2022-2023學年浙江省寧波市九校聯考高一（下）期末數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知復數z=1+3i1-2i，則A．1 B．i C．﹣i D．﹣12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，若角α以x軸的非負半軸為始邊，且終邊過點（4，﹣3），則cos(α-πA．-35 B．35 C．-3．（5分）設l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，則α∥β D．若α∥β，l∥α，則l∥β4．（5分）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，則其內切球表面積為（）A．3π B．3π C．(3-22)π5．（5分）已知等比數列{an}的前n項積為Tn，若T7＞T9＞T8，則（）A．q＜0 B．a1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T176．（5分）如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中點，過B，C，D三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點B1所在部分的體積為（）A．233 B．536 C．7．（5分）在△ABC中，P0是邊AB的中點，且對于邊AB上任意一點P，恒有PB→?PCA．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．（5分）十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”．它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120°；當三角形有一內角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內角的頂點．在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且點M在AB線段上，且滿足CM＝BM，若點P為△AMCA．﹣1 B．-45 C．-3二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）下列說法正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥C．若a→⊥(b→-（多選）10．（5分）下列說法正確的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)，ω＞0的最小正周期為π，則B．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“A＞B”是“a＞b”的充要條件 C．三個不全相等的實數a，b，c依次成等差數列，則2a，2b，2c可能成等差數列 D．△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為2（多選）11．（5分）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的數學著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確的是（）A．存在某條直徑CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，則三棱錐S﹣AOD體積的最大值為16C．對于任意直徑CD，直線AD與直線SB互為異面直線 D．若∠ABD=π6，則異面直線SA與CD（多選）12．（5分）已知數列{an}中各項都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，記數列{aA．任意a1與正整數m，使得amam+1≥0 B．存在a1與正整數m，使得am+1C．任意非零實數a1與正整數m，都有am+1＜am D．若a1＝1，則S2022∈（1.5，4）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊．在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達意．一幅扇面書法作品如圖所示，經測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的弧（長度單位為cm），側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為2π3．若某空間幾何體的側面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為14．（5分）已知等差數列{an}，a8＝8，a9=8+π315．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，動點P在△A1B1C1內（包括邊界上），且始終滿足BP⊥AB1，則動點P的軌跡長度是．16．（5分）已知向量a→，b→的夾角為π3，且a→?b→=3，向量c→滿足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜λ＜1)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）定義一種運算：(a，b)c（1）已知z為復數，且(3，z)z（2）已知x，y為實數，(y+sin2x，2)iy-(1，sin218．（12分）今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大量的游客來象打卡“北緯30度最美海岸線”．其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化．現假設該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地用函數f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]來刻畫．其中正整數x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1時表示1月份，A和k是正整數，ω＞0．統計發現，該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：①各年相同的月份從事旅游服務工作的人數基本相同；②從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務工作的人數約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．（1）試根據已知信息，確定一個符合條件的y＝f（x）的表達式；（2）一般地，當該地區從事旅游服務工作的人數超過160人時，該地區就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區的旅游旺季？請說明理由．19．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通項公式；（2）記bn=2n+5SnSn+1，數列{bn}的前n項和為T20．（12分）在△ABC中，內角A，B都是銳角．（1）若∠C=π3，c＝2，求△（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求證：sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知邊長為6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構成三棱錐B1﹣ACD，且DE→=1（1）證明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF與平面AB1C所成角的正弦值．22．（12分）已知數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，數列{bn}滿足：對任意n∈N（1）求證：數列{1（2）求數列{bn}的通項公式；（3）設Tn是數列{2n-1b2n-bn}

2022-2023學年浙江省寧波市九校聯考高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知復數z=1+3i1-2i，則A．1 B．i C．﹣i D．﹣1【解答】解：z=1+3i1-2i=則z=-1-i故選：D．2．（5分）在平面直角坐標系xOy中，若角α以x軸的非負半軸為始邊，且終邊過點（4，﹣3），則cos(α-πA．-35 B．35 C．-【解答】解：由三角函數定義有sinα=-3所以cos（α-π2）＝sinα故選：A．3．（5分）設l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，則α∥β D．若α∥β，l∥α，則l∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯誤；若α⊥β，l∥α，則l?β或l∥β或l與β相交，故B錯誤；若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故C正確；若α∥β，l∥α，則l∥β或l?β，故D錯誤．故選：C．4．（5分）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，則其內切球表面積為（）A．3π B．3π C．(3-22)π【解答】解：因為四面體ABCD四個面都為直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，設四面體ABCD內切球的球心為O，半徑為r，則VABCD所以r=3VABCDSABCD又因為四面體ABCD的體積VABCD所以r=3VABCD故選：C．5．（5分）已知等比數列{an}的前n項積為Tn，若T7＞T9＞T8，則（）A．q＜0 B．a1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T17【解答】解：因為等比數列{an}的前n項積為Tn，若T7＞T9＞T8，故1＞a8a9，a9＞1，a8＜1；所以a1?q8＞1，所以所以T16=a故選：D．6．（5分）如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中點，過B，C，D三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點B1所在部分的體積為（）A．233 B．536 C．【解答】解：如圖，取A1C1的中點E，連接DE，CE，又D是A1B1的中點，∴DE∥B1C1，且DE=12B1C又B1C1∥BC，且B1C1＝BC，∴DE∥BC，且DE=12∴過B，C，D三點的平面截該三棱柱的截面為梯形BCED，∴所求體積為：V=1=23故選：B．7．（5分）在△ABC中，P0是邊AB的中點，且對于邊AB上任意一點P，恒有PB→?PCA．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解答】解：以AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系，設AB＝4，則A（﹣2，0），B（2，0），C（a，b），P（0，0），P0（x，0），所以PB→=（2﹣x，0），PC→=（a﹣x，b），P0B→因為恒有PB→?PC→≥P0B→整理得x2﹣（a+2）x≥0恒成立，故Δ＝（a+2）2≤0，即a＝﹣2，此時BA⊥AC，所以∠A＝90°，所以△ABC為直角三角形．故選：A．8．（5分）十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”．它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120°；當三角形有一內角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內角的頂點．在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且點M在AB線段上，且滿足CM＝BM，若點P為△AMCA．﹣1 B．-45 C．-3【解答】解：因為C=23π，AC所以由余弦定理可得AB=A由正弦定理可得ACsinB=AB又B為銳角，所以cosB=1-si設CM＝BM＝x，則CM2＝CB2+BM2﹣2CB?BMcosC，即x2解得x=275所以AM=3則S△AMC又cos∠AMC=A則∠AMC為銳角，所以△AMC的三個內角均小于120°，則P為三角形的正等角中心，所以S=3所以|PA所以PA=-1=-1故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）下列說法正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥C．若a→⊥(b→-【解答】解：對于A，當b→=0→時，滿足a→∥b對于B，|（a→?b→）c→|＝|（|a→||b→|cos＜a→，b→＞|c→|）|≤|a→對于C，a→⊥(b→-c→)時，對于D，（a→?b→）?b→是數乘向量，與b→共線的向量，a→?(故選：BC．（多選）10．（5分）下列說法正確的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)，ω＞0的最小正周期為π，則B．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“A＞B”是“a＞b”的充要條件 C．三個不全相等的實數a，b，c依次成等差數列，則2a，2b，2c可能成等差數列 D．△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為2【解答】解：對于A，f（x）＝sinωx+2cos（ωx+π3）＝（1-3）sinωx+cosωx=5-23sin（ωx+若f（x）的最小正周期為π，則ω=2ππ=對于B，△ABC中，A＞B得出a＞b，充分性成立，a＞b也能得出A＞B，必要性成立，是充要條件，選項B正確；對于C，若2a，2b，2c成等差數列，則2?2b＝2a+2c，所以2＝2a﹣b+2c﹣b，所以a﹣b＝c﹣b＝0，即a＝b＝c，所以選項C錯誤；對于D，△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為22S直觀圖＝22×34×22故選：ABD．（多選）11．（5分）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的數學著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確的是（）A．存在某條直徑CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，則三棱錐S﹣AOD體積的最大值為16C．對于任意直徑CD，直線AD與直線SB互為異面直線 D．若∠ABD=π6，則異面直線SA與CD【解答】解：對A選項，∵SD在底面的射影為CD，而CD與AD夾角始終為銳角，∴AD與AD不垂直，∴根據三垂線定理可知AD與SD不垂直，∴A選項錯誤；對B選項，若AB＝2，則三棱錐S﹣AOD的高為SO＝1，當AO⊥DO時，三角形AOD的面積取得最大值為12此時三棱錐S﹣AOD體積取得最大值為13×1對C選項，∵AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，∴根據異面直線的判定定理可知：對于任意直徑CD，直線AD與直線SB互為異面直線，∴C選項正確；對D選項，若∠ABD=π6，則∠AOD=π∴SA=r×r×cosπ3-0=r22，又易知|SA→|∴cos＜SA∴異面直線SA與CD所成角的余弦值是24，∴D故選：BCD．（多選）12．（5分）已知數列{an}中各項都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，記數列{aA．任意a1與正整數m，使得amam+1≥0 B．存在a1與正整數m，使得am+1C．任意非零實數a1與正整數m，都有am+1＜am D．若a1＝1，則S2022∈（1.5，4）【解答】解：對于選項A：因為an+1所以（an+1﹣4）an+1＝（an﹣3）an，整理得an+1=(所以anan+1=(an對于選項B：不妨設f（x）＝x2﹣4x，因為an+1可得f(a而f′（x）＝2x﹣4＝2（x﹣2），當x＜2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，所以對于任意正整數n，都有an+1≤3對于選項C：由A可知所有an同號，①當a1＝0時，對于任意正整數n，都有an＝0；②當0＜a1＜2時，0＜an＜2，an+12-4an+1=an2-3所以f（an+1）＞f（an），又函數f（x）在（﹣∞，2）上單調遞減，所以對于任意正整數n，都有an+1＜an；③當a1＜0時，an+12-4an+1=an2-3所以f（an+1）＜f（an），又函數f（x）在（﹣∞，2）上單調遞減，所以對于任意正整數n，都有an+1＞an，故選項C正確；對于選項D：因為對于任意正整數n，都有an+1當a1＝1時，an≤（34）n﹣1所以S2022≤k=12022（34）k﹣1=1-(因為當a1＝1時，0＜an≤1，又a22-4解得a2＝2-2所以S2022＞S2＞3則S2022∈（1，5，4），故選項D正確；故選：AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊．在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達意．一幅扇面書法作品如圖所示，經測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的弧（長度單位為cm），側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為2π3．若某空間幾何體的側面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為122【解答】解：設一個圓錐的側面展開圖是半徑為30，圓心角為2π3設該圓錐的底面半徑為r，所以2πr=2π3×30因此該圓錐的高為h=3故側面展開圖是半徑為12，圓心角為2π3高為1230h=2因此若某幾何體的側面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為202故答案為：122．14．（5分）已知等差數列{an}，a8＝8，a9=8+π3【解答】解：等差數列{an}，a8＝8，a9所以公差d＝a9﹣a8=π則cosa故答案為：1．15．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，動點P在△A1B1C1內（包括邊界上），且始終滿足BP⊥AB1，則動點P的軌跡長度是125【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，建立如圖所示的坐標系，由題意可知A（4，0，0），B（0，3，0），C（0，0，0），B1（0，3，3），設P（x，y，3），則BP→=（x，y﹣3，3），AB1→=可得：﹣4x+3y﹣9+9＝0，即4x﹣3y＝0．直線A1B1的方程：3x+4y＝12，3x+4y=124x-3y=0，可得x=3625，所以D（3625，48動點P的軌跡為線段C1D，長度為：(36故答案為：12516．（5分）已知向量a→，b→的夾角為π3，且a→?b→=3，向量c→滿足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜λ＜1)，且a【解答】解：設OA→=a→，∵a→?b∵向量c→滿足c∴C在線段AB上，設∠AOC＝α，則∠BOC=π則x=c→?a→|a∴34|c→|2≤3=|c=|c=3在△ABO中，由余弦定理有：|AB=|a∴|AB|≥6，當且僅當|∵a→?c→=∴S△OAB∴|OC|=6×32|AB|≤∴x2+y2﹣xy=3故答案為：278四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）定義一種運算：(a，b)c（1）已知z為復數，且(3，z)z（2）已知x，y為實數，(y+sin2x，2)iy-(1，sin2【解答】解：（1）設z＝a+bi，由題意可得，（3，z）[z4]＝3z+4z=3（a+bi）+4（a﹣＝7a﹣bi＝7﹣3i，故a＝1，b＝3，所以|z|=10（2）由題意可得，原式＝2y﹣sinx+（y+sin2x﹣23sin2x）i是實數，所以y+sin2x﹣23sin2x＝0，即y＝﹣sin2x+23sin2x=3（1﹣cos2x）﹣sin2＝﹣2sin（2x+π3）所以當2kπ+π2≤2x+π3sin（2x+π3）單調遞減，此時函數解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12即單調增區間為[kπ+π12，kπ+7π12]（18．（12分）今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大量的游客來象打卡“北緯30度最美海岸線”．其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化．現假設該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地用函數f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]來刻畫．其中正整數x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1時表示1月份，A和k是正整數，ω＞0．統計發現，該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：①各年相同的月份從事旅游服務工作的人數基本相同；②從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務工作的人數約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．（1）試根據已知信息，確定一個符合條件的y＝f（x）的表達式；（2）一般地，當該地區從事旅游服務工作的人數超過160人時，該地區就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區的旅游旺季？請說明理由．【解答】解：（1）根據三條規律，可知該函數為周期函數，且周期為12．由此可得，T=2πω=12，得由規律②可知，f（x）max＝f（8）＝40（Acos2π+k）＝40A+40k，f（x）min＝f（2）＝40（Acosπ+k）＝﹣40A+40k，由f（8）﹣f（2）＝80A＝160，得A＝2；又當x＝2時，f（2）＝40[2cosω（2+4）+k]＝80?cosπ+40k＝40，解得k＝3．綜上可得，f（x）＝80cos（π6x+（2）由條件，80cos（π6x+可得cos（π6x+2π3）＞12，則2kπ-π3＜π∴12k﹣6＜x＜12k﹣2，k∈Z．∵x∈[1，12]，x∈N*，∴當k＝1時，6＜x＜10，故x＝7，8，9，即一年中的7，8，9三個月是該地區的旅游“旺季”．19．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通項公式；（2）記bn=2n+5SnSn+1，數列{bn}的前n項和為T【解答】解：（1）由Sn＝n2+4n﹣3，可得n＝1時，a1＝S1＝5﹣3＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+4n﹣3﹣（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+3，化簡可得an＝2n+3（n≥2），所以an=2，n=1（2）bn=2n+5可得Tn=12-20．（12分）在△ABC中，內角A，B都是銳角．（1）若∠C=π3，c＝2，求△（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求證：sin2A+sin2B＞1．【解答】解：（1）由正弦定理有：asinA∴a=433∴a+b==4=4=23∵內角A，B都是銳角，∴0＜A＜π20＜∴π3∴sin(A+π∴a+b∈(23∴a+b+c∈(2+23∴△ABC周長的取值范圍為(2+23（2）∵sin2A+sin2B＞sin2C，由正弦定理得：a2+b2＞c2，由余弦定理：cosC=a∵C∈（0，π），∴C為銳角，∵A，B都是銳角，∴A+B＞π2，∴∴sinA＞sin(π∴sin2A+sin2B＞cos2B+sin2B＝1，∴sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知邊長為6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構成三棱錐B1﹣ACD，且DE→=1（1）證明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF與平面AB1C所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：取AC中點O，連接OB1，OD，因為菱形ABCD，∠AB所以△ACB1，△ACD為等邊三角形，所以OB1⊥AC，OD⊥AC，又因為OB1，OD?面OB1D，OB1∩OD＝O，所以AC⊥面OB1D，因為B1D?面OB1D，所以AC⊥B1D．（2）因為DE→=1所以FE→平方得，FE→即374=136×36+1在△B1CD中，由余弦定理得，B1D2＝CB12+CD2﹣2CB1?CDcos∠B1CD所以B1D＝9，由（1）可知，∠DOB1是二面角B1﹣AC﹣D的平面角，在等邊△AB1C中B1O=B在△B1OD中，由余弦定理得，cos∠B因為0＜∠B1OD＜π，所以∠B即二面角B1﹣AC﹣D的大小2π3（3）取B1E中點G，連接CG，則E是GD靠近G的三等分點，則EF∥CG，所以CG與平面AB1C所成角即為所成角，在平面DOB1中，作GK⊥B1O，因為AC⊥面OB1D，GK?面OB1D，所以AC⊥GK，又因為AC，B1O?面AB1C，AC∩B1O＝O，所以GK⊥面AB1C，所以∠GCK是CG與平面AB1C所成角，在△DOB1中，∠OB1D=∠OD所以GK=1在ΔDCB1中，由△DEF∽△DGC，得EFCG=DE所以sin∠GCK=GK所以EF與平面AB1C所成角的正弦值為33722．（12分）已知數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，數列{bn}滿足：對任意n∈N（1）求證：數列{1（2）求數列{bn}的通項公式；（3）設Tn是數列{2n-1b2n-bn}【解答】解：（1）證明：由Sn2=an（Sn﹣1）得Sn2=（Sn﹣S化簡得SnSn﹣1+Sn﹣Sn﹣1＝0，由于Sn≠0，所以又有1+1即1S又1S1=（2）結合（1）可得1Sn=1+（n所以有b1+2b2+…+nbn＝（n﹣1）?2n+1+2，又有b1+2b2+…+nbn+（n+1）bn+1＝n?2n+2+2，二式相減得（n+1）bn+1＝（n+1）?2n+1，即bn+1＝2n+1，所以當n≥2有bn＝2n，又b1＝2，符合上式，所以bn＝2n；（3）結合（2）可知2n-1b所以Tn＜1設Qn=1則14Qn=二式相減得34Qn=12+2×（即Qn=2又2n-122n+1＞0，所以Qn當n→+∞，Qn→23所以Tn＜102022-2023學年浙江省紹興市高一（下）期末數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）已知復數z在復平面內對應的點是（0，1），則1+izA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（3分）某組數據33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位數為（）A．46 B．49 C．50 D．513．（3分）已知向量a→=(2，2)，A．a→=-2b→ B．a→=24．（3分）已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，下列命題正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若m∥β，m∥α，則α∥β C．若m⊥n，n?β，則m⊥β D．若m∥α，m⊥β，則α⊥β5．（3分）拋擲三枚質地均勻的硬幣，有如下隨機事件：Ai＝“正面向上的硬幣數為i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有兩枚硬幣拋擲結果相同”，則下列說法正確的是（）A．A0與B相互獨立 B．A3與B對立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B6．（3分）軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P﹣ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點，則異面直線PB與AC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）已知函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，x1，x2是f（x）的兩個零點，若x2＝4A．φ B．ω C．φω D．ω+8．（3分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，P是棱A1D1上的一個動點，若PA=10，PD=2，則三棱錐P﹣A．144π B．36π C．9π D．6π二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯的得0分）（多選）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6°-cos6°=-2C．4sin15°sin75°＝1 D．3（多選）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠發展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創新、追求卓越的堅實步伐．據統計，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達250億元，已超去年全年的60%，真正實現了“生于鄉間小湖，遠銷五洲四海”．某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實現翻番，現統計這四款商品的營收占比，得到如下餅圖．同比第一季度，下列說法正確的是（）A．今年商品A的營收是去年的4倍 B．今年商品B的營收是去年的2倍 C．今年商品C的營收比去年減少 D．今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變（多選）11．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起，使點A到達點A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C為90°．若M、N分別為A′B、CD的中點，則（）A．BE⊥A′N B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．點C到平面A′DE的距離為30（多選）12．（3分）在△ABC中，D為BC的中點，點E滿足BE→=2ED→．若∠A．|AB→|=2|ADC．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）函數f（x）＝sin2x的最小正周期為．14．（3分）某手機社交軟件可以實時顯示兩人之間的直線距離．已知甲在某處靜止不動，乙在點A時，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線從點A點走到點B，當乙在點B時，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點間的距離為500米，則乙從點A走到點B的過程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為米．15．（3分）已知一組樣本數據x1，x2，x3，x4，x5的方差為5，且滿足x1+x2+x3+x4＝4x5，則樣本數據x1，x2，x3，x4，x5+5的方差為．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分別為線段AC1、AA1的動點，則△B1PQ周長的最小值是四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）記a→、b→、c→（1）求?a（2）若a→?c18．（8分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為3，O1是上底面A1B1C1D1的一個動點．（1）求三棱錐A﹣O1BC的體積；（2）當O1是上底面A1B1C1D1的中心時，求AO1與平面ABCD所成角的余弦值．19．（8分）為了推導兩角和與差的三角函數公式，某同學設計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，點E為BC上一點，且AE⊥DE，過點D作DF⊥AB于點F，設∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用圖中邊長關系DF＝BE+CE，證明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos220．（8分）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運會志愿者的服務工作是舉辦一屆成功的亞運會的重要保障．為配合亞運會志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績滿分100分，現隨機抽取了80名候選者的面試成績，繪制成如圖頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計這80名候選者面試成績平均值x，眾數，中位數；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，中位數精確到0.1）（2）乒乓球項目場地志愿服務需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過該項志愿服務選拔，需要通過抽簽的方式決定最終的人選，現將3張寫有“中簽”和2張寫有“未中簽”字樣的字條隨機分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率．21．（10分）如圖，在平面四邊形ABCD中，點B與點D分別在直線AC的兩側，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）當cos∠CAD=23時，求△（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠（2）已知AD=2AB，且∠BAD=π22．（10分）如圖，在正三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分別為AA1，B1C1的中點．（1）證明：DE⊥平面BB1C1C；（2）設P，Q分別為棱AB，BC上的點，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ與△ABC的面積比為3：8，（i）證明：BP=34（ii）求α與平面ABB1A1所成角的正弦值．

2022-2023學年浙江省紹興市高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）已知復數z在復平面內對應的點是（0，1），則1+izA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵復數z在復平面內對應的點是（0，1），∴z＝i，∴1+iz=1+i故選：B．2．（3分）某組數據33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位數為（）A．46 B．49 C．50 D．51【解答】解：數據33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10個數，因為10×0.8＝8，因此，該組數據的第80百分位數為49+512故選：C．3．（3分）已知向量a→=(2，2)，A．a→=-2b→ B．a→=2【解答】解：向量a→=(2，2)，對于A，-2b→=(-2，2)，a對于B，2b→=(2，-2)，a對于C，由于2×（﹣1）≠2×1，即a→與b→不共線，對于D，a→?b→=2×1+2×(-1)=0故選：D．4．（3分）已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，下列命題正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若m∥β，m∥α，則α∥β C．若m⊥n，n?β，則m⊥β D．若m∥α，m⊥β，則α⊥β【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，A錯誤；對于B，平行于同一直線的兩個平面可以平行，也可以相交，B錯誤；對于C，由直線與平面垂直的判斷方法可得C錯誤；對于D，若m∥α，則平面α存在直線l，滿足l∥m，由于m⊥β，則有l⊥β，必有α⊥β，故D正確．故選：D．5．（3分）拋擲三枚質地均勻的硬幣，有如下隨機事件：Ai＝“正面向上的硬幣數為i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有兩枚硬幣拋擲結果相同”，則下列說法正確的是（）A．A0與B相互獨立 B．A3與B對立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B【解答】解：總的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，P(A而P（A0∪B）＝0，P(A0)?P(B)=P(A3)+P(B)=2P（A2）＝P（B），故選項C錯誤；A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，所以A1+A2＝B，故選項D正確．故選：D．6．（3分）軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P﹣ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點，則異面直線PB與AC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：在直角圓錐P﹣ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點，∠ACB＝90°，則PA=PB=2過點B作BD∥AC交底面圓于點D，連接PD，AD，如圖，則∠PBD是異面直線PB與AC所成角或其補角，顯然BD=22AB=PB=PD所以∠PBD＝60°，即異面直線PB與AC所成角的大小為60°．故選：C．7．（3分）已知函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，x1，x2是f（x）的兩個零點，若x2＝4A．φ B．ω C．φω D．ω+【解答】解：函數f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0的周期為2πω令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈所以x=kπ+π2-φω，即x=又ω＞0，|φ|＜π所以0＜φ＜π2，x1又x2＝4x1，所以3π-2φ2ω所以φ=π故選：A．8．（3分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，P是棱A1D1上的一個動點，若PA=10，PD=2，則三棱錐P﹣A．144π B．36π C．9π D．6π【解答】解：令長方體ABCD﹣A1B1C1D1的高為h，PD1＝x，于是x2+h2=2在△PAD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，則△PAD外接圓半徑r=12×PAsin45°因此三棱錐P﹣ABD外接球的球心O在線段AB的中垂面上，球心O到平面PAD的距離為d=1則球半徑R=r2+d2=5+4=3，所以三棱錐P﹣ABD外接球的表面積故選：B．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯的得0分）（多選）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6°-cos6°=-2C．4sin15°sin75°＝1 D．3【解答】解：對于A，sin26°﹣cos26°＝﹣（cos26°﹣sin26°）＝﹣cos12°，故A錯誤；對于B，sin6°-cos6°=2(2對于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cos15°＝2sin30°＝1，故C正確；對于D，tan60°-tan15°1+tan60°tan15°=tan(60°-15°)=tan45°=1，故故選：BCD．（多選）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠發展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創新、追求卓越的堅實步伐．據統計，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達250億元，已超去年全年的60%，真正實現了“生于鄉間小湖，遠銷五洲四海”．某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實現翻番，現統計這四款商品的營收占比，得到如下餅圖．同比第一季度，下列說法正確的是（）A．今年商品A的營收是去年的4倍 B．今年商品B的營收是去年的2倍 C．今年商品C的營收比去年減少 D．今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變【解答】解：設去年第一季度營收為a億元，則今年第一季度營收為2a億元，由扇形圖可得：A款珍珠商品去年第一季度營收為0.1a億元，則今年第一季度營收為0.4a億元，A正確；B款珍珠商品去年第一季度營收為0.2a億元，則今年第一季度營收為0.4a億元，B正確；C款珍珠商品去年第一季度營收為0.5a億元，則今年第一季度營收為0.8a億元，C錯誤；因為商品B，D今年第一季度營收的總和占總營收的比例為40%，商品B，D去年第一季度營收的總和占總營收的比例為40%，所以今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變，D正確．故選：ABD．（多選）11．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起，使點A到達點A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C為90°．若M、N分別為A′B、CD的中點，則（）A．BE⊥A′N B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．點C到平面A′DE的距離為30【解答】解：連接AN交BE于點O，連接A′O，取BE的中點F，連接FM、FN，對于A選項，在正方形ABCD中，因為AB＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，則∠ABE＝∠DAN，所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，則∠AOE＝90°，即BE⊥AN，翻折后，則有BE⊥A′O，BE⊥ON，又因為A′O∩ON＝O，A′O、ON?平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，因為A′N?平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A對；對于B選項，因為M、F分別為A′B、BE的中點，所以，MF∥A′E，因為MF?平面A′DE，A′E?平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，因為DE∥BC，BC＝2DE，則四邊形BCDE為梯形，又因為F、N分別為BE、CD的中點，所以，FN∥DE，因為FN?平面A′DE，DE?平面A′DE，則FN∥平面A′DE，因為MF∩FN＝F，MF、FN?平面FMN，則平面FMN∥平面A′DE，因為MN?平面FMN，故MN∥平面A′DE，B對；對于C選項，因為AO⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，所以，BE=AB2則A′O=2在Rt△ADN中，cos∠DAN=AD所以，OD=O因為平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE＝BE，A′O⊥BE，A′O?平面A′BE，所以，A′O⊥平面BCDE，因為OD?平面BCDE，所以，A′O⊥OD，所以，A′D=A′O2翻折前，AB⊥AE，翻折后，A′B⊥A′E，若平面A′BE⊥平面A′DE，且平面A′BE∩平面A′DE＝A′E，A′B?平面A′BE，所以，A′B⊥平面A′DE，因為A′D?平面A′DE，則A′B⊥A′D，事實上，A′B＝2，A′D=2155，BD=22，則A′B2+A′D2即A′B、A′D不垂直，假設不成立，故平面A′BE與平面A′DE不垂直，C錯；對于D選項，因為S△CDE=12CD?DE=12所以，VA′-CDE在△A′DE中，A′E＝DE＝1，A′D=2由余弦定理可得cos∠A′ED=A′所以，sin∠A′ED=1-co所以，S△A′ED設點C到平面A′ED的距離為d，由VC﹣A′ED＝VA′﹣CDE，即13所以，d=255故選：ABD．（多選）12．（3分）在△ABC中，D為BC的中點，點E滿足BE→=2ED→．若∠A．|AB→|=2|ADC．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°【解答】解：在△ABC中，D為BC的中點，BE→=2ED→，∠對于A，ABAD=12AB?AEsin∠BAE對于B，AE→=AB對于D，過C作CF∥AD交BA的延長線于F，由D為BC的中點，得AD是△BCF的中位線，則CF＝2AD＝AB＝AF，于是∠DAC=∠ACF=∠CAF=12∠DAF=對于C，由選項D知，∠EAC＝90°，假定∠ABC＝20°，則∠AEC＝40°，AE=BE=1cos40°=cos∠AEC=AECE=12，與cos40°＞cos60°=故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）函數f（x）＝sin2x的最小正周期為π．【解答】解：函數f（x）＝sin2x的最小正周期為2π2=故答案為：π．14．（3分）某手機社交軟件可以實時顯示兩人之間的直線距離．已知甲在某處靜止不動，乙在點A時，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線從點A點走到點B，當乙在點B時，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點間的距離為500米，則乙從點A走到點B的過程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為1507【解答】解：令甲的位置為點C，如圖，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，由余弦定理得cosA=AB2過C作CD⊥AB于D，所以所求距離的最小值為CD=ACsinA=400×3故答案為：150715．（3分）已知一組樣本數據x1，x2，x3，x4，x5的方差為5，且滿足x1+x2+x3+x4＝4x5，則樣本數據x1，x2，x3，x4，x5+5的方差為9．【解答】解：由題意可得，數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數為x=方差s2又因為(x數據x1，x2，x3，x4，x5+5的平均數x′=所以方差s=1=1＝9．故答案為：9．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分別為線段AC1、AA1的動點，則△B1PQ周長的最小值是4+2【解答】解：如下圖所示：將面AB1C1、面AA1C1沿著AC1延展為一個平面，將面AA1B1、面AA1C1沿著AA1延展為一個平面，連接BB1′，此時，線段BB1′的長即為△B1PQ周長的最小值，則AB1=由于AB1=AC=2，B1C1＝CC1，AC1＝AC1，則△AB1C1延展后，則四邊形AA1C1B1為矩形，因為AA1＝A1B1′，AA1⊥A1B1′，則△AA1B1′為等腰直角三角形，所以∠A1AB1'＝45°，延展后，則∠B1AB1'＝135°，由余弦定理可得B1B1'=A故答案為：4+22四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）記a→、b→、c→（1）求?a（2）若a→?c【解答】解：（1）由已知|a→|=|所以，|a→-所以，cos?a因為0≤?a→，（2）由已知可得|a→|=|所以|2c18．（8分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為3，O1是上底面A1B1C1D1的一個動點．（1）求三棱錐A﹣O1BC的體積；（2）當O1是上底面A1B1C1D1的中心時，求AO1與平面ABCD所成角的余弦值．【解答】解：（1）如圖所示，根據題意得：VA-（2）如圖所示，過點O1做平面ABCD的垂線，垂足為G，易知G為AC中點，故∠O1AC為AO1與平面ABCD所成線面角，又AG=1所以AO1與平面ABCD所成角的余弦值為：cos∠O19．（8分）為了推導兩角和與差的三角函數公式，某同學設計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，點E為BC上一點，且AE⊥DE，過點D作DF⊥AB于點F，設∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用圖中邊長關系DF＝BE+CE，證明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos2【解答】（1）證明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，則DE＝sinβ，AE＝cosβ，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，則DF＝sin（α+β），在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，則BE＝sinαcosβ，CE＝cosαsinβ，依題意，四邊形BCDF是矩形，則DF＝BC＝BE+CE，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（2）解：由BE=CE=13及（1）知，則tanα＝tanβ，而α，β為銳角，即有α＝β，sin2α=23，又2α＝α+β＝∠BAD是銳角，于是所以sin2α+cos2β=2+20．（8分）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運會志愿者的服務工作是舉辦一屆成功的亞運會的重要保障．為配合亞運會志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績滿分100分，現隨機抽取了80名候選者的面試成績，繪制成如圖頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計這80名候選者面試成績平均值x，眾數，中位數；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，中位數精確到0.1）（2）乒乓球項目場地志愿服務需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過該項志愿服務選拔，需要通過抽簽的方式決定最終的人選，現將3張寫有“中簽”和2張寫有“未中簽”字樣的字條隨機分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，x=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5眾數為70，因為前2組的頻率和為10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3組的頻率和為10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，所以中位數在第3組，設中位數為m，則0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，所以中位數為69.4．（2）記3名男生分別為A，B，C，記2名女生分別為a，b，則所有抽簽的情況有：未中簽AB，中簽Cab；未中簽AC，中簽Bab；未中簽Aa，中簽BCb；未中簽Ab，中簽BCa；未中簽BC，中簽Aab；未中簽Ba，中簽ACb；未中簽Bb，中簽ACa；未中簽Ca，中簽ABb；未中簽Cb，中簽ABa；未中簽ab，中簽ABC，共有10種情況，其中中簽者中男生比女生多的有：未中簽Aa，中簽BCb；未中簽Ab，中簽BCa；未中簽Ba，中簽ACb；未中簽Bb，中簽ACa；未中簽Ca，中簽ABb；未中簽Cb，中簽ABa；未中簽ab，中簽ABC，共7種，所以中簽者中男生比女生多的概率為71021．（10分）如圖，在平面四邊形ABCD中，點B與點D分別在直線AC的兩側，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）當cos∠CAD=23時，求△（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠（2）已知AD=2AB，且∠BAD=π【解答】解：（1）（i）設AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2x2在△ABC中，AB＝BC＝2，則底邊AC上的高h=A所以△ABC的面積S△ABC（ii）設∠ADC＝θ，依題意，∠BAC=∠BCA=π則AD＝AC＝2ABcos∠BAC＝4sinθ，CD＝2ADcos∠ADC＝8sinθcosθ＝2，即sin2θ=12，而所以∠ABC=2θ=5π（2）連接BD，△ABD中，AD=2AB，由余弦定理得BD則BD＝AB，∠ABD=π2，設∠CBD=α(0＜α＜π2)，在△BCD于是AB＝BD＝2BCcos∠CBD＝4cosα，在△ABC中，∠ABC=π由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos∠ABC，則A=8sin2α+8(cos2α+1)+4=82當且僅當2α+π4=所以當α=π8時，所以AC的最大值是2+2222．（10分）如圖，在正三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分別為AA1，B1C1的中點．（1）證明：DE⊥平面BB1C1C；（2）設P，Q分別為棱AB，BC上的點，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ與△ABC的面積比為3：8，（i）證明：BP=34（ii）求α與平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】解：（1）延長AA1，BB1，CC1交于點S，因為AB＝2A1B1＝2AA1，所以三棱錐S﹣ABC為正四面體，連接SE并延長，分別交BC，BC1于點F，G，則G為等邊△ABC的中心，連接AG，則AG⊥面SBC，所以SDSA所以DE∥AG，所以DE⊥面SBC．（2）（i）證明：延長C1D，CA交于點H，若C1，D，P，Q均在平面α上，則H，P，Q共線，設AB＝2A1B1＝2AA1＝2，則AH＝1，過點A作AM∥BC，交PQ于點M，設BQ＝k，則CQ＝2﹣k，AM=2-k3，所以APBP=AM所以S△PBQ＝S△ABC?k2?3k所以k2?3k所以k＝1，所以點Q與點F重合，均為BC的中點，所以BPAB=3k2+2k=（ii）連接DP，C1Q，由題知DP∥C1Q，且DP=12，C1Q＝1，BC1＝連接AB1交DP于點N，易知B1N⊥DP，且B1N=34AB1=334，DPVB1-DPQ=VB﹣DPQ＝VQ﹣BDP=316VQ﹣ABS=HC1＝HF=25所以dB-所以dQ﹣DP=1所以S△DPQ=12?12所以13?3316所以dB設平面α與平面ABB1A1所成角為θ，所以sinθ=6所以平面α與平面ABB1A1所成角的正弦值為422022-2023學年浙江省溫州市高一（下）期末數學試卷（A卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知z∈C，i為虛數單位，若z?i＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．i2．（5分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，則a＝（）A．263 B．2 C．23．（5分）直線a，b互相平行的一個充分條件是（）A．a，b都平行于同一個平面 B．a，b與同一個平面所成角相等 C．a，b都垂直于同一個平面 D．a平行于b所在平面4．（5分）在四邊形ABCD中，已知OA→+OCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形5．（5分）某同學投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，已知這組數據的平均數為3，方差為0.4，則點數2出現的次數為（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足AB∥平面MNP的是（）A． B． C． D．7．（5分）在一個盒子中有紅球和黃球共5個球，從中不放回的依次摸出兩個球，事件A＝“第二次摸出的球是紅球”，事件B＝“兩次摸出的球顏色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黃球”，若P(A)=2A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣P（AC．P(A∪B)=45 8．（5分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E為棱AD上一點，且AE＝6，平面A1BE上一動點Q滿足AQ→?EQ→=0，設PA．34+26 B．34+22 C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）已知復數z，其共軛復數為z，下列結論正確的是（）A．z?z=|z|2 B．z2=（多選）10．（5分）國家統計網最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如表1）所示，并繪制如圖所示的折線圖，則（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差 B．昆明月平均氣溫的標準差大于鄭州月平均氣溫的標準差 C．鄭州月平均氣溫的中位數小于昆明月平均氣溫的中位數 D．鄭州月平均氣溫的第一四分位數為10（多選）11．（5分）平面向量a→，b→，c→滿足|a→|=1，|b→|=2A．|c→|的最小值為32 C．|a→-c→|+|（多選）12．（5分）如圖，在長方形ABCD中，AB＝1，AD＝4，點E，F分別為邊BC，AD的中點，將△ABF沿直線BF進行翻折，將△CDE沿直線DE進行翻折的過程中，則（）A．直線AB與直線CD可能垂直 B．直線AF與CE所成角可能為60° C．直線AF與平面CDE可能垂直 D．平面ABF與平面CDE可能垂直三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）如圖，由A，B兩個元件組成并聯電路，觀察兩個元件正常或失效的情況，則事件M＝“電路是通路”包含的樣本點個數為．14．（5分）已知平面向量a→=(2，0)，b→=(1，1)，則b→15．（5分）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美，如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為．16．（5分）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足AO＝3OC，AD的中點為E，BE＝3，則箏形ABCD的面積取到最大值時，AB邊長為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）關于x的一元二次方程x2+（a+1）x+4＝0（a∈R）有兩個根x1，x2，其中x1（1）求a的值；（2）設x1，x2在復平面內所對應的點分別為A，B，求線段AB的長度．18．（12分）在菱形ABCD中，AE→=13AD→，（1）用a→，b→表示（2）若BD→?EF19．（12分）如圖，正方形ABCD是圓柱OO1的軸截面，EF是圓柱的母線，圓柱OO1的體積為16π．（1）求圓柱OO1的表面積；（2）若∠ABF＝30°，求點F到平面BDE的距離．20．（12分）現行國家標準GB2762﹣2012中規定了10大類食品中重金屬汞的污染限量值，其中肉食性魚類及其制品中汞的最大殘留量為1.0mg/kg，近日某水產市場進口了一批冰鮮魚2000條，從中隨機抽取了200條魚作為樣本，檢測魚體汞含量與其體重的比值（mg/kg），由測量結果制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計這200條魚汞含量的樣本平均數；（2）用樣本估計總體的思想，估計進口的這批魚中共有多少條魚汞含量超標；（3）從這批魚中顧客甲購買了2條，顧客乙購買了1條，甲乙互不影響，求恰有一人購買的魚汞含量有超標的概率．21．（12分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，已知bcosC﹣ccosB＝2a．（1）若c＝a，求B的大小；（2）若c≤2a，過B作AB的垂線交AC于D，求BC?BDS22．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝4，點E是邊AD上的動點，沿BE將△ABE翻折至△A'BE，使二面角A'﹣BE﹣C（1）當AE＝3時，求證：A'B⊥CE；（2）當線段A'C的長度最小時，求二面角C﹣A'B﹣E的正弦值．

2022-2023學年浙江省溫州市高一（下）期末數學試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知z∈C，i為虛數單位，若z?i＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．i【解答】解：z=1-i故選：B．2．（5分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，則a＝（）A．263 B．2 C．2【解答】解：因為b＝2，A＝45°，B＝60°，由正弦定理可得，asinA則a=bsinA故選：A．3．（5分）直線a，b互相平行的一個充分條件是（）A．a，b都平行于同一個平面 B．a，b與同一個平面所成角相等 C．a，b都垂直于同一個平面 D．a平行于b所在平面【解答】解：當a，b都平行于同一個平面時，兩直線可能異面，A錯誤；當a，b與同一個平面所成角相等時，直線a，b可能相交，B錯誤；當a，b都垂直于同一個平面時，直線a，b一定平行，C正確；當a平行于b所在平面時，a，b也可能異面，D錯誤．故選：C．4．（5分）在四邊形ABCD中，已知OA→+OCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形【解答】解：∵OA→∴OA→∴BA→∴四邊形ABCD為平行四邊形．故選：D．5．（5分）某同學投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，已知這組數據的平均數為3，方差為0.4，則點數2出現的次數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：設這五個數為x1，x2，x3，x4，x5，則(x因為(x所以這五個數必有3個3，另外兩個為2或4．又x1+x2+x3+x4+x5＝15，所以這五個數為3，3，3，2，4，點數2出現的次數為1．故選：B．6．（5分）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足AB∥平面MNP的是（）A． B． C． D．【解答】解：對于A：連接MB，NC，由圖可知，AB與平面MNP相交，故不滿足AB∥平面MNP，故A錯誤；對于B：如圖所示，G，H，F，E分別是所在棱的中點，連接NH，NG，GF，FM，EM則平面MNP和平面NGFMPH為同一平面，因為AB∥EM，因為EM與平面NGFMPH相交，所以不滿足AB∥平面MNP，故B錯誤；對于C：連接AD，交MN與點O，連接PO，因為O，P分別為AD，BD中點，所以PO∥AB，由線面平行的判定定理可知，AB∥平面MNP，故C正確；對于D：D，F，E分別是所在棱的中點，連接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，平面DNFMEP與平面MNP為同一平面，取AC的中點為O，連接MO，由中位線定理可知，AB∥MO，因為MO與平面MNP相交，所以不滿足AB∥平面MNP，故D錯誤；故選：C．7．（5分）在一個盒子中有紅球和黃球共5個球，從中不放回的依次摸出兩個球，事件A＝“第二次摸出的球是紅球”，事件B＝“兩次摸出的球顏色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黃球”，若P(A)=2A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣P（AC．P(A∪B)=45 【解答】解：依題意，事件A，C對立，P（A）+P（C）＝1，故B正確；設盒子中有m個紅球，5﹣m個黃球，P(A)=P(A∩B)=25?14P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=710，故故選：C．8．（5分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E為棱AD上一點，且AE＝6，平面A1BE上一動點Q滿足AQ→?EQ→=0，設PA．34+26 B．34+22 C．【解答】解：以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．設Q（x，y，z），長方體外接球球心記為O，則O（3，4，3），A（6，8，0），B（0，8，0），E（6，2，0），A1（6，8，6），∴EQ→EA∵EQ→∴（x﹣6）2+（y﹣2）（y﹣8）+z2＝0，①又動點Q在面A1BE上，所以可設EQ→則x-6=-6λy-2=6λ+6μz=6μ，即x=6-6λ將②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，③在三棱錐A﹣A1BE中，AE＝AB＝AA1＝6且AE，AB，AA1兩兩互相垂直，所以三棱錐A﹣A1BE為正三棱錐且底邊BE=62當AQ⊥面A1BE時，|AQ→在正三棱錐A﹣A1BE中，由等體積法有13×1又|EQ先代入②再代入③有|EQ則6λ+μ=26，此時λ+μ當點Q與點E重合時，滿足EQ→?AQ→=0，|AQ→則λ+μ∈[0，2點Q到外接球球心距離為|OQ→將②代入④中整理得|OQ又2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，所以|OQ因為λ+μ∈[0，23]，所以當λ+μ因為長方體外接球半徑為12所以P，Q兩點間距離的最大值為34+故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）已知復數z，其共軛復數為z，下列結論正確的是（）A．z?z=|z|2 B．z2=【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R），則z=a-bi對于A，z?z=（a+bi）?（a﹣bi）＝a2+b2，|z|2=(對于B，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，|z|2=(對于C，z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a≠0，故選項對于D，|z|+|z|=2a2+b2，|z+z故選：AD．（多選）10．（5分）國家統計網最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如表1）所示，并繪制如圖所示的折線圖，則（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差 B．昆明月平均氣溫的標準差大于鄭州月平均氣溫的標準差 C．鄭州月平均氣溫的中位數小于昆明月平均氣溫的中位數 D．鄭州月平均氣溫的第一四分位數為10【解答】解：對于A，昆明月平均氣溫的極差為21.6﹣9.3＝12.3，鄭州月平均氣溫的極差為28.9﹣2.9＝26＞12.3，故A正確；對于B，由折線圖可知，昆明月平均氣溫相較于鄭州月平均氣溫更為集中，所以昆明月平均氣溫的標準差小于鄭州月平均氣溫的標準差，故B錯誤；對于C，昆明的月平均氣溫按從小到大的順序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，16.8，19，20.4，21.2，21.3，21.5，21.6，則昆明月平均氣溫的中位數為16.8+192鄭州的月平均氣溫按從小到大的順序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，則鄭州的月平均氣溫的中位數為15.2+16.52鄭州月平均氣溫的中位數小于昆明月平均氣溫的中位數，故C正確；對于D，因為12×1所以鄭州月平均氣溫的第一四分位數為8.7+11.32=10，故故選：ACD．（多選）11．（5分）平面向量a→，b→，c→滿足|a→|=1，|b→|=2A．|c→|的最小值為32 C．|a→-c→|+|【解答】解：不妨設a→由于|b→|=2，a→與則b→=(1，3設c→=(x，y)，則|(1-x，-y)|=|(1-x，3所以(1-x)2+(-y解得y=32或則c→=(x，3對于A，|c→|=對于B，當c→=(x，32)時，設a→=OA則|a當c→=(x，-32)時，設a→=OA則|a→-對于C，當c→=(x，32)則|a由于點C在直線y=32上運動，則同理當c→=(x，-32)，此時b對于D，當c→=(x，3則c→當