.在中，，故，又，.故當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，.此時(shí)F與C1重合.11.(年高考陜西卷理科16)（本小題滿分12分）如圖：在，沿把折起，使（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）設(shè)。【解析】：（Ⅰ）折起前，當(dāng)。（Ⅱ）由及（Ⅰ）知兩兩垂直，不妨設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以軸建立如圖所示的空間（Ⅱ）如圖所示設(shè)G、H分別為變CD，BD的中點(diǎn)，則FG//AD,GH//BC,,從而是異面直線與所成角或其補(bǔ)角。設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF//BC,由⊥，知⊥，又由（Ⅰ）有DF⊥平面，故由三垂線定理知⊥,所以為二面角--的平面角,由題設(shè)知，設(shè)AD=a，則DF=ADsinCAD=在中，，從而因，故BD=AD=a.從而，在中，,又,從而在中，因FG=FH，由余弦定理得,故異面直線與所成角的余弦值為.13．(年高考四川卷理科19)(本小題共l2分)如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1(I)求證：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．(3)因?yàn)椋?,在中，，（Ⅱ）過做平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可計(jì)算平面的一個(gè)法向量是，所以與平面所成角為15.(年高考安徽卷江蘇16)如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，16．(年高考北京卷理科16)（本小題共14分） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求證：平面 （Ⅱ）若求與所成角的余弦值； （Ⅲ）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長.證明：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O.因?yàn)椤螧AD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.17．(年高考福建卷理科20)（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；（II）設(shè)AB=AP．（=1\*romani）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；（=2\*romanii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由。解析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分14分。解法一：（I）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設(shè)平面PCD的法向量為，由，，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設(shè)，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。18．(年高考上海卷理科21)（14分）已知是底面邊長為1的正四棱柱，是和的交點(diǎn)。（1）設(shè)與底面所成的角的大小為，二面角的大小為。求證：；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高。解：設(shè)正四棱柱的高為。⑴連，底面于，∴與底面所成的角為，即∵，為中點(diǎn)，∴，又，∴是二面角的平面角，即∴，。⑵建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∵，取得∴點(diǎn)到平面的距離為，則。【高考試題】（浙江理數(shù)）（6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（A）若，，則（B）若，，則（C）若，，則（D）若，，則解析：選B，可對選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢查。本題主要考察了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊(yùn)含了對定理公理綜合運(yùn)用能力的考察，屬中檔題。（全國卷2理數(shù)）（11）與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點(diǎn)（A）有且只有1個(gè)（B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè)（D）有無數(shù)個(gè)【答案】D【解析】直線上取一點(diǎn)，分別作垂直于于則分別作，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方體中各個(gè)表面、對等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三條棱AB、CC1、A1D1.所在直線的距離相等所以有無窮多點(diǎn)滿足條件，故選D.（全國卷2理數(shù)）（9）已知正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（A）1（B）（C）2（D）3（遼寧理數(shù)）(12)(12)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是(A)（0,）(B)（1,）(C)(,）(D)（0,）【答案】A【命題立意】本題考查了學(xué)生的空間想象能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。【解析】根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架，有以下兩種情況：（1）地面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，a，a，如圖，此時(shí)a可以取最大值，可知AD=，SD=，則有<2+，即（江西理數(shù)）10.過正方體的頂點(diǎn)A作直線L，使L與棱,,所成的角都相等，這樣的直線L可以作A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】D【解析】考查空間感和線線夾角的計(jì)算和判斷，重點(diǎn)考查學(xué)生分類、劃歸轉(zhuǎn)化的能力。第一類：通過點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對角線AC1，第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條。（北京理數(shù)）(8)如圖，正方體ABCD-的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），則四面體PEＦＱ的體積（Ａ）與ｘ，ｙ，ｚ都有關(guān)（Ｂ）與ｘ有關(guān)，與ｙ，ｚ無關(guān)（Ｃ）與ｙ有關(guān)，與ｘ，ｚ無關(guān)（Ｄ）與ｚ有關(guān)，與ｘ，ｙ無關(guān)答案：D（北京理數(shù)）（3）一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為答案：C（四川理數(shù)）（11）半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，是平面內(nèi)邊長為的正三角形，線段、分別與球面交于點(diǎn)M，N，那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是（A）（B）（C）（D）解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝cos∠BAC＝連結(jié)OM，則△OAM為等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝，連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是答案：A（全國卷1理數(shù)）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(A)(B)(C)(D)（全國卷1理數(shù)）（7）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為（A）（B）（C）（D）（山東理數(shù)）(3)在空間，下列命題正確的是（A）平行直線的平行投影重合（B）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行（C）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行（D）垂直于同一平面的兩條直線平行【答案】D【解析】由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以得出答案。【命題意圖】考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題。1.（安徽理數(shù)）8、一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為A、280 B、292 C、360 D、3728.C【解析】該幾何體由兩個(gè)長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個(gè)側(cè)面積之和。.【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決問題的關(guān)鍵.又三視圖很容易知道是兩個(gè)長方體所以∥，故∥∥，所以選項(xiàng)A、C正確；因?yàn)槠矫妫危云矫妫制矫妫剩赃x項(xiàng)B也正確，故選D。【命題意圖】本題考查空間中直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力。（浙江理數(shù)）（12）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是___________.解析：圖為一四棱臺(tái)和長方體的組合體的三視圖，由卷中所給公式計(jì)算得體積為144，本題主要考察了對三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的識(shí)別以及幾何體體積的計(jì)算，屬容易題（遼寧理數(shù)）（15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長的一條棱的長為______.【答案】【命題立意】本題考查了三視圖視角下多面體棱長的最值問題，考查了同學(xué)們的識(shí)圖能力以及由三視圖還原物體的能力。【解析】由三視圖可知，此多面體是一個(gè)底面邊長為2的正方形且有一條長為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以最長棱長為（江西理數(shù)）16.如圖，在三棱錐中，三條棱，，兩兩垂直，且>>,分別經(jīng)過三條棱，，作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，，則，，的大小關(guān)系為。【答案】【解析】考查立體圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，通過補(bǔ)形，借助長方體驗(yàn)證結(jié)論，特殊化，令邊長為1，2，3得。（北京理數(shù)）（14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)。設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為說明：“正方形PABC沿軸滾動(dòng)”包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動(dòng)。沿軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類似地，正方形PABC可以沿軸負(fù)方向滾動(dòng)。答案：4（四川理數(shù)）（15）如圖，二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是.解析：過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線.垂足為D連結(jié)AD，有三垂線定理可知AD⊥l，CD故∠ADC為二面角的平面角，為60°CD又由已知，∠ABD＝30°連結(jié)CB，則∠ABC為與平面所成的角設(shè)AD＝2，則AC＝，CD＝1AB＝＝4∴sin∠ABC＝答案：（天津理數(shù)）（12）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為【答案】【解析】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體積的計(jì)算，屬于容易題。由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面邊長為1，高為2的正四棱柱與一個(gè)底面邊長為2，高為1的正四棱錐組成的組合體，因?yàn)檎褥`珠的體積為2，正四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積V=2+=【溫馨提示】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何體的形狀，求錐體體積時(shí)不要丟掉哦。（湖北文數(shù)）14.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm的水，若放入三個(gè)相同的珠（球的半么（湖南理數(shù)）13．圖3中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20的幾何體的三視圖，則．（湖北理數(shù)）13.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是cm。13.【答案】4【解析】設(shè)球半徑為r，則由可得,解得r=4.（福建理數(shù)）12．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于．【答案】【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為，側(cè)面積為，所以其表面積為。【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識(shí)圖的能力、空間想象能力等基本能力。（浙江理數(shù)）（20）（本題滿分15分）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將翻折成，使平面.（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。解析：本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同事考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。（Ⅰ）解：取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?及H是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，-2x+2y+2z=0所以6x=0.取，則。又平面的一個(gè)法向量，故。所以二面角的余弦值為（Ⅱ）解：設(shè)則，因?yàn)榉酆螅c重合，所以，故，，得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。方法二：（Ⅰ）解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)。因?yàn)?及是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?又平面,故，又因?yàn)椤⑹恰⒌闹悬c(diǎn)，易知∥，所以，于是面，所以為二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值為。（Ⅱ）解：設(shè),因?yàn)榉酆螅c重合，所以，而，得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。（全國卷2理數(shù)）（19）如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大小．【命題意圖】本試題主要考查空間的線面關(guān)系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計(jì)算的能力.【參考答案】(19)解法一：（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊鍭A1BB1為正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點(diǎn)，故DE∥BF，DE⊥AB1.………………3分作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn).又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD.所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.（II）因?yàn)镈G∥AB1，故∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角，∠CDG=45°設(shè)AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A1C1，H為垂足，因?yàn)榈酌鍭1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH為二面角A1【點(diǎn)評】三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一，是高考的的熱點(diǎn)，它是處理線線垂直問題的有效方法，同時(shí)它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過引入空間向量，用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化，這是用向量解立體幾何問題的獨(dú)到之處.（遼寧理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分（Ⅰ）,因?yàn)椋訡M⊥SN……6分（Ⅱ）,設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，則……9分因?yàn)樗許N與片面CMN所成角為45°。……12分（江西理數(shù)）20.（本小題滿分12分）如圖△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。求點(diǎn)A到平面MBC的距離；求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本題以圖形拼折為載體主要考查了考查立體圖形的空間感、點(diǎn)到直線的距離、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識(shí)，同時(shí)也考查了空間想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延長AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距離相等，作OHBC于H，連MH，則MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用體積相等得：。（2）CE是平面與平面的交線.由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°.，，所以，所求二面角的正弦值是.【點(diǎn)評】傳統(tǒng)方法在處理時(shí)要注意到輔助線的處理，一般采用射影、垂線、平行線等特殊設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.【點(diǎn)評】向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來越常見，此類方法的要點(diǎn)在于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，便于計(jì)算，位置關(guān)系明確，以計(jì)算代替分析，起到簡化的作用，但計(jì)算必須慎之又慎（重慶理數(shù)）（19）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分）如題（19）圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。求直線AD與平面PBC的距離；若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。（北京理數(shù)）（16）（本小題共14分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。證明：（I）設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G。因?yàn)镋F//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF//平面EG，因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.所以且令則.所以.從而。因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的大小為.（四川理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，點(diǎn)M是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對角線BD'的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；（Ⅲ）求三棱錐M－OBC的體積.本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。MN=1,NH=Bnsin45°=在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M-BC’-B’的大小為arctan2(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’內(nèi)點(diǎn)O到平面MA’D’距離h＝VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA’的中點(diǎn),點(diǎn)O是BD’的中點(diǎn)所以M(1,0,),O(,,),=(0,0,1),=(-1,-1,1)=0,+0=0所以O(shè)M⊥AA’,OM⊥BD’又因?yàn)镺M與異面直線AA’和BD’都相交故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線.………………4分(2)設(shè)平面BMC'的一個(gè)法向量為=(x,y,z)=(0,-1,),＝(－1,0,1)即取z＝2,則x＝2,y＝1，從而=(2,1,2)取平面BC'B'的一個(gè)法向量為＝(0,1,0)cos由圖可知，二面角M-BC'-B'的平面角為銳角故二面角M-BC'-B'的大小為arccos………………9分(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝設(shè)平面OBC的一個(gè)法向量為＝(x1,y1,z1)＝(－1,－1,1),＝(－1,0,0)即取z1＝1,得y1＝1，從而＝(0,1,1)點(diǎn)M到平面OBC的距離d＝VM－OBC＝…………12分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,,,解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)椋裕瑥亩钟捎?所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)椋訟F⊥平面A1(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在（1）證明：EB⊥FD；（2）已知點(diǎn)Q,R分別為線段FE,FB上的點(diǎn)，使得,求平面與平面所成二面角的正弦值．．故平面與平面所成二面角的正弦值是．（全國卷1理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）證明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.（山東理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）如圖，在五棱錐P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱錐P—ACDE的體積．【解析】（Ⅰ）證明：因?yàn)锳BC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因?yàn)椋云矫鍼CD⊥平面PAC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)A作于H，則，又AB∥CD，AB平面內(nèi)，所以AB平行于平面，所以點(diǎn)A到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，過點(diǎn)B作BO⊥平面于點(diǎn)O，則為所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直線PB與平面PCD所成角的大小為；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四邊形ACDE的面積為，所以四棱錐P—ACDE的體積為=。（湖南理數(shù)）（湖北理數(shù)）18．(本小題滿分12分)如圖，在四面體ABOC中,,且（Ⅰ）設(shè)為為的中點(diǎn)，證明：在上存在一點(diǎn)，使，并計(jì)算的值；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。（福建理數(shù)）概率為。（i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值。【命題意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。【解析】（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（Ⅱ）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為=，又因?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，從而，而圓柱的體積，故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，由，故，取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋浴＃ò不绽頂?shù)）18、（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)。(Ⅰ)求證：∥平面；(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求二面角的大小。（江蘇卷）16、（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。求證：PC⊥BC；求點(diǎn)A到平面PBC的距離。[解析]本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。滿分14分。（1）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因?yàn)镻C平面PCD，故PC⊥BC。（2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。（方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積。由，，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。【高考試題】9.(廣東文6理5)給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④答案：D解析：①錯(cuò),②正確,③錯(cuò),④正確.故選D10.（寧夏海南文理11）一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24解析：選A.11.(寧夏海南文9理8)如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（A）（B）（C）三棱錐的體積為定值（D）異面直線所成的角為定值解析：A正確，易證B顯然正確，；C正確，可用等積法求得；D錯(cuò)誤。選D.12.(山東文理4)一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().A.B.C.D.2222側(cè)(左)視圖222正(主)視圖解析：:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為.答案:C【命題立意】:本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準(zhǔn)確地計(jì)算出.幾何體的體積.的中心，則與平面所成角的大小是()A．B．C．D．答案：C解析：取BC的中點(diǎn)E，則面，，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即有3.(天津文理12)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則_______【考點(diǎn)定位】本小題考查三視圖、三棱柱的體積，基礎(chǔ)題。解析：知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長為2，底邊上的高為的等腰三角形，所以有4.(江蘇12)設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號▲（寫出所有真命題的序號）.解析：考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號是(1)(2)隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OGAF，G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角B－AF－D的平面角。由，，得，由，得由知，平面ABF與平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。因?yàn)镋A⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而由得。又因?yàn)楣仕睦忮FH-ABCD的體積15.(·福建理17)（13分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，，，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)求異面直線NE與AM所成角的余弦值在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).17.(·廣東理18)（本小題滿分１４分）如圖６，已知正方體的棱長為２，點(diǎn)Ｅ是正方形的中心，點(diǎn)Ｆ、Ｇ分別是棱的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)Ｅ，Ｇ在平面內(nèi)的正投影．（１）求以Ｅ為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（２）證明：直線；（３）求異面直線所成角的正統(tǒng)值（3），，則，設(shè)異（2）用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線。(18)解：(1)解法一：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG，.設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長為2，則MG⊥CD，MG=2，NG=，.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF。可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角。因?yàn)镸N=，所以，故MN與平面DCEF所成的角的正弦值為.所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設(shè)不成立.所以ME與BN不共面，它們是異面直線.20.(·寧夏海南理19)（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是地面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。解法一：（Ⅰ）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.(Ⅱ)設(shè)正方形邊長，則。又，所以,連，由（Ⅰ）知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。（Ⅲ）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使由（Ⅱ）可得，故可在上取一點(diǎn),使,過作的平行線與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（Ⅰ）；連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。設(shè)底面邊長為，則高。于是故，從而(Ⅱ)由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，設(shè)所求二面角為，則,所求二面角的大小為（Ⅲ）在棱上存在一點(diǎn)使.由（Ⅱ）知是平面的一個(gè)法向量，且設(shè)則而，即當(dāng)時(shí)，而不在平面內(nèi)，故（2）因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OB⊥CF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角,在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵∴,在Rt△OPF中,,,所以,所以,所以直線EE//平面FCC.（2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,,,所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算.考查空間因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為．26．(江蘇16)（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面.[解析]本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。27．（·天津文理19）（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。（II）證明：因?yàn)椋↖II）由（I）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得（I）所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為【高考試題】5.（·山東卷）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(A)9π（B）10π(C)11π(D)12π解析：考查