高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省肇慶市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷注意事項：1．本試卷共150分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若函數（為自然對數的底數），則（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗函數，求導得，所以.故選：B2.已知某獨立性檢驗中，由計算出，若將列聯表中數據分別變成，計算出的，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以故選：B3.求整數的正整數因數時可將其改寫成若干個質數的乘積，例如的正整數因數只需分別從中各選一個元素相乘即可，則500的正整數因數的個數為（）A.12 B.15 C.16 D.18〖答案〗A〖解析〗因為，由題意可知：500的正整數因數只需分別從中各選一個元素相乘即可，所以500的正整數因數的個數為.故選：A.4.已知函數，若，則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以在上單調遞減.因為，所以，所以，即.故選：B.5.已知隨機變量，若方差，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，解得或，所以.故選：D6.直線與曲線相切于點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，依題意，解得，，解得，所以.故選：C7.若，則（）A.4048 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗的展開式的通項公式為，結合，知均為負值，，令，得，故，故選：D.8.已知函數，且，為自然對數的底數恰有兩個極值點，，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，因為函數恰有兩個極值點、，所以有兩個變號零點，即方程有兩個不相等的實數根，令，則的圖象與直線有兩個不同的交點，因為，設過原點的切線的切點為，則切線方程為，則，所以，即，所以切線斜率，當時，則，解得；當時，則，解得綜上可得實數的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關于一元線性回歸的敘述正確的有（）A.若相關系數，則與的相關程度很強B.殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，說明選用模型比較合適C.決定系數越大，模型的擬合效果越差D.經驗回歸直線經過所有樣本點〖答案〗AB〖解析〗對于A，越接近于1，相關性越強，A正確；對于B，殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，擬合效果較好，選用模型比較合適，B正確；對于C，決定系數越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，C錯誤；對于D，樣本點分布在經驗回歸直線附近，D錯誤.故選：AB10.已知是互不相等的正數，隨機變量的分布列如下表所示，若既成等差數列也成等比數列，的期望和方差分別為和，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因既成等差數列也成等比數列，則有，將①代入②中，化簡整理得，，則有，回代入①，可得，由分布列可知，故得，.依題意，，,故，故A正確，B錯誤；，而可得，，則得,故D正確，C錯誤.故選：AD.11.微分方程（由導函數求原函數）是微積分的重要分支，例如根據導函數，逆用復合函數的求導法則得（為常數）．已知函數的導函數滿足，且，則下列說法正確的有（）A.B.若，則（為常數）C.是函數的極值點D.函數在上單調遞減〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由，當時，，而，則，A正確；對于B，，且（為常數），B正確；對于CD，由選項B知，，又，則，，求導得，當且僅當時取等號，因此函數在上單調遞減，無極值點，C錯誤，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設隨機變量服從正態分布，且，則______．〖答案〗〖解析〗因為服從正態分布，且，則，且，所以.故〖答案〗為：.13.用模型擬合一組數據，令，將模型轉化為經驗回歸方程，則______．〖答案〗〖解析〗因為，兩邊取自然對數可得，令，可得，又，所以，，所以，所以.故〖答案〗為：14.拋擲一校質地均勻的正四面體骰子（四個面上分別標有數字1，2，3，4），底面的點數為1記為事件，拋擲次后事件發生奇數次的概率記為，則______，______.〖答案〗①②〖解析〗拋擲1次后事件A發生奇數次，只能是發生1次，；拋擲n次后事件A發生，拋擲n次后事件A發生奇數次的概率記為當為偶數時，，當為奇數時，，構造二項式，令，，令，，兩式做差得，可得，因為，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）當時，求的極值；（2）討論的單調性．解：（1）當時，則，可知的定義域為，且，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，所以的極大值為，無極小值.（2）由題意可知：的定義域為，且，若，則，可知在內單調遞減；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減；綜上所述：若，在內單調遞減；若，在內單調遞增，在內單調遞減.16.小華同學設置手機密碼的六位數字時，準備將的前6位數字（1，1，3，4，5，9）按照一定的順序進行設置．（1）記事件：相同的數字相鄰，求事件發生的概率；（2）記事件：相同的數字不相鄰，求事件發生的概率；（3）記事件：相同數字不相鄰，且相同數字之間只有一個數字，求在事件發生的條件下，事件發生的概率．解：（1）依題意，在事件中，要求兩個1需相鄰，故只需要將其看成一個元素與另外四個數字全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：（2）在事件中，要求兩個1不能相鄰，故只需先將這兩個1對另外4個數字產生5個空中進行插空，再對這四個數字進行全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：；（3）在事件中，要求相同數字不相鄰，且相同數字之間只有一個數字，故只需先在3，4，5，9中選出1個數字放在兩個1之間，再看成1個元素，與另外3個元素共4個元素全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：,由條件概率公式可得，.17.如圖，在正方體的頂點處各掛一盞燈籠，每秒有且只有一個頂點處的燈籠被點亮，下一秒被點亮的燈籠必須與上一個頂點相鄰（在同一條棱上），且每個相鄰頂點的燈籠被點亮的概率相同，下一盞燈籠被點亮上一盞自動熄滅．若初始亮燈點位于點處，第秒亮燈點在底面上的概率為．（1）求和的值；（2）推測與的關系，并求出的表達式．解：（1）依題意第一秒燈點等可能的在頂點、、處，其中在底面上的頂點為、，所以，第一秒燈點在頂點為、處（概率為），第二秒燈點在底面上的概率為；第一秒燈點在頂點為處（概率為），第二秒燈點在底面上的概率為；所以第二秒燈點在底面上的概率；（2）第秒亮燈點在底面上的概率為，在底面上的概率為，所以，所以，所以是以，公比為的等比數列，所以，則.18.已知函數（是自然對數的底數）．（1）設直線為曲線的切線，記直線的斜率的最大值為，求的最大值；（2）已知,設求證：．解：（1）由題意可知：的定義域為，且，令，則的定義域為，且，因為，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，則的最大值為，可知，且在內單調遞減，所以的最大值為.（2）由已知，則，由（1）可知：在內單調遞增，且，可知；又因為在內單調遞減，且，可知；且，令，則，可知在內單調遞減，則，即，所以.19.某省高考自2024年起數學考試多選題（題號9~11）的計分標準是：每道題滿分6分，全部選對得6分，部分選對得部分分（若某道題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某道題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分），錯選或不選得0分．每道多選題共4個選項，正確〖答案〗是選兩項或選三項．統計規律顯示：多選題正確〖答案〗是“選兩項”的概率是，沒有同學選四項．甲、乙兩個同學參加了考前模擬測試，已知兩同學第9題選的全對，第10~11題還不確定對錯．（1）假設甲同學第10題隨機選了兩個選項，第11題隨機選了一個選項，求甲同學這三道多選題（滿分18分）所有可能總得分的中位數；（2）假設第10題正確〖答案〗是“選兩項”，若乙同學不知道是“選兩項”，隨機選該題的選項（既沒空選也沒選四項，所有選法等可能），求乙第10題得0分的概率；（3）第11題甲同學采用“隨機猜一個選項”的答題策略，乙同學采用“隨機猜兩個選項”的答題策略，記甲同學該題的得分為X，乙同學該題的得分為Y，試比較兩同學得分的平均值的大小．解：（1）因為第9題得6分，第10題得分可能是0，4，6分，第11題得分可能是0，2，3分，因此總得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，故總得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8個得分，所以總得分的中位數是;（2）因為乙同學既沒空選也沒選四項