§7.5空間直線、平面的垂直考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結論1．三垂線定理平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()教材改編題1．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β2.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．題型一直線與平面垂直的判定與性質例1(1)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題________．(2)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點B1在底面ABC內的射影恰好是點C.①若點D是AC的中點，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1.②已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．跟蹤訓練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是棱CD，A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．題型二平面與平面垂直的判定與性質例2如圖所示，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E為PD的中點．(1)求證：平面PCD⊥平面ACE；(2)求點B到平面ACE的距離．思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質的應用①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．跟蹤訓練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關系的綜合應用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結論；(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證．跟蹤訓練3如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2eq\r(2)，O為AC的中點．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且PM與平面ABC所成角的正切值為eq\r(6)，求二面角M－PA－C的平面角的余弦值．課時精練1．(多選)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是真命題的為()A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點P垂直于直線l的直線在平面α內C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內D．過點P且在平面α內垂直于l的直線必垂直于平面β2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結論不一定成立的是()A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部4．(多選)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()5．(多選)若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題錯誤的是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ6．(多選)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則下列說法正確的是()A．AB＝eq\r(2)ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足條件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件序號即可)．8．在矩形ABCD中，AB<BC，現將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結論的序號是________．9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點．(1)求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結論．10．如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的平面角的大小．11.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內一點，且滿足MP＝MC，則點M的軌跡為()12．(多選)如圖所示，一張A4紙的長、寬分別為2eq\r(2)a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點．現將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點重合為一點P，從而得到一個多面體．下列關于該多面體的命題正確的是()A．該多面體是四棱錐B．平面BAD⊥平面BCDC．平面BAC⊥平面ACDD．該多面體外接球的表面積為eq\f(5,4)πa213．(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列說法正確的是()A．直線BD1⊥平面A1C1DB．三棱錐P－A1C1D的體積為定值C．異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為eq\f(\r(6),3)14.如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在線段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝eq\f(2,3)FD＝4，沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，則二面角A′－FD－C的平面角的余弦值為________．15．劉徽注《九章算術·商功》“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣．”如圖1解釋了由一個長方體得到“塹堵”“陽馬”“鱉臑”的過程．塹堵是底