高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協作體2023-2024學年高二下學期期末考試數學試題第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合中至少有2個元素，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為集合中至少有2個元素，所以，解得，故選：D2.已知命題，，則的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題，，等價于恒成立；又在單調遞減，在單調遞增，，故在上的最大值為；故恒成立，即，也即命題的充要條件為；結合選項，的一個充分不必要條件是.故選：B.3.此時此刻你正在做這道選擇題，假設你會做的概率是，當你會做的時候，又能選對正確〖答案〗的概率為100%，而當你不會做這道題時，你選對正確〖答案〗的概率是0.25，那么這一刻，你答對題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0〖答案〗A〖解析〗設“考生答對題目”為事件，“考生知道正確〖答案〗”為事件，則，所以，故選：A.4.已知數列{an}的通項公式為，則此數列的最大項為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：－＝·，當時，，即；當時，，即；當時，，即，所以，所以數列有最大項，為第8項和第9項，且.方法二：設數列的第n項最大，則，即，解得，又，則或，故數列{an}有最大項，為第8項和第9項，且.故選：D5.函數（其中為自然對數的底數）的圖象大致為A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函數，故f（x）圖形關于y軸對稱，排除C，D；又x=1時，<0，∴排除B，故選A．6.已知是數列的前項和，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數列的前項和，由，，得，解得，因此數列是首項為1，公比為4的等比數列，，所以.故選：A7.已知，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式，即，設，則，，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.故只需，所以，即.設，則在上單調遞增，又，所以，設，則，所以在上單調遞增，所以值域為，即的取值范圍為.故選：C8.設，函數，若函數恰有5個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，當時，，此時，由得，即，解得或，所以在上有2個零點；時，若，對稱軸為，函數的大致圖象如圖：此時，即，則，所以無解，則無零點，無零點，綜上，此時只有兩個零點，不符合題意，若，此時的大致圖象如下：令，解得（舍去），顯然在上存在唯一負解，所以要使恰有5個零點，需，即，解得，所以．故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若樣本數據的方差為2，則數據的方差為7B.若，則．C.在一組樣本數據，（，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的線性相關系數為D.以模型去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則值分別是和4〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：若樣本數據的方差為2，則數據的方差為，故A不正確；對于選項B：若，則，故B正確；對于選項C：在一組樣本數據，（，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，其中是線性回歸方程的一次項系數，不是相關系數，相關系數是刻畫一組數據線性相關程度一個量，范圍是[?1，1]，當相關系數為正時呈正相關關系，為負時呈負相關關系，故C不正確；對于選項D：以模型去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和4，故D正確.故選：BD.10.數列滿足，下列說法正確的是（）A.可能為常數列 B.數列可能為公差不為0的等差數列C.若，則 D.若，則的最大項為〖答案〗AD〖解析〗對于A，令，由，可得，解得，A正確；對于B，若數列為公差不為0的等差數列，由，得，則不會是非零常數，B錯誤；對于C，，因此數列是首項為1，公差為的等差數列，則，C錯誤；對于D，，則，即，當時，；當時，，且數列遞減，因此數列的最大項為，D正確.故選：AD11.已知函數的定義域為R，且為偶函數，則（）A. B.為偶函數C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，令，則，故，則，故A正確；對于B，因為的定義域為，關于原點對稱，令，則，又不恒為0，故，所以奇函數，故B錯誤；對于C，因為為偶函數，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項C可知，所以，故的一個周期為6，因為，所以，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若是與的等差中項，2是與的等比中項，則_________．〖答案〗17〖解析〗因為是與的等差中項，所以，因為2是與的等比中項，所以，而.故〖答案〗為：1713.若函數在上有最小值（、為常數），則函數在上最大值為__________.〖答案〗〖解析〗考慮函數，定義域為R，又，所以是奇函數，則，設的最大值為，最小值為，則，又，所以，，所以，則，所以，故〖答案〗為：9.14.已知對任意，且當時，都有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，且，所以.設，，則原問題轉化為在上單調遞減.所以在上恒成立，即，恒成立.因為（當且僅當即時取“”）所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列的前項和，數列滿足，且．（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前項和．解：（1）當時，；當時，，，，由題可得，得，是首項為，公比為2的等比數列，；（2），①，②，①-②得：，.16.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，當時，，所以，當時，，在上為減函數，當時，，在上為增函數，綜上所述：在上為減函數，在上為增函數；（2）若，不等式恒成立，則對均成立，所以令，則，令，顯然為上的減函數，又，所以，，則在上為增函數，當時，，則在上為減函數，所以，所以，所以，所以實數的取值范圍為.17.“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2023年已經培養了6000多名具有創新潛質的優秀中學生，為選拔培養對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優秀學生參加數學、物理、化學學科夏令營活動.（1）若數學組的7名學員中恰有3人來自A中學，從這7名學員中選取3人，表示選取的人中來自A中學的人數，求的分布列和數學期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.解：（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設甲答對題數為，則，設乙答對題數為，則，設“甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設，所以，由二次函數可知當時取最大值，所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18.已知，，是自然對數的底數.（1）當時，求函數的極值；（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）當時，若滿足，求證：.解：（1）當時，，定義域為，求導可得，令，得，當時，，函數在區間上單調遞減，當時，，函數在區間上單調遞增，所以在處取到極小值為0，無極大值.（2）方程，當時，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個不等實根，即與的圖象有2個交點，，當或時，，在區間和上單調遞減，并且時，，當時，，當時，，在區間上單調遞增，時，當時，取得最小值，，作出函數的圖象，如圖所示：因此與有2個交點時，，故的取值范圍為.（3），由，得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數在上單調遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當且僅當，即時，等號成立.所以函數在上單調遞增.由，可得，即，所以，又函數在上單調遞減，所以，即得證.19.定義:如果數列從第三項開始，每一項都介于前兩項之間，那么稱數列為“跳動數列"．（1）若數列的前項和滿足，且，求的通項公式，并判斷是否為“跳動數列”(直接寫出判斷結果，不必寫出過程)；（2）若公比為的等比數列是“跳動數列”，求的取值范圍；