3.1.1函數(shù)的概念(二)第三章

§3.1函數(shù)的概念及其表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù).2.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集.3.會求一些簡單函數(shù)的定義域與函數(shù)值.課時對點練一、區(qū)間的概念二、求函數(shù)的定義域與值三、判斷是否為同一個函數(shù)隨堂演練內(nèi)容索引四、求抽象函數(shù)的定義域區(qū)間的概念

一知識梳理設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：區(qū)間數(shù)軸表示______

______

______

______

[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，b]

(－∞，b)

(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，開閉不能混淆.(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意實心點與空心點的區(qū)別.(3)區(qū)間是實數(shù)集的一種表示形式，集合的運(yùn)算仍然成立.(4)∞是一個符號，而不是一個數(shù).注意點：

把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；例1{x|x≥－1}＝[－1，＋∞).(2){x|x<0}；{x|x<0}＝(－∞，0).(3){x|－1<x<1}；{x|－1<x<1}＝(－1,1).(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.{x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4].用區(qū)間表示數(shù)集時要注意：(1)區(qū)間左端點值小于右端點值.(2)區(qū)間兩端點之間用“，”隔開.(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號.(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號.反思感悟

(1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用區(qū)間表示為______________.跟蹤訓(xùn)練1{x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2,0)∪(0,2].(－2,0)∪(0,2](2)已知區(qū)間(a2＋a＋1,7]，則實數(shù)a的取值范圍是________.(－3,2)由題意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3<a<2，所以實數(shù)a的取值范圍是(－3,2).求函數(shù)的定義域與值

二例2所以f(x)的定義域為[1，＋∞).[1，＋∞)(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋

，則f(2)＝__；當(dāng)a≠－1時，f(a＋1)＝___________.(1)求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注三點①要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：(ⅰ)分式的分母不為0；(ⅱ)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.②不對解析式化簡變形，以免定義域變化.③當(dāng)一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合.反思感悟(2)函數(shù)求值的方法①已知f(x)的表達(dá)式時，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值.②已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.反思感悟

求下列函數(shù)的定義域：跟蹤訓(xùn)練2由于0的零次冪無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤5，且x≠±3，解不等式組得－1≤x<1.判斷是否為同一個函數(shù)

三問題1

構(gòu)成函數(shù)的要素有哪些？提示定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.問題2

結(jié)合函數(shù)的定義，如何才能確定一個函數(shù)？提示有確定的定義域和對應(yīng)關(guān)系，則此時值域唯一確定.

下列各組函數(shù)：例3⑤汽車勻速運(yùn)動時，路程與時間的函數(shù)關(guān)系f(t)＝80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)＝80x(0≤x≤5).其中表示同一個函數(shù)的是________(填序號).③⑤①不是同一個函數(shù)，定義域不同，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為R.②不是同一個函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系不同，③是同一個函數(shù)，定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同.④不是同一個函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.⑤是同一個函數(shù)，定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同.判斷兩個函數(shù)為同一個函數(shù)應(yīng)注意的三點(1)定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個函數(shù).(2)函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.(3)在化簡解析式時，必須是等價變形.反思感悟

下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是A.y＝x＋1與y＝B.y＝x2＋1與s＝t2＋1C.y＝2x與y＝2x(x≥0)D.y＝(x＋1)2與y＝x2跟蹤訓(xùn)練3A，C選項中兩函數(shù)的定義域不同，D選項中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯誤.√求抽象函數(shù)的定義域

四

(1)函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1,3]，則f(2x＋1)的定義域為________.例4[－1,1]令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f(2x＋1)的定義域為[－1,1].(2)若函數(shù)y＝f(3x＋1)的定義域為[－2,4]，則y＝f(x)的定義域是A.[－1,1] B.[－5,13]C.[－5,1] D.[－1,13]√由題意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f(x)的定義域是[－5,13].抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域為[a，b]，求f(g(x))的定義域時，不等式a≤g(x)≤b的解集即定義域.(2)已知f(g(x))的定義域為[c，d]，求f(x)的定義域時，求出g(x)在[c，d]上的范圍(值域)即定義域.反思感悟

已知函數(shù)f(x－1)的定義域為{x|－2≤x≤3}，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為A.{x|－1≤x≤9} B.{x|－3≤x≤7}C.{x|－2≤x≤1} D.跟蹤訓(xùn)練4√∵函數(shù)y＝f(x－1)的定義域為{x|－2≤x≤3}，∴－2≤x≤3，則－3≤x－1≤2，即函數(shù)f(x)的定義域為{x|－3≤x≤2}.∴對函數(shù)f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)區(qū)間的表示.(2)求簡單函數(shù)的定義域和函數(shù)值.(3)判斷是否為同一個函數(shù).(4)求抽象函數(shù)的定義域.2.方法歸納：整體代換.3.常見誤區(qū)：不會用整體代換的思想求抽象函數(shù)的定義域.隨堂演練

1.已知區(qū)間[2a－1,11]，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，6) B.(6，＋∞)C.(1,6) D.(－1,6)√1234由題意可知，2a－1<11，解得a<6.12342.已知四組函數(shù)：①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝

；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中是同一個函數(shù)的是A.沒有

B.僅有② C.②④

D.②③④√對于①，定義域不同；對于③，對應(yīng)關(guān)系不同；對于②④，定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同.1234√1234所以x≥－1且x≠1，{x|x≥－1且x≠1}課時對點練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.區(qū)間(0,1]等于A.{0,1} B.{(0,1]}C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}√12345678910111213141516√123456789101112131415163.設(shè)函數(shù)f(x)＝3x2－1，則f(a)－f(－a)的值是A.0

B.3a2－1

C.6a2－2

D.6a2√f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.123456789101112131415164.(多選)下列各組函數(shù)為同一個函數(shù)的是√√A.這兩個函數(shù)的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；B.這兩個函數(shù)的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；C.這兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系均相同，所以這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)；D.這兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系均相同，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).12345678910111213141516123456789101112131415165.若f(x)＝2x－1，則f(f(x))等于A.2x－1 B.4x－2C.4x－3 D.2x－3√f(f(x))＝f(2x－1)＝2(2x－1)－1＝4x－3.12345678910111213141516A.(0,2) B.(1,2)C.(2,3) D.(－1,1)√解得1<x<2.123456789101112131415167.若函數(shù)f(x)的定義域為[2a－1，a＋1]，值域為[a＋3,4a]，則a的取值范圍為________.(1,2)12345678910111213141516∴x≥3且x≠4，故函數(shù)f(x)的定義域為[3,4)∪(4，＋∞).[3,4)∪(4，＋∞)12345678910111213141516(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.1234567891011121314151610.求下列函數(shù)的定義域：所以函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠－3}.1234567891011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用11.已知f(x)＝ax3＋bx＋1，則f(1)＋f(－1)的值是A.0

B.－1

C.1

D.2√由題意知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋1，可得f(1)＝a＋b＋1，f(－1)＝－a－b＋1，所以f(1)＋f(－1)＝2.1234567891011121314151612.下列四組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是√12345678910111213141516∴A選項中兩個函數(shù)不表示同一個函數(shù)；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不一致，∴B選項中兩個函數(shù)不表示同一個函數(shù)；∵f(x)＝

＝|x|與g(x)＝|x|，兩個函數(shù)的定義域均為R，對應(yīng)關(guān)系也相同,∴C選項中兩個函數(shù)表示同一個函數(shù)；∴D選項中兩個函數(shù)不表示同一個函數(shù).1234567891011121314151613.已知函數(shù)y＝f(－2x＋1)的定義域是[－1,2]，則y＝f(x)的定義域是A. B.[－3,3]C.[－1,5] D.以上都不對√由題意知－1≤x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3，所以y