人教版高中數學選擇性必修第二冊重難強化訓練4(原卷版)導數的應用(60分鐘100分)練易錯易錯點1|忽視導數為零的情況致誤[防范要訣]f′(x)>0?函數y＝f(x)為增函數，但反之，當函數y＝f(x)是增函數時，f′(x)≥0，此處常會因漏掉導數等于零的情況致誤．[對點集訓]1．(5分)函數y＝x＋xlnx的單調遞減區間是()A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)2．(5分)若函數f(x)＝ax3－x是R上的減函數，則()A．a<0 B．a≤0C．a<eq\f(1,3) D．a≤eq\f(1,3)3．(5分)若f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上遞增，則a的取值范圍是()A．[－1,0] B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞)易錯點2|由極值求參數時因未檢驗致誤[防范要訣]可導函數在x0處的導數為0是該函數在x0處取得極值的必要不充分條件，故已知極值求函數時，由f′(x)＝0求出的參數的值要進行檢驗，否則易出錯．[對點集訓]4．(5分)函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1時有極值10，那么()A．a＝－3，b＝3B．a＝4，b＝－11C．a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11D．以上均不正確5．(5分)函數y＝x3－2ax＋a在(0,1)內有極小值，則實數a的取值范圍是()A．(0,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C．(0，＋∞) D．(－∞，3)練疑難6．(5分)函數y＝f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是()A．f(x)在(－3,1)上單調遞增B．f(x)在(1,3)上單調遞減C．f(x)在(2,4)上單調遞減D．f(x)在(3，＋∞)上單調遞增7．(5分)已知函數f(x)＝x3＋ax2－3x－9的兩個極值點為x1，x2，則x1x2＝()A．9 B．－9C．1 D．－18．(5分)已知函數y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為eq\f(15,4)，則a等于()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)9．(5分)函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a，g(x)＝x2－3x，它們的定義域均為[1，＋∞)，并且函數f(x)的圖象始終在函數g(x)圖象的上方，那么a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))10．(5分)設圓柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面半徑為()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,\f(V,π))C．eq\r(3,4V) D．eq\r(3,\f(V,2π))11．(5分)設F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的函數，其中f(x)的導函數f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立，則()A．f(2)>e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)12.(5分)設函數f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，則f(x)的單調遞增區間是________，單調遞減區間是________．13.(5分)已知函數y＝xf′(x)的圖象如圖所示，給出以下說法：①函數f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數；②函數f(x)在區間(－1,1)上無單調性；③函數f(x)在x＝－eq\f(1,2)處取得極大值；④函數f(x)在x＝1處取得極小值．其中正確的說法是________(填序號)．14.(10分)判斷函數f(x)＝2x＋x3－2在區間(0,1)內的零點個數．15.(10分)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數，求b的取值范圍．16.(15分)設函數f(x)＝eq\f(1,2)x2ex.(1)求f(x)的單調區間；(2)若當x∈[－2,2]時，不等式f(x)>m恒成立，求實數m的取值范圍．人教版高中數學選擇性必修第二冊重難強化訓練4(解析版)導數的應用(60分鐘100分)練易錯易錯點1|忽視導數為零的情況致誤[防范要訣]f′(x)>0?函數y＝f(x)為增函數，但反之，當函數y＝f(x)是增函數時，f′(x)≥0，此處常會因漏掉導數等于零的情況致誤．[對點集訓]1．(5分)函數y＝x＋xlnx的單調遞減區間是()A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)B解析：y＝x＋xlnx的定義域為(0，＋∞)，令y′＝2＋lnx<0，得0<x<e－2，即原函數的單調遞減區間為(0，e－2)．2．(5分)若函數f(x)＝ax3－x是R上的減函數，則()A．a<0 B．a≤0C．a<eq\f(1,3) D．a≤eq\f(1,3)B解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)＝ax3－x在R上遞減，∴f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，故a≤0.3．(5分)若f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上遞增，則a的取值范圍是()A．[－1,0] B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞)D解析：f′(x)＝2x＋a－eq\f(1,x2)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－2x恒成立．因為y＝eq\f(1,x2)－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))內遞減，所以y<3.故a≥3.易錯點2|由極值求參數時因未檢驗致誤[防范要訣]可導函數在x0處的導數為0是該函數在x0處取得極值的必要不充分條件，故已知極值求函數時，由f′(x)＝0求出的參數的值要進行檢驗，否則易出錯．[對點集訓]4．(5分)函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1時有極值10，那么()A．a＝－3，b＝3B．a＝4，b＝－11C．a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11D．以上均不正確B解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－3，,a2＋a＋b＝9，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))經檢驗，當a＝－3，b＝3時，x＝1不是極值點，故a＝4，b＝－11.5．(5分)函數y＝x3－2ax＋a在(0,1)內有極小值，則實數a的取值范圍是()A．(0,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C．(0，＋∞) D．(－∞，3)B解析：y′＝3x2－2a.要使函數在(0,1)內有極小值，必有a>0.令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±eq\r(\f(2,3)a).當x<－eq\r(\f(2a,3))時，y′>0；當－eq\r(\f(2,3)a)<x<eq\r(\f(2,3)a)時，y′<0；當x>eq\r(\f(2,3)a)時，y′>0.故函數在x＝eq\r(\f(2,3)a)時取得極小值．令0<eq\r(\f(2,3)a)<1，得0<a<eq\f(3,2).練疑難6．(5分)函數y＝f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是()A．f(x)在(－3,1)上單調遞增B．f(x)在(1,3)上單調遞減C．f(x)在(2,4)上單調遞減D．f(x)在(3，＋∞)上單調遞增C解析：由f(x)的增減性與f′(x)的正負之間的關系進行判斷，當x∈(2,4)時，f′(x)<0，故f(x)在(2,4)上單調遞減，其他判斷均錯．7．(5分)已知函數f(x)＝x3＋ax2－3x－9的兩個極值點為x1，x2，則x1x2＝()A．9 B．－9C．1 D．－1D解析：令f′(x)＝3x2＋2ax－3＝0，則x1，x2就是其兩個根．由根與系數的關系知x1x2＝eq\f(－3,3)＝－1.8．(5分)已知函數y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為eq\f(15,4)，則a等于()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)C解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.當a≤－1時，最大值為f(－1)＝4，不符合題意．當－1<a<2時，f(x)在[a,2]上單調遞減，最大值為f(a)＝－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．9．(5分)函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a，g(x)＝x2－3x，它們的定義域均為[1，＋∞)，并且函數f(x)的圖象始終在函數g(x)圖象的上方，那么a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))A解析：設h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a－x2＋3x，則h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以當x∈(1,3)時，h(x)單調遞減；當x∈(3，＋∞)時，h(x)單調遞增．當x＝3時，函數h(x)取得最小值．因為f(x)的圖象始終在g(x)的圖象上方，則有h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范圍是(0，＋∞)．10．(5分)設圓柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面半徑為()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,\f(V,π))C．eq\r(3,4V) D．eq\r(3,\f(V,2π))D解析：設底面圓半徑為r，高為h，則V＝πr2h.∴h＝eq\f(V,πr2).∴S表＝2S底＋S側＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·eq\f(V,πr2)＝2πr2＋eq\f(2V,r).∴S表′＝4πr－eq\f(2V,r2).令S表′＝0得，r＝eq\r(3,\f(V,2π)).又當r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3,\f(V,2π))))時，S表′<0；當r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))，V))時，S表′>0.∴當r＝eq\r(3,\f(V,2π))時，表面積最小．11．(5分)設F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的函數，其中f(x)的導函數f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立，則()A．f(2)>e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)C解析：∵函數F(x)＝eq\f(fx,ex)的導函數F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函數F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的減函數，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2016)<e2016f(0)．故選C．12.(5分)設函數f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，則f(x)的單調遞增區間是________，單調遞減區間是________．(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．當x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0；當x∈(－1,0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調遞增，在(－1,0)上單調遞減.13.(5分)已知函數y＝xf′(x)的圖象如圖所示，給出以下說法：①函數f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數；②函數f(x)在區間(－1,1)上無單調性；③函數f(x)在x＝－eq\f(1,2)處取得極大值；④函數f(x)在x＝1處取得極小值．其中正確的說法是________(填序號)．①④解析：從圖象上可以發現，當x∈(1，＋∞)時，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故函數f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數，①正確；當x∈(－1,0)時，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，當x∈(0,1)時，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，故函數f(x)在區間(－1,1)上是減函數，②③錯誤；由于f(x)在區間(0,1)上是減函數，在區間(1，＋∞)上是增函數，所以函數f(x)在x＝1處取得極小值，故④正確．故填①④.14.(10分)判斷函數f(x)＝2x＋x3－2在區間(0,1)內的零點個數．解：∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋