【優(yōu)質(zhì)】向量的數(shù)乘課時練習

一.單項選擇

1.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量"+6與c共線，則實數(shù)2=

A.-2B.-1C.1D.2

2.如圖，在ABC中，AD=3DC，E是8。上一點，若AE=rAB+[AC,則實數(shù)r的值

4

為（）

3.已知。是直線AB外一點，C,O是線段A8的三等分點，S.AC=CD=DB,如果

OA=3et,OB=3e2>則ob=（）

TfC-T-2-1-八1一2T

A.q+2,B.2q+?2C.+D--^i+~e2

4.已知尸是,/IBC所在平面內(nèi)的一動點，且AP=%（AB+；BC）（/12O）,則點尸的軌跡一

定通過二ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5.已知。是△/BC所在平面上的一點，若。4+03+00=6，則點。是△Z8C的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

6.在.ABC中，點。是線段8c（不包括端點）上的動點，若A3=xAC+），AO,則（）

A.x>\B.y>lC.x+y>\D.xy>1

7.ABC中，點M滿足CM=4MA，若BM=x3A+*C,則X+丁的值為（）

211

A.1B.-C.1D.-

8.在平行四邊形A8CD中，點E在線段DC上，且2￡>E=EC，BE與AC的交點為F,則

向量。尸等于（）

I2213223—

A.-DC——DAB.-DC+-DAC.-DC+-DAD.-DC--DA

33335555

9.在△NBC中，點。滿足=則A￡）=（）

A.-AC+-ABB.-AC--ABC.-AC+-ABD.-AC+-AB

33333322

10.在等腰直角三角形ABC中，若NC=90，AC=6,則法.我:的值等于（）

A.-2B.2C.-272D.2夜

7,

11.已知向量a=-2e,。（&為單位向量），則向量d與向量〃（）

A.不共線B.方向相反

C.方向相同D.|?|>|/?|

12.在平行四邊形488中，AD=l,ZBAD=60°,E為CD的中點，若ACBE=1，則

的長為（）

A.gB.正C.1D.2

22

13.在二ABC中，點P滿足2BP=PC，過點尸的直線與AB,AC所在的直線分別交于點

M,N,若AM=xAB，AV=yAC（x>0,y>0）,則2x+y的最小值為（）

A.3B.34C.1D.-

14.已知入〃wR,下面式子正確的是（）

A?〃與；同向B.0-^=0

_>>_>'

C.（2+〃）a=D.若6=2°，則6=力”

15.已知憶A,B,C是平面內(nèi)四點，且尸A+PB+PC=AC，則下列向量一定共線的

是（）

A.PC與PBB.PA與PB

C.弘與PCD.PC與AB

參考答案與試題解析

1.D

【分析】由圖像，根據(jù)向量的線性運算法則，可直接用表示出c,進而可得出力.

【詳解】由題中所給圖像可得：2a+b=c，又c=Aa+b,所以4=2.

故選D

【點睛】本題主要考查向量的線性運算，熟記向量的線性運算法則，即可得出結(jié)果，屬于

基礎(chǔ)題型.

2.B

【分析】設(shè)BE=2BD，

【詳解】解：設(shè)=，

:AT?=3OC，

3

AD=-AC,

4

AE=AB+BE=AB+ABD=AB+A^AD-AB^=(}-A,)AB+A,AD=(1-2)AB+-AAC

=tAB+-AC,

4

故選：B.

【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【分析】作出示意圖，根據(jù)向量的加減法和線性運算即可得到答案.

—?T—>T2TT2,—T、1-?2T->—>

【詳解】如圖，。。=。4+4。=。4+145=。4+1［。5—。4)=1。4+3。5=4+21

4.C

【分析】設(shè)。為BC的中點，由向量的線性運算可得A8+；BC=A。，代入已知條件計算

可知AP=/IA￡＞，進而可得答案.

【詳解】如圖：設(shè)。為8c的中點，

1..

因為48+萬8。=AB+BO=AO

由AP=[AB+；BC）可得，AP=AAD,

所以A,DP三點共線，因為220,

所以點P在射線AO上，

所以點尸的軌跡一定通過ABC的重心，

故選：C.

5.C

【分析】作BD//OC,CD//OB,連接OD,OD與8c相交于點G,可得OB+0C=0D，

又0B+0C=-0A，則有0。=-。4，即"G是8。邊上的中線，同理，BO,C。也在zUBC

的中線上，即可得出結(jié)果.

【詳解】作8Z）〃OC,CD//OB,連接O。，。。與BC相交于點G,則8G=CG（平行四邊

形對角線互相平分），

/?OB+OC=OD，

5LOA+OB+OC=Q,可得OB+OC=-OA,OD=-OA,

：.A,O,G在一條直線上，可得NG是8c邊上的中線，同理，BO,C。也在A/IBC的中線

上.，點O為三角形ABC的重心.

故選：C.

6.B

【解析】設(shè)BO=/13C（0<4<1）,由此用AC,AE）表示出AB，則可得％V關(guān)于2的表示,

從而通過計算可判斷出正確的選項.

【詳解】設(shè)比>=28C（O</1<1）,所以AQ-A8V-/IA8,

10

所以（1一/t）AB=A￡>-九4C,所以A8=——AD--------AC,

1—A,1—A,

--..41ULi、|4r\11-4+A,

所r以x=--------,y-------所以x=---------<0,y=------=-----------=1-1-------->t1,

1-21-2t1-A-1-A1-A1-2

1-2%八

又x+y=7Tl=1,孫=一^17<°,

故選：B.

【點睛】結(jié)論點睛：已知平面中4B、C三點共線（。在該直線外），若

0A=xOB+yOC,貝I」必有,x+y=].

1.A

-----=y

【分析】結(jié)合圖形與平面向量的線性運算得到”1,進而可以求出結(jié)果.

X

-----=X

2+1

【詳解】因為CM=/IM4,

4A11

所以=BC+——C4=BC+——BA-BC\=——BC+——BA,

A+12+1）2+12+1

又因為=xBA+），BC,

1

二一

所以因此;x+y=l,

2

-----=X

?4+1

故選：A.

8.C

【分析】由已知可得EC=|AB,又反〃CD,則可得CF=|C4,然后利用三角形法則即

可求解.

【詳解】解：如圖所示，

27

因為2DE=EC,貝!|EC=§OC=§AB,

在平行四邊形ABC。中，AB//CD,

所以p稱r=C￡F=?2所以2

ABAF35

2223

DF=DC+CF=DC-^--CA=DC+-(DA-DC)=-DA+^DCf

故選：C.

9.C

【分析】作出簡圖，結(jié)合平面向量的線性運算即可得到答案.

【詳解】如圖，

T->T->[TT、[T2T

由題意，AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-\AC-AB\=-AC+-AB.

故選：c.

10.B

【分析】直接根據(jù)向量數(shù)量積的定義計算即可得答案.

【詳解】解：BA?BC=BA-BCcosZABC=2x72xcos45=2

11.B

【分析】根據(jù)兩者之間的數(shù)乘關(guān)系可判斷兩者之間的關(guān)系.

【詳解】因為a=-2e,b=*所以a=-g〃，

故向量。與向量6共線反向.

故選：B.

12.A

【分析】利用向量加法與乘法法則，結(jié)合公式即可得出結(jié)論

【詳解】設(shè)"的長為x,因為AC=A8+BC,8E=8C+CE,

所以AC.8E=（A8+8C）.（8C+C￡）=AB.BC+ABCE+BCQBC.CE

IxX

=—x+x--cosl80°+1+1?—cosl20°=1,

222

解得X=；.

故選：A

【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積公式，其中向量代換是解題關(guān)鍵.

13.A

【分析】由向量加減的幾何意義可得AP=&竺+生，結(jié)合已知有人尸=空"+網(wǎng)，根

333x3y

據(jù)三點共線知：+；=1,應用基本不等式“1”的代換即可求最值，注意等號成立的條件.

3x3y

ACAB

【詳解】由題設(shè)，如下圖示：AP=AB^BP=AB+-=AB+~=^-i--9又

3333

AM=xAB-AV=yAC（x>0,y>0）,

N

M

...AP=3%