2022-2023學(xué)年浙江省寧波市寧波十校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.總體由編號(hào)01,,02,…,19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08 B.07 C.02 D.012.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱3.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值4.設(shè)集合,則()A. B.C. D.5.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.6.盒中有6個(gè)小球,其中4個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取個(gè)球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù),則()A., B.,C., D.,7.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.10.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.12.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域是.14.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.15.邊長(zhǎng)為2的菱形中,與交于點(diǎn)O,E是線段的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)F,若,則______.16.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),直線是曲線在處的切線.(1)求證:無論實(shí)數(shù)取何值,直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.18.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線段的中點(diǎn),平面,,為線段上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).(1)若,(ⅰ)求證:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實(shí)數(shù)滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(12分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點(diǎn),與交于點(diǎn),,都垂直于平面,且,,是線段上一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí),求四面體的體積.20.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)設(shè)函數(shù),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)時(shí),若,,求證:.22.(10分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實(shí)數(shù)滿足.證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為:08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.考點(diǎn):此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法,考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.2、C【解析】

依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.4、B【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.5、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.6、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望,由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球,所以.表示取出一個(gè)黑球,,所以.表示取出兩個(gè)球,其中一黑一白,,表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇颍硎救〕鰞蓚€(gè)球?yàn)榘浊颍?所以,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,屬于中檔題.7、D【解析】

設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.8、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計(jì)算.【詳解】由可得,因?yàn)椋裕试诜较蛏系耐队盀椋蔬x:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.11、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)椋瘮?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】解:因?yàn)椋识x域?yàn)?4、【解析】

求出在上的對(duì)稱軸,依據(jù)對(duì)稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱.則.由,則由可知,,又因?yàn)椋裕瑒t,即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對(duì)稱軸時(shí),常用整體代入法,即令進(jìn)行求解.15、【解析】

取基向量,,然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將,表示為基向量后再相乘可得.【詳解】如圖:設(shè),又,且存在實(shí)數(shù)使得,,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,屬中檔題.16、【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)取等號(hào),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,(2)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率,利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程,根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).(2)由(1)求出函數(shù),令方程可轉(zhuǎn)化為記,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù),由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線方程為即,恒過點(diǎn)將代入直線方程,得考慮方程即,等價(jià)于記,則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理,屬于難題.18、(1)(ⅰ)證明見解析(ⅱ)(2)存在,【解析】

(1)(i)連接交于點(diǎn),連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由此能證明PC∥平面(ii)推導(dǎo)出,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解;(2)設(shè),求出平面的法向量,利用向量法求解.【詳解】(1)(ⅰ)證明:連接交于點(diǎn),連接,,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以,因?yàn)椋砸驗(yàn)椤嗡运倪呅螢槠叫兴倪呅危杂忠驗(yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫áⅲ┙猓喝鐖D,在平行四邊形中因?yàn)椋砸詾樵c(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則,,,所以,,,平面的法向量為設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,設(shè)平面和平面所成的銳二面角為,則所以銳二面角的余弦值為(2)設(shè)所以,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得,因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為,所以解得所以存在滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題二查線面平行的證明,考查銳二面角的余弦值的求法,考查滿足線面角的正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法,考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系等知識(shí),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1).(2)【解析】

(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出,進(jìn)而得出,利用相似三角形的性質(zhì),得出,從而得出的值;(2)利用線面垂直的判定定理得出平面,進(jìn)而得出四面體的體積,計(jì)算出,,即可得出四面體的體積.【詳解】(1)因?yàn)槠矫妫矫妫杂忠驗(yàn)椋即怪庇谄矫妫杂郑謩e是正方形邊,的中點(diǎn),且,所以.(2)因?yàn)椋謩e是正方形邊,的中點(diǎn),所以又因?yàn)椋即怪庇谄矫妫矫妫砸驗(yàn)槠矫妫云矫嫠裕拿骟w的體積,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,以及求棱錐的體積,屬于中檔題.20、(1),(2)【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)參數(shù)的取值,討論的正負(fù),即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可;(2)首先通過構(gòu)造新函數(shù),討論新函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】(1),令,則,令得,當(dāng)時(shí),則在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),則在單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),,即,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,易知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由零點(diǎn)存在性定理知,,不妨設(shè),使得,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即,所以在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)證明:構(gòu)造函數(shù),,,,整理得,,(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),所以在上單調(diào)遞增,則,所以在上單調(diào)遞增,,這里不妨設(shè),欲證,即證由(1)知時(shí),在上單調(diào)遞增,則需證,由已知有,只需證,即證,由在上單調(diào)遞增,且時(shí),有,故成立,從而得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性,借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式,屬于難題.22、(1)或;(2)見解析【解析】

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