高一數學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡對應位置“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則的值為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平面向量共線的坐標公式計算即可.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故選：D.2.已知復數的共軛復數滿足（為虛數單位），則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據復數的除法運算化簡共軛復數，從而得復數，再根據復數的幾何意義即可得答案.【詳解】由得所以，則在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A.3.如圖，用斜二測畫法得到的直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據所給的直觀圖是一個等腰直角三角形且直角邊長是，求出直觀圖的面積，根據平面圖形的面積是直觀圖的倍，得到結果．【詳解】△是一平面圖形的直觀圖，直角邊長為，直角三角形的面積是，因為平面圖形與直觀圖的面積的比為，原平面圖形的面積是．故選：B．4.已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為13，弧長為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可求得圓錐的底面半徑和高，根據圓錐的體積公式即可得答案.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意可知，且，則，故該圓錐的體積為，故選：A5.假設，，且A與相互獨立，則（）A.0.9 B.0.75 C.0.88 D.0.84【答案】C【解析】【分析】根據獨立事件的乘法公式求得，再根據和事件的概率計算即可求得答案.【詳解】由題意，，且A與相互獨立，則,故，故選：C6.已知三棱錐中，平面，則三棱維的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為長寬高構建長方體，則長方體的外接球是三棱錐的外接球，由此能求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】在三棱錐中，平面，以為長寬高構建長方體，則長方體的外接球是三棱錐的外接球，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.7.如圖，為平行四邊形對角線上一點，交于點，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，再根據向量的加減法則用把表示出來，從而可求出，進而可求出.【詳解】因為為平行四邊形對角線上一點，交于點，所以，所以，因為，所以，所以，故選：C8.一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數字，投擲這枚骰子兩次，事件“第一次向上一面的數字是2”，事件“第二次向上一面的數字是3”，事件“兩次向上一面的數字之和是7”，事件“兩次向上一面的數字之和是8”，則（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】D【解析】【分析】根據相互獨立事件得定義結合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】投擲這枚骰子兩次，共有個基本事件，共個基本事件，則，共個基本事件，則，共個基本事件，則，共個基本事件，則，事件為不可能事件，則，所以與不相互獨立，故A錯誤；事件共個基本事件，則，所以與不相互獨立，故B錯誤；事件共個基本事件，則，所以與不相互獨立，故C錯誤；事件共個基本事件，則，所以與相互獨立，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關于復數的四個命題中為真命題的是（）A.B.C.的共軛復數為D.是關于的方程的一個根【答案】BD【解析】【分析】根據復數的除法運算求得，根據模的計算可判斷A；根據復數的乘方判斷B；根據共軛復數的概念判斷C；計算，判斷D.【詳解】由題意得，故，A錯誤；，B正確；的共軛復數為，C錯誤；，即z是關于x的方程的一個根，D正確，故選：BD10.有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，下列命題正確的是（）A.若樣本的每一個數據變為原來的6倍，則平均數也變為原來的6倍，方差不變B.若樣本的每一個數據增加3，則平均數也增加3，方差不變C.若樣本數據增加兩個數值，且，則極差變大D.若樣本數據增加兩個數值，且，則中位數不變【答案】BCD【解析】【分析】根據一組數據都加上或都乘以一個數后的平均值以及方差的性質可判斷A，B；根據極差的概念判斷C；根據中位數的概念判斷D.【詳解】對于A，若樣本的每一個數據變為原來的6倍，則平均數也變為原來的6倍，方差變為原來的36被，A錯誤；對于B，根據原來的數據都加上一個數后的平均知己方差的性質可知，若樣本的每一個數據增加3，則平均數也增加3，方差不變，B正確；對于C，原來數據的極差為，樣本數據增加兩個數值后的極差為樣本數據增加兩個數值，由于，故，C正確；對于D，不妨假設樣本數據是從小到大排列，則其中位數為，樣本數據增加兩個數值，且，則其中位數也為，D正確，故選：BCD11.在中，角的對邊分別為，下列條件中能確定為銳角的有（）A. B.C.A，B均為銳角，且 D.【答案】BD【解析】【分析】選項A由余弦定理可判斷；選項B由向量的數量積定義可判斷；選項C由誘導公式有，由正弦函數的單調性可判斷；選項D由正弦定理可得，則，由大邊對大角可判斷.【詳解】對于A，為鈍角，故A錯誤；對于B，，，為銳角，故B正確；對于C，均為銳角，∴，，又，所以，可得則為鈍角，故C錯誤；對于D，，由正弦定理得，，則為銳角，故D正確.故選：BD.12.已知在正三棱錐中，為等邊三角形，由此三棱錐截成的三棱臺中，，則下列敘述正確的是（）A.該三棱臺的高為2B.C.該三棱臺的側面積為D.該三棱臺外接球的半徑長為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據三棱臺的圖形特點，利用直角三角形中勾股定理求解即可；對于B，根據線面垂直的相關知識，結合圖形特點進而證明即可；對于C，根據梯形面積計算方法直接計算即可；對于D，根據圖形特點找到外接球的球心，進而得到半徑即可判斷.【詳解】如下圖所示，取，的中心，連接，對于A，在中，根據正弦定理得，得外接圓半徑，即，同理，，在平面中，過點作交與點，顯然，四邊形為矩形，則，所以，在直角中，，所以，即該三棱臺的高為2，故A正確；對于B，由正三棱錐的性質可知，平面，因為平面，所以，因為是等邊的中心，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，故B正確；對于C，如右圖所示，在梯形中，過點作交于點，過點作交于點，根據梯形性質易知，四邊形是矩形，則，則，在直角中，，所以梯形的面積為，所以該三棱臺的側面積為，故C錯誤；對于D，因為，則，則點是三棱臺外接球的球心，則該三棱臺外接球的半徑長為，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何中棱錐與棱臺的綜合問題.立體幾何小題要善用觀察法，從而找到特殊的幾何關系，通過數形結合的方法求解答案.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數據：20，30，40，50，50，60，70，80，這組數據的第70百分位數是________.【答案】【解析】【分析】根據百分位數的定義計算即可.【詳解】因為，所以組數據的第70百分位數是第個數，即為.故答案為：.14.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據題意求得，結合向量的數量積的運算公式求得的值，得到的坐標，利用向量模的公式，即可求解．【詳解】因為，可得，又因為，可得，解得，所以，所以.故答案為：.15.一艘海輪從處出發，以每小時60海里的速度沿南偏東方向直線航行，30分鐘后到達處.在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離是________海里.【答案】【解析】【分析】由題意可求出的值，然后在利用正弦定理可求出【詳解】由題意得，，所以，在中，由正弦定理得，則，所以，得，即兩點間的距離是海里，故答案為：16.已知在中，，.對任意，恒成立.，點在直線上運動，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由題意可得為點到的垂線段，即，設關于直線的對稱點為，連接，連接交于，此時最小，，結合余弦定理即可求解.【詳解】因為，所以，因為對任意，恒成立，所以由減法與數乘的幾何意義，為點到的垂線段，所以，因為，所以，設關于直線的對稱點為，連接，連接交于，此時最小，，因為，在中，根據余弦定理可得，即的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角，，的對邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理與三角恒等變換即可得，再由弦化切得，從而可得角的大小；（2）由余弦定理求邊，再由面積公式即可得的面積.【小問1詳解】因為，由正弦定理得所以，則，因為，所以故，即，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理得：，整理得解得或（舍）所以的面積18.已知直三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于O點，連接，證明，即可證明結論；（2）根據等體積法，即，即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，交于O點，連接，因為四邊形，故O為中點，又為的中點，故,而平面,平面,故平面；【小問2詳解】因在直三棱柱中，平面,平面，故，則，故，即為直角三角形，由題意知，平面,平面，故，又，平面，故平面，設點到平面距離為d，由于，則，即，則，即點到平面的距離為.19.已知，是夾角為的兩個單位向量，，.（1）求與的夾角；（2）若與（）互相垂直，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據數量積的運算律求得以及，利用向量的夾角公式即可求得答案；（2）根據垂直的向量表示，列式計算，即可求得答案.【小問1詳解】因為，是夾角為的兩個單位向量，故，則，則，，故，而，故.【小問2詳解】因為與（）互相垂直，故，即，故.20.某統計局就當地居民的月收入情況調查了10000人，這10000人的月收入（單位：元）均在之間，并根據所得居民的月收入數據進行分組（每組為左閉右開區間），畫出了頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）根據頻率分布直方圖估計樣本數據的中位數；（3）已知在收入為，之間人中采取分層隨機抽樣的方法抽取6人進行調查，并在這6人中再隨機選取2人作為調查員，求選取的2名調查員中至少有一人收入在之間的概率.【答案】（1）（2）元（3）【解析】【分析】（1）根據概率之和等于1求解即可；（2）根據頻率分布直方圖中中位數的計算公式計算即可；（3）先根據分層抽樣的定義求出每層的人數，再利用列舉法結合古典概型即可得解.【小問1詳解】由題意，，解得；【小問2詳解】因為，所以中位數位于區間內，設為，則，解得，所以樣本數據的中位數為元；【小問3詳解】由題意，內有人，設為，內有人，設為，在這6人中再隨機選取2人作為調查員，有，共種，其中選取的2名調查員中至少有一人收入在，有，共種，所以選取的2名調查員中至少有一人收入在之間的概率為.21.某高校的人學面試中有3道難度相當的題目，甲同學答對每道題目的概率都是0.8，乙同學答對每道題目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同題目能否答對是獨立的.若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直到第三次答完為止.（1）求在甲、乙兩人第一次答題中只有一人通過面試的概率；（2）求甲、乙兩人都通過面試且甲的答題次數少于乙的答題次數的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分甲通過乙不通過和甲不通過和乙通過兩種情況，結合相互獨立事件的概率公式即可得解；（2）分甲第一次通過乙第二次通過、甲第一次通過乙第三次通過和甲第二次通過乙第三次通過三種情況，結合相互獨立事件的概率公式即可得解.【小問1詳解】由題意，所求概率為；【小問2詳解】由題意，有甲第一次通過乙第二次通過、甲第一次通過乙第三次通過和甲第二次通過乙第三次通過三種情況，當甲第一次通過乙第二次通過時，概率為，當甲第一次通過乙第三次通過時，概率為，當甲第二次通過乙第三次通過時，概率為，所以所求概率為.22.如圖1，在四邊形中，，，.為的中點，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體.（1）證明：平面；（2）若為上靠近點的三等分點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）根據中位線等圖形關系得到四邊形為平行四邊形，得到，根據線面垂直得到，結合，再轉化后結合線面垂直的判定定理即可證明；（2）根據圖形關系作出所求二面角的平面角，根據三角形面積相等得到，在直角三角形中運算即可求解角的余弦值.【小問1詳解】如圖，