專題二：圓的軌跡方程軌跡方程的定義軌跡的定義：平面上一動點M,按照一定規則運動,形成的曲線叫做動點M的軌跡.軌跡方程的定義：點M的軌跡方程是指點M的坐標(x,y)滿足的關系式.若求“軌跡方程”，只需寫出動點坐標x,y滿足的關系式，注意x,y的取值范圍；若求“軌跡”，則要先求出“軌跡方程”，再說明方程的軌跡圖形，注意“補漏”和“去掉多余”的點．求軌跡方程的關鍵：動中找定——在動點運動的過程中找出動點滿足的不變的性質。

軌跡方程

軌跡求軌跡方程——①（坐標法）

①建：建立平面直角坐標系；②設：求誰的軌跡就設誰的坐標為(x,y);③找：找限制條件，即動點滿足的幾何關系；④代：將點的坐標代入幾何關系式中；⑤化：化簡代數式，查漏排余(建系不同,方程不同)小結：坐標法求動點軌跡問題的基本步驟第一步建立適當的平面直角坐標系尋找動點滿足的幾何關系第二步將幾何問題用方程表示代數化簡、變形，得到軌跡方程第三步把軌跡方程“翻譯”成軌跡練1、(教材P89習題2.47題）等腰三角形的頂點A（4,2），底邊的一個端點是B（3,5），求另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？且點M是線段AB的中點，所以解：設點M的坐標是設點A的坐標是由于點B的坐標是(4,3),于是有所以點A的坐標滿足方程因為點A在圓上運動，即例2、（教材P87例5）已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.(x,y)(a,b)(x0,y0)求軌跡方程——②相關點法把（1）代入（2）得整理得所以點M的軌跡是以為圓心，半徑長為1的圓。例2、（教材P87例5）已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.追問5：你能將上述例題抽象為一般的問題嗎并總結梳理出求曲線方程的一般步驟嗎？求軌跡方程——②相關點法[例2](P87)已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.求誰設誰為(x,y)點A的運動點M的運動引起找所求點與已知點的坐標關系，代入已知點的方程(x,y)(a,b)(x0,y0)點A的方程點M的方程坐標關系代換求軌跡方程——②相關點法求軌跡方程——③定義法例3(P88-7).等腰三角形的頂點A的坐標是(4,2)，底邊一端點B的坐標是(3,5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它是什么圖形.定義法[練習1]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN為斜邊的直角三角形直角頂點P的軌跡方程，并說明它是什么圖形.坐標法[練習]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN為斜邊的直角三角形直角頂點P的軌跡方程，并說明它是什么圖形.求軌跡方程——④消參法

求軌跡方程——④消參法(1)坐標法：建立適當的坐標系后，設動點為(x，y)，根據幾何條件尋求x，y之間的關系式．求曲線方程的常見方法(2)定義法：如果所給幾何條件正好符合已學曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程．(3)代入法(相關點法)：利用所求曲線上的動點與已知曲線上動點的關系,把所求動點轉換為已知動點．具體地說,就是用所求動點的坐標(x，y)來表示已知動點的坐標,并代入已知動點滿足的曲線的方程,由此可求得動點坐標(x,y)滿足的關系．例3

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點，P，Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點M的軌跡方程；xyO求誰設誰為(x,y)相關點法例3

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點，P，Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點M的軌跡方程；求誰設誰為(x,y)xyO直接法設線段PQ的中點N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故線段PQ的中點N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.例3

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點，P，Q為圓上的動點.(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程.xyO延伸探究1.在本例條件不變的情況下，求過點B的弦的中點T的軌跡方程.設T(x，y).因為點T是弦的中點，所以OT⊥BT.當斜率存在時，有kOT·kBT＝－1.整理得x2＋y2－x－y＝0.當x＝0或1時，點(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圓上.故所求軌跡方程為x2＋y2－x－y＝0.xyO直接法例3

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點延伸探究1.在本例條件不變的情況下，求過點B的弦的中點T的軌跡方程.xyO例3

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點點差法設點E(x，y)，P(x0，y0).整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵點P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，xyO直接法例3

點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內一點,P，Q為圓上的動點求BP的中點E的軌跡方程.跟蹤訓練3已知圓C經過(2,6)，(5,3)，(2,0)三點.(1)求圓C的方程；設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓C的方程為x2＋y2－4x－6y＋4＝0.(2)設點A在圓C上運動，點B(2,3)，且點M滿足

，求點M的軌跡方程.設M(x，y)，A(xA，yA)，由點A在圓C上，得(3x－4)2＋(3y－6)2－4(3x－4)－6(3y－6)＋4＝0，即x2＋y2－4x－6y＋12＝0，故點M的軌跡方程為x2＋y2－4x－6y＋12＝0.鞏固：求軌跡方程1.(P89-8)長為2a的線段AB的兩個端點分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程.點A,B的運動引起點M的運動動點M的特征滿足某曲線的定義當A或B與O重合時,上式仍然成立.定義法直接法相關點法鞏固：求軌跡方程定義法相關點法鞏固：求軌跡方程解：設△ABC的重心M(x，y)，頂點C(a，b)，將②代入①得(3x＋3)2＋(3y＋3)2＝93.已知△ABC的頂點A(－3,0),B(0,－3),另一個頂點C在曲線x2＋y2＝9上運動.求△ABC的重心M的軌跡方程．由三角形重心坐標公式得化簡得△ABC重心M的軌跡方程鞏固：求軌跡方程直接法定義法幾何法【課后練習】求軌跡方程