PAGE拓展拔高4極值點偏移問題【高考考情】極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣,導致函數圖象不具有對稱性.極值點偏移問題常常出現在高考數學的壓軸題中,這類題往往對思維要求較高,過程較為煩瑣,計算量較大,難度大.【研究對象】一般地,證明兩數x1,x2之和(之積)的不等式問題,常涉及函數的極值點偏移.解決極值點偏移問題的關鍵是消元,有時待證的結論需要利用不等式轉化變形.【極值點偏移的定義】一般地,若連續函數f(x)在[a,b]內有唯一的極值點x0,對于任意的x1,x2∈[a,b],當f(x1)=f(x2)時有x1+x22≠x0,則稱函數(1)左偏移:當x1+x22>x0時,極值點x0在[a(2)右偏移:當x1+x22<x0時,極值點x0在[a(3)無偏移:當x1+x22=x0時,極值點x0在[a視角一極值點偏移問題之消參減元、比值代換[例1]已知函數f(x)=lnx-ax(x>0),a為常數,若函數f(x)有兩個零點x1,x2(x1≠x2).證明:x1x2>e2.【證明】不妨設x1>x2>0,因為lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,所以lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2),所以lnx1欲證x1x2>e2,即證lnx1+lnx2>2.因為lnx1+lnx2=a(x1+x2),所以即證a>2x1+x2,所以原問題等價于證明lnx令c=x1x2(c>1),則不等式變為lnc令h(c)=lnc-2(c-所以h'(c)=1c-4(c所以h(c)在(1,+∞)上單調遞增,所以h(c)>h(1)=ln1-0=0,即lnc-2(c-因此原不等式x1x2>e2得證.思維升華比值換元法的解題策略(1)聯立消參:利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的參數a.(2)抓商構元:令t=x1x2,消掉變量x1,x2,構造關于t的函數h((3)用導求解:利用導數求解函數h(t)的最值,從而可證得結論.視角二極值點偏移問題之消參減元、差值代換[例2]若函數f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有兩個不同的零點x1,x2,證明:x1+x2<-2lna.【證明】由題知x1-aex1+b=0,x2-aex2故要證x1+x2<-2lna,只需證x1+x2<-2lnx1-x2ex1即證(x1-x2)2<ex1-x2-2+ex2-令x2-x1=t>0,則需證t2<e-t-2+et.設g(t)=t2-e-t+2-et,則g'(t)=2t+e-t-et.設h(t)=2t+e-t-et,則h'(t)=2-e-t-et<0,所以h(t)在(0,+∞)上單調遞減,所以h(t)<h(0)=0,即g'(t)<0,所以g(t)在(0,+∞)上單調遞減,所以g(t)<g(0)=0,故原不等式成立.思維升華差值換元法的解題策略(1)取差構元:記s=t2-t1,則t2=t1+s,利用該式消掉t2.(2)巧解消參:利用g(t1)=g(t2),構造方程,解之,利用s表示t1.(3)構造函數:依據消參之后所得不等式的形式,構造關于s的函數G(s).(4)轉化求解:利用導數研究函數G(s)的單調性和最值,從而證得結論.視角三極值點偏移問題之對稱構造[例3]已知函數h(x)=xe-x,如果x1≠x2且h(x1)=h(x2),證明:x1+x2【證明】h'(x)=e-x(1-x),令h'(x)=0,解得當x變化時,h'(x),h(x)的變化情況如表:x(-∞,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)單調遞增1單調遞減由x1≠x2,不妨設x1>x2,根據h(x1)=h(x2)可知x1>1,x2<1.令F(x)=h(x)-h(2-x),x∈[1,+∞),則F'(x)=(x-1)(e2x-因為x≥1,2x-2≥0,所以e2所以F'(x)≥0,所以F(x)在[1,+∞)上單調遞增,又因為F(1)=0,所以x>1時,F(x)>F(1)=0,即當x>1時,h(x)>h(2-x),則h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因為x1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1∈(-∞,1),因為h(x)在(-∞,1)上單調遞增,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得證.思維升華對稱構造法,主要用來解決與兩個極值點之和(積)相關的不等式問題.其解題要點如下:(1)定函數極值點:利用導函數符號的變化判斷函數的單調性,進而確定函數的極值點x0;(2)構造函數:根據極值點構造對稱函數F(x)=f(x)-f(2x0-x);(3)判斷單調性:利用導數討論F(x)的單調性;(4)比較大小:判斷函數F(x)在某段區間上的正負,并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關系;(5)轉化:利用函數f(x)的單調性,將f(x)與f(2x0-x)的大小關系轉化為x與2x0-x之間的關系,進而得到所證或所求.遷移應用已知函數f(x)=ln(x+a)-x-1x+a,函數g(x)滿足ln[g(x)+x2]=ln(1)討論函數f(x)的單調性;【解析】(1)由已知得,函數f(x)的定義域為(-a,+∞),則f'(x)=1x+a-x所以當-a≥1,即a≤-1時,f'(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上單調遞增;當-a<1,即a>-1時,若-a<x<1,則f'(x)<0,若x>1,則f'(x)>0,所以f(x)在(-a,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.綜上所述,當a≤-1時,f(x)在(-a,+∞)上單調遞增;當a>-1時,f(x)在(-a,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.(2)若g(x)有兩個不同的零點x1,x2,證明:x1x2<1.【解析】(2)因為ln[g(x)+x2]=lnx+x-a,所以g(x)=x·ex-a-x2=x(ex-a-x),其定義域為(0,+∞),g(x)=xex-a-x2=x(ex-a-x)=0等價于ex-a-x=0,即x-lnx=a,設h(x)=x-lnx(x>0),所以h'(x)=1-1x=x令h'(x)>0,則x>1,令h'(x)<0,則0<x<1.所以函數h(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,因為函數g(x)有兩個不同的零點,即h(x)=a有兩個不同的根,所以a>h(1)=1,所以g(x)有兩個不同的零點x1,x2且0<x1<1<x2,且h(x1)=h(x2)=a,令φ(x)=h(x)-h(1x)=x-1x-2ln