高中數(shù)學(xué)必修4知識匯總

三角函數(shù)

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角：不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾

象限角.

第一象限角的集合為{Hh36(r<a<h36(T+9(r,keZ}

第二象限角的集合為{?k.360°+90。<%?3600+180。/eZ}

第三象限角的集合為卜卜?360。+180。<。<h360。+270。,左wZ}

第四象限角的集合為{ak360°+270。3600+360°,ZreZ}

終邊在x軸上的角的集合為{ak=hl8(T,keZ}

終邊在y軸上的角的集合為{ak=hl8(T+9(r,ZeZ}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{。,=人90。/eZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為{/忸=H36(T+a,keZ}

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

5、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角a的弧度數(shù)的絕對值是悶=:.

6、弧度制與角度制的換算公式：2萬=360。，1。=—,1=(圖)=57.3°.

180I%J

7、若扇形的圓心角為a(a為弧度制)，半徑為r,弧長為/,周長為C,面積為S,貝h=r|a|,

C=2r+l?S-—lr--\a\r2.

2211

8、設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離是

r[r=y]x2+y2>oj>則sina=),cosa--,tana=)(xK0).

9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正,

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

10>三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(l)sin26if+cos2a=1(sin2a=l-cos26r,cos2a=l-sin2a)

小sina(.sina、

(2)------=tanasina=tanacosa,cosa=-------.

coscrItana)

12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(l)sin(2k7r+a)=sina,cos(2^+?)=cosa,tan(227r+a)=tana(4￡Z).

(2)sin(zr+?)=-sina,cos(4+&)=-cosa,tan(乃+a)=tana.

⑶sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(一0)=一tana.

(4)sin(〃-a)=sina,cos(v-a)=-cosa,tan(7r-a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移闞個(gè)單位長度，得到函數(shù)丁=目11（1+0）的圖象；再將函數(shù)

y=sin（x+°）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的十倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y=sin3x+0）的圖象；再將函數(shù)尸sin?x+°）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)丁=人4"的+夕）的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

0）

y=sin如:的圖象；再將函數(shù)丁=41!6?的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移的個(gè)單位長度，得到函數(shù)

CD

y=sin（Gx+°）的圖象；再將函數(shù)y=sin（5+Q）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)＞=Asin（Ox+0）的圖象.

14＞函數(shù)y=Asin3x+0）（A＞0,口＞0）的性質(zhì)：

①振幅：A；②周期：T=也；③頻率：/=-=—；④相位：5+°；⑤初相：＜p.

0）T2萬

函數(shù)y=Asin（〃次+0）+B,當(dāng)工=為時(shí)，取得最小值為；當(dāng)了二當(dāng)時(shí)，取得最大值為Nnm，則

1JT

A=2（^n?-A；i.）?B=-（Xnax+Zni,＞）?Q=々一%（%＜%）?

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):

j=sinxy=cosxy=tanx

yy￥zr4

圖象7

-0~Q

4VL7X

71]

定義域RR<Xk7T+—,k

值域[-M][-M]R

當(dāng)x=2左乃+g(ZeZ)時(shí)，當(dāng)x=2k兀(keZ)時(shí)，

最值為穌=1；當(dāng)x=2k"/>max=l；當(dāng)X=2k兀+兀既無最大值也無最小值

(ZeZ)時(shí)，ymil,=-l.(左wZ)時(shí),>'min=-1.

周期性2TC247T

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k；r--,2k7T+—

22

在［2br-;r,2A%|（Z：GZ）上是

在回淮+?

(左e二)上是增函數(shù)；在

單調(diào)性增函數(shù)；在［2br,2br+司

7T,,3萬

2k71——,2KTT+——（丘Z）上是增函數(shù).

22_（AeZ）上是減函數(shù).

(kw三Z)上是減函數(shù).

對稱中心（br,O）（左wZ）對稱11」心（攵〃+合0）（攵eZ）

與，0）信*Z）

對稱中心

對稱性rr

對稱軸x=%%+萬（女eZ）

對稱軸x=%萬（％eZ）無對稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度.零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

⑶三角形不等式:M—⑹卜卜+方卜同+網(wǎng).

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a；a+b=AB+BC=AC

②結(jié)合律：（1+5）+守=汗+（5+不）；@a+O=O+a=a.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)汗=（玉,yj,萬=（9,%）,則M+B=（X］+%,必+%）-

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)1=（玉,凹），石=（七,%），則1一行=（%—工2，?—%）?

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（玉,yj,（9,%），則出=（牛Wk%）?

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)X與向量萬的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作丸萬.

①］羽=囚同;

②當(dāng)/1>（）時(shí)，4M的方向與M的方向相同；當(dāng)a<0時(shí)，然的方向與方的方向相反；當(dāng)2=0時(shí)，Aa=6.

（2）運(yùn)算律：①②+=+③％（a+5）=4a+?.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)M=（x,y）,則=蒼y）=（/l羽Xy）.

20、向量共線定理：向量力伍工0）與5共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X,使5=4限

設(shè)M=（X］，X）,石=（孫％），其中則當(dāng)且僅當(dāng)七%一/X=o時(shí)，向量1、5伍工0）共線.

21、平面向量基本定理：如果I、1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有

且只有一對實(shí)數(shù)4、4,使（不共線的向量I、月1作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段PF?上的一點(diǎn)，P,>P2的坐標(biāo)分別是（％,y），（w，%），當(dāng)?shù)?/1呵時(shí)，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（把華，立學(xué)］.（當(dāng)幾=1時(shí)，就為中點(diǎn)公式。

I1+21+2）

23、平面向量的數(shù)量積：

⑴無5=同5卜056（萬"180°）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)也和5都是非零向量，則①a_L5=無5=0.②當(dāng)萬與5同向時(shí)，a-b=|^||^|；當(dāng)M與5反向

時(shí)，小石二一|同忖；"0=42=同2或同③k?5卜同網(wǎng).

(3)運(yùn)算律：?a-b=b-a；②(/Uf)?5=4(a?5)=。?(/l5)；?[a+b^-c=d'C+b-c.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量M=(X],yJ,b=(^2，y2),則+

若M=(x,y),則同2=Y+/,或同=+.2.設(shè)互=(3，yJ,1=(孫力)，則「泌12=°，

設(shè)M、b都是非零向量，1=5=(占,%)，6是&與B的夾角，則cos。=29P=~^'「"十.

\s\\b\收+￡依+￡

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos(a—/?)=cosacos/?+sinasin0:(2)cos(6Z+/?)=cosacos/3-sinasin13；

(3)sin(cr-^)=sinacosp-cosasinp；(4)sin(a+yff)=sinacos/?4-cosasinft；

⑸tan(a_l)=tanaTan/n

(tana-tan〃=tan(a-力)(l+tanatan/?))；

1+tanatan0

⑹tan(a+/?)=tana+tan'=

(tancr+tan=tan(cr+/?)(1-tancrtan/?)).

1-tanatan0

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴sin2a=2sinacosa.n1±sin2a=sin?+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)?

⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

=>升幕公式1+cosa=2cos2—,1-coscif=2sin2—

22

映一八一2cos2a+1.21-cos2a

=>降梟公式cos2a-------------,sin"a=--------------

22

2tana萬能公式:

(3)tan2a

2

1-tanaaa

2tan—1—tan2

26、半角公式：

sinQ=-----------^―cosa=--2----------

aa

1+tan9-1+tan2

22

a/I-cosasina_1—cosa

tan——土"---

2V1+cosa1+cosasina=(后兩個(gè)不用判斷符號，更加好用)

27、合一變形=把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方"的y=Asin(a+e)+8

形式。Asina+Bcosa=，A：+B，sin(a+0),其中tane=1.

28、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式,

掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

(1)角的變換:在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍

半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：

①2。是a的二倍；4c是2。的二倍；。是土的二倍；巴是竺的二倍；

224

30”乃7i

@15°=45°-30°=60°-45°=——；問：sin—=；cos—=；

21212

(3)OL—(fit+P)―/3；④—CL----(a)；⑤2a=(a+夕)+(a—夕)=(—Fa)—(---a)；等等

42444

(2)函數(shù)名稱變換:三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切

為弦，變異名為同名。

(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換

變形有：