-2024學年瓊海市高一數(shù)學（下）期末考試卷（時間：120分鐘滿分：150分）歡迎你參加這次測試，祝你取得好成績！一、單選題：本題共8阿小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在復平面，復數(shù)z對應的點坐標為，則（

）A．i B．-i C． D．2．已知某地最近10天每天的最高氣溫（單位：）分別為23，17，17，21，22，20，16，14，21，19，則這10天最高氣溫的第80百分位數(shù)是（

）A．15 B．21 C．21.5 D．223．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不重合的平面，且，下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知向量，滿足，，且，則（

）A． B． C． D．15．在中，角的對邊分別為，若，，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6．如圖，在正方體中，M，N分別為C1D1和CC1的中點，則異面直線AM與BN所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，若該正四棱臺的體積為，則側棱長為（

）A． B．2 C． D．8．設，，，四點在一個半徑為5的球的球面上，是斜邊為6的直角三角形，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B．64 C． D．27二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（

）A．該校高一學生總人數(shù)為700B．該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為80C．該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取20人，則生史地組合抽取6人10．某學校為了解學生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機抽樣的方法從4000名學生（該校男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175，方差為184，女生平均身高為160，方差為179.則下列說法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，，，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則（

）參考公式：A．抽取的樣本里男生有60人B．每一位學生被抽中的可能性為C．估計該學校學生身高的平均值為170D．估計該學校學生身高的方差為23611．如圖，在正四棱柱中，，點P為線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為B．三棱錐外接球的表面積為6πC．若E是棱上一點，且，則平面D．直線平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是．13．如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形（底面是正六邊形，每個側面都是矩形），兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.4m，制造這個滾筒需要鐵板（精確到，）．14．已知內角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，，則，面積的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在正三棱柱中，點為中點，(1)求證：；(2)如果點是的中點，求證：平面．16．某校為了解學生每周參加課外興趣班的情況，隨機調查了該校1000名學生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．若直方圖中，時長落在區(qū)間內的人數(shù)為200．(1)求出直方圖中，，的值；(2)估計樣本時長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)．17．記的內角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求．(2)若，，求的周長．18．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，點是棱的中點，平面，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．19．如圖，半圓的直徑為，為直徑延長線上的點，，為半圓上任意一點，以為一邊作等邊三角形．設．(1)當時，求四邊形的周長；(2)克羅狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，則當線段的長取最大值時，求．(3)當為多少時，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值．1．B【分析】由題可得，再由復數(shù)除法法則即可求解.【詳解】z對應的點坐標為，所以，所以故選：B.2．C【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，按照定義求出第80百分位數(shù)即可.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序，即14，16，17，17，19，20，21，21，22，23.由于，則取第8,9個的平均值作為第80百分位數(shù).即.故選：C.3．C【分析】根據(jù)題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，則平面與平面平行或相交，所以A不正確；對于B中，由，則直線或，所以B不正確；對于C中，如圖所示，過直線作平面，使得，因為，且，可得，又因為，所以，因為，可得，所以C正確；對于D中，由，則直線與平面平行、相交或，所以D不正確.故選：C.4．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及模的性質化簡求解即可.【詳解】因為，，所以，即①，又，所以②，由①②可得，，即.故選：C5．C【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由求出，即可得解.【詳解】因為，由正弦定理可得.因為，所以，所以，又，所以或，又因為，所以，故為等邊三角形.故選：C6．A【分析】分別為的中點，或其補角為AM與BN所成的角，設正方體的邊長為，余弦定理求解即可.【詳解】取AB的中點，的中點，連接，又M，N分別為和的中點，正方體中，，，四邊形為平行四邊形，有，同理有，則或其補角為AM與BN所成的角，連接EF，設正方體的邊長為，則，，，所以，即異面直線AM與BN所成角的余弦值為.故選：A．7．B【分析】利用棱臺的體積公式求高，再用勾股定理求側棱長即可.【詳解】

設棱臺的高為，則由棱臺的體積公式可得：，解得：，如圖可作正棱臺的高，則，則由勾股定理得：，故選：B.8．A【分析】依題意可得的外接圓的半徑，即可求出球心到平面的距離，求出面積的最大值，及點到平面的距離的最大值，最后根據(jù)錐體體積公式計算可得.【詳解】是斜邊為的直角三角形，的外接圓的半徑，又球的半徑，球心到平面的距離，又面積的最大值為，點到平面的距離的最大值為，三棱錐體積的最大值為．故選：A．9．BC【分析】根據(jù)政史地人數(shù)和占比可確定A正確；計算出物化生的人數(shù)后即可確定B錯誤；分別計算選考歷史和物理的人數(shù)，則知C正確；確定生史地組合人數(shù)占比后，根據(jù)分層抽樣原則可知D錯誤.【詳解】對于A，選科為政史地的人數(shù)為人200，占比為，該校高一學生共有人，A錯誤；對于B，選科為物化生的人數(shù)為人，選科為物化政的人數(shù)為，B正確；對于C，選考歷史的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多，C正確；對于D，選科為生史地的學生人數(shù)占比為，采用分層抽樣抽取20人，生史地組合應抽取人，D錯誤.故選：BC.10．ABD【分析】根據(jù)分層抽樣的公式，以及利用每層樣本的平均數(shù)和方差公式，代入總體的均值和方差公式，即可判斷選項.【詳解】對于項，抽取的樣本里男生有人，所以A項正確；對于B項，由題可知，每一位學生被抽中的可能性為，所以B項正確；對于C項，估計該學校學生身高的平均值為，所以C項錯誤；對于D，估計該學校學生身高的方差為，所以D項正確.故選：ABD11．ACD【分析】對于A，直接求三棱錐的體積進行判斷；對于B，三棱錐外接球就是正四棱柱的外接球，則其直徑為正四棱柱的體對角線，從而可求出其外接球的表面積；對于C，設是棱上一點，且，連接，通過線面垂直可得，又易得，可得平面；對于D，由面面平行的性質判斷即可.【詳解】對于A，在正四棱柱中，，所以三棱錐的體積為，故A正確；對于B，由題意可得三棱錐外接球就是正四棱柱的外接球，所以外接球半徑為，所以外接球的表面積為，故B不正確；對于C：若是棱上一點，且，由正四棱柱，易證平面，又平面，所以，設是棱上一點，且，連接，由正四棱柱，可得且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，所以，由已知可得，又，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，故C正確；對于D，因為，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故D正確.故選：ACD.12．45【分析】利用方差的性質求解即可.【詳解】若數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，所以當數(shù)據(jù)的方差是5時，可得數(shù)據(jù)的方差是，故答案為：.13．4.7【分析】求六棱柱的表面積即可.【詳解】因為正六棱柱的底面棱長為0.4m，所以底面積為：，棱柱的側面積為：.所以正六棱柱的表面積為：.故答案為：4.714．【分析】①用重心向量公式，結合平面向量基本定理即可求解；②用向量的平方就是模的平方來求三角形中的邊角關系，結合基本不等式可求面積最大值.【詳解】①由為的重心，則，又因為，所以，整理得：，根據(jù)平面向量基本定理可知：，解得：，即；②由上可得，平方可得：，又因為，所以，又因為，所以，解得，則，當且僅當取等號.故答案為：①；②.15．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、性質定理可得答案；（2）根據(jù)線面平行的判定定理可得答案.【詳解】（1）由正三棱柱性質得平面，又面，所以，又為等邊三角形，D為BC中點，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以；（2）因為為中點，E是的中點，所以，又由棱柱性質可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，由棱柱性質可知，且，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面．16．(1)(2)中位數(shù)為；平均數(shù)為【分析】（1）先根據(jù)概率公式求出,再利用面積和為1求出，再結合求解，；（2）利用左右面積相等求中位數(shù)，由直方圖平均數(shù)公式得平均數(shù)；【詳解】（1）由已知可得，則，即，又，解得．（2）因為，，設中位數(shù)為，且，所以，解得，即中位數(shù)為；平均數(shù)為；17．(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式即可求出角的大小；（2）利用余弦定理，結合已知條件求出角，再用正弦定理求邊，即可求出周長.【詳解】（1）由可得，即，由于，故，解得（2）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，所以由正弦定理得所以，所以的周長為18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先用線面垂直定理證明平面，再用面面垂直定理證明平面平面即可；（2）由于平面PAC，所以PM為PD在平面PAC內的射影，所以為PD與平面PAC所成角.借助銳角三角函數(shù)求值即可；（3）投影法求解，為在平面上的投影.分別求出面積再比即可得解.【詳解】（1）證明：因為ABCD為正方形，所以，因為平面，平面，所以，又，又，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）如圖所示，設交于，連接，由（1）知平面PAC所以PM為PD在平面PAC內的射影，所以為PD與平面PAC所成角.因為，所以，在直角中，所以PD與平面PAC所成角得正弦值為（3）運用投影法解題.由于平面，平面，則．又底面為正方形，則.因為，平面，則平面.則為在平面上的投影.且.，，，，則為等腰三角形，連接，則.，則.設平面與平面夾角為，則．由圖知道二面角為銳角，則二面角的余弦值為.19．(1)(2)(3)，最大值為．【分析】（1）用余弦定理計算邊長，再算周長；（