勾股定理知識點壹、勾股定理：1、勾股定理定義：假如直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：假如三角形的三邊長a，b，c有下面關系：a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。2.勾股數：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數叫做勾股數（注意：若a，b，c、為勾股數，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數組。）*附：常見勾股數：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,133.判斷直角三角形：假如三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他措施：（1）有壹種角為90°的三角形是直角三角形。（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。用它判斷三角形與否為直角三角形的壹般環節是：（1）確定最大邊（不妨設為c）；（2）若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形；若a2＋b2＜c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2＋b2＞c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）4.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之壹（2）在直角三角形中，假如壹種銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的二分之壹。（3）在直角三角形中，假如壹條直角邊等于斜邊的二分之壹，那么這條直角邊所對的角等于30°。5.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。（2）已知直角三角形的壹邊，求另兩邊的關系。（3）用于證明線段平方關系的問題。（4）運用勾股定理，作出長為的線段6、勾股定理的證明勾股定理的證明措施諸多，常見的是拼圖的措施用拼圖的措施驗證勾股定理的思緒是①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會變化②根據同壹種圖形的面積不壹樣的表達措施，列出等式，推導出勾股定理常見措施如下：措施壹：，，化簡可證．措施二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為因此措施三：，，化簡得證勾股定理的經典題型題型壹：勾股定理的直接使用方法1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

2、:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少?題型二：勾股定理的構造應用3、如圖，已知：在中，，，.求：BC的長.

4、如圖，已知：，，于P.求證：.

5、已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。

類型三：勾股定理的實際應用（壹）用勾股定理求兩點之間的距離問題

6、如圖所示，在壹次夏令營活動中，小明從營地A點出發，沿北偏東60°方向走了抵達B點，然後再沿北偏西30°方向走了500m抵達目的地C點。

（1）求A、C兩點之間的距離。

（2）確定目的地C在營地A的什么方向。

7、壹輛裝滿貨品的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?

（二）用勾股定理求最短問題

8、國家電力總企業為了改善農村用電電費過高的現實狀況，目前正在全國各地農村進行電網改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且恰好位于壹種正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設壹條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分．請你協助計算壹下，哪種架設方案最省電線．

9、如圖，壹圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．壹只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短旅程．

類型四：運用勾股定理作長為的線段

10、作長為、、的線段。

11、假如ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

12、四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。13、已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數,且m＞n),判斷△ABC與否為直角三角形.

14、如圖正方形ABCD，E為BC中點，F為AB上壹點，且BF=AB。

請問FE與DE與否垂直?請闡明。

15、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。

16、等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

17、直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。18、若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。

19、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有壹所中學，AP＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校與否會受到噪聲影響？請闡明理由，假如受影響，已