第第頁考點鞏固卷12等差等比數列（七大考點）考點01：單一變量的秒解當數列的選擇填空題中只有一個條件時，可將數列看成常數列，即每一項均設為，（注意：如果題目中出現公差不為0或公比不為1，則慎用此法）1．已知等差數列的前n項和為，則（

）A．18 B．36 C．54 D．60【答案】D【分析】根據等差數列的性質即可求解.【詳解】由可得，故，故選：D2．已知等差數列滿足，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據等差數列的性質求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.3．若是正項無窮的等差數列，且，則的公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范圍.【詳解】由，得，得，因為是正項無窮的等差數列，所以，所以，得，即的公差的取值范圍是.故選：D4．等差數列前項和為，則（

）A．44 B．48 C．52 D．56【答案】C【分析】根據等差數列前n項和公式結合等差數列項的性質計算即可【詳解】.故選：C.5．已知等差數列滿足，記的前項和為，則（

）A．18 B．24 C．27 D．45【答案】D【分析】根據等差中項可得，即可由等差數列求和公式求解.【詳解】由可得，所以，故選：D6．在等差數列中，若，則其前7項和為（

）A．7 B．9 C．14 D．18【答案】C【分析】由條件利用等差數列性質可求，結合等差數列前項和公式求解結論.【詳解】因為數列為等差數列，所以，所以數列的前項和，故選：C.7．已知等差數列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據等差數列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數列的性質進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數列的基本量由，根據等差數列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數列的性質根據等差數列的性質，，由，根據等差數列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數列公差，則，則.故選：D8．在等比數列中，是方程的兩個根，則（

）A．7 B．8 C．或8 D．【答案】D【分析】由韋達定理得到，再根據等比數列性質可以求出.【詳解】等比數列中，是方程的兩個根，則，再根據等比數列性質可以求出.故選：D.9．已知等差數列的前項和為，若，則=（

）A．4 B．60 C．68 D．136【答案】B【分析】根據等差數列的性質可得，即可由求和公式求解.【詳解】，所以,故選：B10．設等差數列的前項和為，已知，則（

）A．272 B．270 C．157 D．153【答案】D【分析】根據下標和性質及等差數列求和公式計算可得.【詳解】因為，所以，故．故選：D考點02：秒解等差數列的前n項和等差數列中，有奇偶有適用.推導過程：將換為，即可得到11．在等差數列中，公差，為其前項和，若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據求出，利用等差數列求和公式和性質得到答案.【詳解】，.故選：B.12．已知是等差數列的前項和，且，則的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】應用等差數列通項公式及前n項和公式基本量運算即可.【詳解】因為,所以,所以.故選：C.13．已知等差數列的公差為，前項和為，若，則（

）A．7 B．3 C．1 D．【答案】D【分析】根據通項公式和求和公式得到方程組，求出公差.【詳解】由得，，即，解得故選：D14．等差數列中，是其前項和，，則公差的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】代入等差數列的前項和公式，即可求解.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，，則，則.故選：C15．記為等差數列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結合等差中項的性質可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數列的公差，故.故選：B.16．已知等差數列的前15項之和為60，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據等差數列的前n項和公式求得，再結合等差數列的性質求解.【詳解】，，所以.故選：C.17．已知等差數列的前項和為，，，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據給定條件，求出等差數列的首項及公差，再結合前項和及通項公式求解即得.【詳解】由，，得，解得，則等差數列的公差，于是，由，得，所以.故選：B18．是等差數列的前n項和，若，，則（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C【分析】根據題意，結合等差數列的性質，等差數列的前n項和公式，即可求解．【詳解】由，，可得且，即且，所以.故選：C.19．已知是等差數列的前項和，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據已知結合等差數列的通項公式和求和公式求出首項和公差，即可求解.【詳解】由等差數列前項和公式,得，即.因為，所以,由，可得,所以，,所以.故選：D.20．已知為等差數列的前項和，已知，則（

）A．215 B．185 C．155 D．135【答案】B【分析】根據條件列出關于首項和公差的方程組，再根據等差數列的性質，即可求解【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，所以．故選：B．考點03：數列片段和問題這樣的形式稱之為“片段和”①當是等差數列時：也為等差數列，且公差為.②當是等比數列時：也為等比數列，且公比為.21．已知等差數列的前項和為，，，，則的值為（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用等差數列的性質，以及前項和公式，即可求解.【詳解】由，得①，因為，，所以，即②，①②兩式相加，得，即，所以，所以，解得.故選：B.22．已知等差數列的前項和為，若，，則（

）A．54 B．63 C．72 D．135【答案】B【分析】首先根據題意得到，，為等差數列，再根據等差中項的性質即可得到答案.【詳解】因為是等差數列，所以，，為等差數列，即成等差數列，所以，解得.故選：B23．已知等差數列的前項和為，且，則（

）A．35 B．30 C．20 D．15【答案】B【分析】利用等差數列前項和的性質求解即可.【詳解】因為是等差數列，所以也是等差數列，所以，即，解得.故選：B.24．記為等差數列的前項和，若.則（

）A．28 B．26 C．24 D．22【答案】D【分析】根據題意，得到構成等差數列，列出方程，即可求解.【詳解】由為等差數列的前項和，可得構成等差數列，即構成等差數列，可得，解得.故選：D.25．已知等差數列的前項和為，若，，則（

）A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差數列片斷和的性質計算即可得.【詳解】由數列為等差數列，故、、、、亦為等差數列，由，，則，故，，，即有，，.故選：D.26．在等差數列中，若，則=（

）A．100 B．120 C．57 D．18【答案】B【分析】根據等差數列前項和性質求解．【詳解】是等差數列，則仍成等差數列，又，，所以，，，所以，故選：B．27．等差數列的前項和為.若，則（

）A．8096 B．4048 C．4046 D．2024【答案】B【分析】根據等差數列性質可得，再結合等差數列的求和公式從而可求解.【詳解】由等差數列的性質可得，所以，所以.故B正確.故選：B.28．若正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【分析】根據題意，利用等比數列的性質，得到，求得，結合基本不等式的公式，即可求解．【詳解】由題意，設等比數列的公比為，因為成等比數列，可得，又因為，即所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.29．設是等比數列的前n項和，若，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據構成以為公比的新等比數列，可求出的公比，再用等比數列求和公式求得，再相除可得解.【詳解】設等比數列的公比為，則，所以，，，故．故選：B.30．在正項等比數列中，為其前項和，若，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【分析】由可求出，再由等比數列前項和的性質可求出的值.【詳解】由，得，因為數列為等比數列，所以成等比數列，所以，所以，整理得，,解得或，因為等比數列的各項為正數，所以，所以，故選：D考點04：秒殺和比與項比結論1：若兩個等差數列與的前項和分別為，若，則結論2：若兩個等差數列與的前項和分別為，若，則31．已知等差數列與的前項和分別為，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數列的性質與求和公式，結合已知條件求解即可.【詳解】因為等差數列與的前項和分別為，且，所以設，所以.故選：D32．已知等差數列和的前項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數列和的前項和的性質可得：，，即可得出．【詳解】由等差數列前項和公式可設：，，，從而，，所以，故選：C33．已知數列均為等差數列，其前項和分別為，滿足，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】根據題意，利用得出數列的性質和得出數列的求和公式，準確計算，即可求解.【詳解】因為數列均為等差數列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．34．設數列和都為等差數列，記它們的前項和分別為和，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數列前項和公式及下標和定理計算即可．【詳解】數列和都為等差數列，且，則，故選：B．35．已知等差數列和的前項和分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數列的前項和公式及等差數列的性質，即可求解結果．【詳解】因為是等差數列和的前項和，，又所以故選：C.36．等差數列的前項和分別是，若，則．【答案】/0.4【分析】由等差數列的性質知，，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．37．設等差數列，的前項和分別為，，若對任意正整數都有，則．【答案】【分析】根據等差數列的性質及等差數列前項和的性質，逐步化簡，即可得到本題答案．【詳解】由題意知，，，，∴.故答案為：．38．已知，分別是等差數列，的前n項和，且，那么．【答案】/0.75【分析】給出的兩個數列為等差數列，把轉化為兩數列的前7項和的比得答案．【詳解】數列，均為等差數列，且其前項和分別為，，．故答案為：．39．兩個等差數列和的前項和分別為、，且，則等于【答案】【分析】據給定條件，利用等差數列前n項和公式結合等差數列性質計算作答.【詳解】根兩個等差數列和的前項和分別為、，且，所以.故答案為：.40．已知等差數列，的前項和分別為，，且，則．【答案】【分析】根據等差數列的性質以及等差數列的前項和公式計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：考點05：等差數列奇偶規律結論1：若等差數列的項數為則推導過程：若有一等差數列共有,則它的奇數項分別為則它的偶數項分別為則奇數項之和則偶數項之和代入公式得，結論2：若等差數列的項數為 則推導過程：若等差數列的共有項，則它的奇數項為則它的偶數項分別為則奇數項之和則偶數項之和代入公式得說明：分別表示所有奇數項與所有偶數項的和41．已知等差數列的項數為其中奇數項之和為偶數項之和為則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等差數列的性質，知等差數列的奇數項、偶數項分別成等差數列，故奇數項、偶數項的和直接代入等差數列的前項和公式，結合等差中項的性質化簡即可.【詳解】項數為的中奇數項共有項,其和為項數為的中偶數項共有項,其和為所以解得故選:A.42．一個等差數列共100項，其和為80，奇數項和為30，則該數列的公差為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據等差數列的項的關系及和的性質列式求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，則由條件可知：數列的奇數項之和為，①偶數項之和為，②由②-①，得，所以，即該數列的公差為.故選：D.43．已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.【詳解】設等差數列的公差為，首項為，則，所以，因為，即，則，等差數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，等差數列的前30項中奇數項有15項，所以，得，所以.故選：B44．已知數列的前項和為，且，，，則（

）A． B．C． D．為奇數時，【答案】ABD【分析】由題設有，討論的奇偶性，結合等差數列定義、前n項和公式判斷各項正誤.【詳解】由，則，兩式作差，得，，當為奇數，是首項為1，公差為3的等差數列，即；，當為偶數，是首項為2，公差為3的等差數列，即；所以，A對，，B對；，C錯；為奇數時，，D對.故選：ABD45．已知等差數列共有項，奇數項之和為60，偶數項之和為54，則．【答案】10【分析】根據等差數列的求和公式，結合等差數列的性質，即可求解.【詳解】奇數項有項，偶數項有項，所以奇數項和為，偶數項和為，故，解得.故答案為：1046．已知數列滿足，，則的前40項和為.【答案】【分析】根據題中遞推式可求得，，即的奇數項為首項為1公差為5的等差數列，偶數項是首項為3公差為5的等差數列，再利用分組并項求和從而可求解.【詳解】因為，，又，所以，即，所以數列的奇數項是以1為首項，5為公差的等差數列；同理，由知，數列的偶數項是以3為首項，5為公差的等差數列．所以前40項和為．故答案為：.47．已知等差數列的項數為，其中奇數項之和為140，偶數項之和為120，則數列的項數是.【答案】【分析】根據等差數列的前項和公式，結合等差數列奇數項與偶數項之間的關系進行求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，因為等差數列的項奇數項之和為140，偶數項之和為120，所以有，故答案為：48．數列滿足：，數列的前項和記為，則．【答案】2191【分析】，對分類討論，利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出.【詳解】數列是以公差的等差數列;.,數列是以公比的等比數列;..故答案為：2191.49．在等差數列中，已知公差，且，求的值．【答案】【分析】根據等差數列通項可構造方程求得，與已知等式作和可求得結果.【詳解】，，.50．已知是等差數列，其中，.(1)求的通項公式；(2)求的值.【答案】(1)(2)-50【分析】（1）利用等差數列的基本量的運算即得；（2）利用等差數列的求和公式即得．【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，所以，所以，，所以.（2）因為是等差數列，所以，是首項為，公差為的等差數列，共有10項，.考點06：

等差數列前n項和最值規律方法一：函數法利用等差數列前n項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解.模型演練 由二次函數的最大值、最小值可知，當取最接近的正整數時，取到最大值（或最小值）注意：最接近的正整數有時1個，有時2個51．已知等差數列的前項和為，，且，則取最大值時，（

）．A．9 B．10 C．9或10 D．10或11【答案】C【分析】先根據利用等差數列前項和公式，得出和的關系，判斷出數列是單調遞減數列，再利用拋物線的性質即可求得.【詳解】設等差數列的公差為，由等差數列前項和公式，得：，，又，，即，又，，由此可知，數列是單調遞減數列，點在開口向下的拋物線上，又，點與點關于直線對稱，當或時，最大.故選：C52．已知等差數列的前項和為，若，，則當取得最小值時，（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據給定條件，結合等差數列性質，探討數列單調性，并確定非正數項即可得解.【詳解】等差數列中，，，則，因此數列是遞增等差數列，前5項均為負數，從第6項起為正，所以當取得最小值時，.故選：B53．設數列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．是等比數列B．成等差數列，公差為C．當且僅當時，取得最大值D．時，的最大值為33【答案】D【分析】由題意可得數列是以為公差，32為首項的等差數列，求出，然后利用可求出，再逐個分析判斷即可.【詳解】因為，所以數列是以為公差，32為首項的等差數列，所以，所以，所以當時，，所以，因為，所以，對于A，因為，所以是以為公差的等差數列，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以，因為，所以成等差數列，公差為，所以B錯誤，對于C，，對稱軸為，因為，所以當或時，取得最大值，所以C錯誤，對于D，由，得，且，所以的最大值為33，所以D正確，故選：D54．數列的前項和，則（

）A． B．C．數列有最小項 D．是等差數列【答案】AD【分析】根據作差求出的通項，即可判斷A、B，根據二次函數的性質判斷C，根據等差數列的定義判斷D.【詳解】對于A：因為，當時，故A正確；對于B：當時，所以，經檢驗時也成立，所以，所以，，則，故B錯誤；對于C：因為，所以當或時取得最大值，且，即數列有最大項，故C錯誤；對于D：因為，則，又，所以是首項為，公差為的等差數列，故D正確.故選：AD55．已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．使得成立的最大正整數C． D．中最小項為【答案】ACD【分析】A選項，根據題目條件得到，，從而得到，，A正確；B選項，，，B錯誤；C選項，先得到，從而得到；D選項，得到當時，，當時，，當時，，并得到.【詳解】A選項，，即，故，故，故，故，A正確；B選項，，，故使得成立的最大正整數，B錯誤；C選項，由于，故，則，故，C正確；D選項，由于，故當時，，當時，，當時，，當時，，故當時，，當時，，當時，，由，得，，由不等式的同向可乘性可得，，故，故中最小項為，D正確.故選：ACD56．等差數列的前項和為，則（

）A． B．C． D．當時，的最小值為16【答案】ABD【分析】對于A，由等差數列性質即可判斷；對于B，由公差的定義即可判斷；對于C，作差結合公差小于0即可判斷；對于D，只需注意到，由此即可判斷.【詳解】對于A，由題意，故A正確；對于B，，其中為等差數列的公差，即，故B正確；對于C，，即，故C錯誤；對于D，由題意，從而當，，且，故D正確.故選：ABD.57．已知無窮數列滿足：，．則數列的前n項和最小值時的值為．【答案】或【分析】易得數列是等差數列，求出其通項，再令，即可得解.【詳解】因為，即，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，令，則，又，所以當或時，數列的前項和取得最小值.故答案為：或.58．設等差數列的公差為，其前項和為，且滿足.(1)求的值；(2)當為何值時最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）運用等差數列的求和公式和性質求解即可；（2）求出，用二次函數知識來解題即可．【詳解】（1），則，，故的值為.（2）由（1）知道，，，，由于開口向下，且對稱軸為.而，則或者時，最大.．59．已知數列是公差不為零的等差數列，，且成等比數列．(1)求的通項公式；(2)設為的前項和，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列通項公式基本量運算即可；（2）先根據基本量運算得出前n項和，再根據二次函數求出最值即可.【詳解】（1）設的公差為，則，依題意，，即，整理得，，解得，或（舍），所以；（2），因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．60．記為等差數列的前項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)求，并求的最小值.【答案】(1)(2)；的最小值為【分析】（1）根據題意結合等差數列求和公式求得，即可得結果；（2）根據等差數列求和公式可得，結合二次函數性質分析求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，可得，解得：，所以．（2）由（1）可得：，可知：時，取得最小值，所以的最小值為．考點07：等比數列奇偶規律結論1：若等比數列的項數為 則推導過程：若有一等比數列共有,則它的奇數項分別為則它的偶數項分別為結論2：若等比數列的項數為 則推導過程：若有一等比數列共有,則它的奇數項分別為則它的偶數項分別為說明：分別表示所有奇數項與所有偶數項的和61．已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據等比數列的性質得到奇數項為，偶數項為，得到等比數列的公比q的值，然后用等比數列的前n項和的公式求出n即可．【詳解】因為等比數列有項，則奇數項有項，偶數項有項，設公比為，得到奇數項為，偶數項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B62．已知等比數列的前n項和為，其中，則“”是“無最大值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由等比數列中等價于公比或，結合前項和公式單調性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面舉反例發現無最大值不一定推得,繼而選項可定.【詳解】充分性：設等比數列的公比為，，，，可得或，又，當時，若為奇數，，，，當為奇數時單調增，則無最大值，當時，，,單調增,則無最大值；必要性：當時，，又，則無最大值.可得“”不是“無最大值”的必要條件；由此可知“”是“無最大值”的充分不必要條件.故選：A.63．已知一個等比數列的項數是是偶數，其奇數項之和1011，偶數項之和為2022，則這個數列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【分析】設該等比數列為,其項數為項，公比為,利用等比數列的求和公式表示出奇數項之和與偶數項之和，兩式相除即可求解.【詳解】設該等比數列為,其項數為項，公比為,由題意易知，設奇數項之和為,偶數項之和為，易知奇數項組成的數列是首項為，公比為的等比數列，偶數項組成的數列是首項為，公比為的等比數列，則，，所以,即.所以這個數列的公比為2.故選:D.64．已知等比數列的公比為，其前項和為，且，，成等差數列，若對任意的，均有恒成立，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求得，為奇數時，，根據單調性可得：，為偶數時，，根據單調性可得：，可得的最大值與最小值分別為2，，考慮到函數

在上單調遞增，即可得出結論．【詳解】等比數列的公比為，因為，，成等差數列，所以，解得，所以，當為奇數時，，易得單調遞減，且，所以；當為偶數時，，易得單調遞增，且，所