PAGE圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項訓練【原卷版】(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2024·海口模擬)已知拋物線T:y2=2px(p>0),點F為其焦點,直線l:x=4與拋物線交于M,N兩點,O為坐標原點,S△OMN=86.(1)求拋物線T的方程;(2)過x軸上一動點E(a,0)(a>0)作互相垂直的兩條直線,與拋物線T分別相交于點A,B和C,D,點H,K分別為AB,CD的中點,求|HK|的最小值.2.(10分)(2024·深圳模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e(1)求橢圓C的方程;(2)若經過定點(0,-1)的直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記橢圓的上頂點為M,當直線l的斜率變化時,求△MPQ面積的最大值.3.(10分)(2024·畢節模擬)已知拋物線M:y2=4x的焦點為F,過點(2,0)的直線與拋物線M交于A,B兩點,點A在第一象限,O為坐標原點.(1)設P為拋物線M上的動點,求|OP(2)記△AOB的面積為S1,△BOF的面積為S2,求S1+S2的最小值.4.(10分)(2024·湛江模擬)已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,橢圓E的離心率為12,過F2且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓E交于A,B(1)求橢圓E的標準方程;(2)過F1且與l垂直的直線l'與橢圓E交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值.圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項訓練【解析版】(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2024·海口模擬)已知拋物線T:y2=2px(p>0),點F為其焦點,直線l:x=4與拋物線交于M,N兩點,O為坐標原點,S△OMN=86.(1)求拋物線T的方程;【解析】(1)直線方程為x=4,將其代入拋物線可得y=±22p由已知得S△OMN=12×4×42p=86,解得p=3,故拋物線T的方程為y2(2)過x軸上一動點E(a,0)(a>0)作互相垂直的兩條直線,與拋物線T分別相交于點A,B和C,D,點H,K分別為AB,CD的中點,求|HK|的最小值.【解析】(2)因為E(a,0),若直線AB,CD分別與兩坐標軸垂直,則直線AB,CD中有一條與拋物線只有一個交點,不合題意,所以直線AB,CD的斜率均存在且不為0.設直線AB的斜率為k(k≠0),則直線AB的方程為y=k(x-a).聯立y2=6xy=k(x-a),得ky2設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=6k,設H(xH,yH),則yH=y1+y22=3k,則xH=y所以H(3k2+a,3k),同理可得K(3k2+a故|HK|=(3k2-3k當且僅當k4=1k4且k2=1k故|HK|的最小值為6.2.(10分)(2024·深圳模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e(1)求橢圓C的方程;【解析】(1)橢圓C的離心率e=22則22=ca=1-b2所以a=2b=2c,橢圓方程為x22b2將點(4,1)代入方程得b2=9,故所求方程為x218+y(2)若經過定點(0,-1)的直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記橢圓的上頂點為M,當直線l的斜率變化時,求△MPQ面積的最大值.【解析】(2)點(0,-1)在橢圓C內,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx-1,由x218+y29=1,y=kx-1,得(2k2+1)x2-4kx-16=0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k2k2點M(0,3)到l的距離d=4k2+1,S△MPQ=12|PQ|·d=89k2+42k2+1.令t=2k2+1(t≥1),則k因為0<1t≤1,所以當1t=1(k=0)時,S△MPQ3.(10分)(2024·畢節模擬)已知拋物線M:y2=4x的焦點為F,過點(2,0)的直線與拋物線M交于A,B兩點,點A在第一象限,O為坐標原點.(1)設P為拋物線M上的動點,求|OP【解析】(1)依題意,拋物線M:y2=4x的焦點F(1,0),準線方程x=-1,設P(t2,2t),則|OP|=(t2)2+(2t因此|OP||FP|=t而t2+1≥1,即有0<1t2+1≤1,則當1t2當1t2+1=13,即t=±2時,所以|OP||FP|的取值范圍是(2)記△AOB的面積為S1,△BOF的面積為S2,求S1+S2的最小值.【解析】(2)顯然直線AB不垂直于y軸,設直線AB的方程為x=my+2,由x=my+2y2=4x消去x并整理得設A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,則y1y2=-8,即y2=-8y令(2,0)為點E,于是△AOB的面積為S1=12|OE|·(y1-y2)=y1-y2,△BOF的面積為S2=12|OF|·|y2|=-12因此S1+S2=(y1-y2)+(-12y2)=y1-32y2=y1+12y1≥2y1·12y1=43,當且僅當y所以S1+S2的最小值為43.4.(10分)(2024·湛江模擬)已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,橢圓E的離心率為12,過F2且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓E交于A,B(1)求橢圓E的標準方程;【解析】(1)由題意,橢圓E的離心率為12,可得ca=又由橢圓的定義,可知|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8,所以a=2,c=1,又因為a2=b2+c2,所以b2=3,所以橢圓E的標準方程為x24+y(2)過F1且與l垂直的直線l'與橢圓E交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值.【解析】(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my+1,由x2整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,則有y1+y2=-6m3m2+4,y1故|AB|=(1+m2)[(y設直線l'的方程為x=-1my設C(x3,y3),D(x4,y4),聯立方程得x2整理得(3m2+4)y2+6則有y3+y4=-6m3m2