百師聯盟高一五月大聯考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間120分鐘，滿分150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數，則z的共軛復數在復平面中對應的點所在的象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法及共軛復數的概念求出，即可得解.【詳解】因為,所以，故復數在復平面中對應的點所在的象限為第四象限.故選：D2.下列命題正確的是（）A.過三個點有且只有一個平面B.如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面C.四邊形為平面圖形D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】D【解析】【分析】根據平面的基本性質可判斷A，D，由推論可判斷B，根據特例可判斷C.【詳解】根據公理知，過不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；因為兩條平行直線確定一個平面，而兩個交點都在這個平面內，故這條直線也在這個平面內，所以三條直線共面，故B錯誤；由空間四邊形不是平面圖形可知，C錯誤；由公理知，兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故D正確.故選：D3.若單位向量，的夾角為，則（）A.B.C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根據向量的數量積定義及運算法則求解.【詳解】因為單位向量，的夾角為，所以，故選：A4.在正四面體中，，，則點E到直線BC距離為（）A.B.C.12D.【答案】D【解析】【分析】做出并證明,再根據余弦定理及勾股定理求解即可.【詳解】取中點，連接，由正四面體可知，所以，所以.在中由余弦定理可知，，所以在中，,故選：D5.法國數學家棣莫弗發現：，我們稱這個結論為棣莫弗定理，則（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化為三角形式，根據棣莫弗定理求解.【詳解】.故選：B6.已知p，q為實數，是關于x的方程的一個根，則的值為（）A.14B.－14C.38D.－38【答案】C【解析】【分析】把根代入方程，利用復數相等可求答案.【詳解】由題意，即，，解得，所以.故選：C7.如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，，，，P是上一動點，則的最小值為（）A.5B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將與同時展平形成一個四邊形，對角線即為所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案.【詳解】連接，將與同時展平形成一個四邊形，如圖，則此時對角線達到最小，在等腰直角三角形中，，，在直角中，，在中，，，，所以，即，對于展開形成的四邊形，在中，，，，由余弦定理有．故選：A．8.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則ab的值為（）AB.C.D.3【答案】C【解析】【分析】先化切為弦，再利用正弦定理可得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，，所以，所以，即.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，若，，若，則可能是（）A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.含角的鈍角三角形【答案】BC【解析】【分析】利用向量平行得出等量關系，利用邊角互化可得答案.【詳解】因為，，，所以，因為，所以，，所以，由正弦定理得，即，所以或，即或，所以可能是等腰三角形或直角三角形.故選：BC10.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體之后，下列結論正確的有（）A.B.與異面C.與異面D.【答案】AC【解析】【分析】可畫出展開圖對應的立體圖形，根據圖形即可判斷每個選項的正誤，從而得出正確的選項.【詳解】根據正方體的展開圖畫出正方體如圖所示：可以看出：，與相交，與異面，相交.故選：AC.11.設點O是所在平面內任意一點，的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點O不在的邊上，則下列結論正確的是（）A.若點O是的重心，則B.若點O是的垂心，則C.若，則點O是的外心D.若O為的外心，H為的垂心，則【答案】ACD【解析】【分析】根據重心分中線長度為，結合向量的線性運算可判斷A，根據垂心的性質及向量的線性運算判斷B，根據向量的線性運算及數量積運算可得O到頂點距離相等即可判斷C，根據垂心的性質利用數量積運算，化簡可得垂直兩個不共線向量，即可得解判斷D.【詳解】取中點，如圖，因為點O是的重心，所以，故A正確；因為點O是的垂心，所以，故，故B錯誤；因為，所以，同理可得，所以，即為外心，故C正確；如圖，因為，所以，兩式相減可得，同理可得，若，該平面向量同時垂直于，，顯然不可能，所以，即，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、內心問題，需要掌握它們的性質，其次需要根據向量的線性運算、數量積運算及數量積的性質與其結合，屬于應用比較靈活問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則________．【答案】3【解析】【分析】根據向量平行得到方程，求出，再化弦為切，代入求值.【詳解】，，由，可得，所以，所以．故答案為：3．13.設M為內一點，且，則與的面積之比為______．【答案】##0.25【解析】【分析】根據題意結合三點共線的結論確定點的位置，進而分析運算即可.【詳解】在取中點，則，可知點為的中點，可得，即，所以與的面積之比為.故答案為：.14.在棱長為2的正方體中，E是棱的中點，則平面截該正方體所得截面面積為______；平面與底面ABCD所成銳二面角的余弦值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】設平面交于點，可知平面截正方體所得截面為，推導出點為的中點，計算得知四邊形是邊長為的菱形，并求出菱形的對角線長，由此可求得該截面的面積，再由二面角余弦公式求值即可.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可證，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，則為的中點，，同理，所以截面是邊長為的菱形，其對角線，，故截面面積．設平面與底面ABCD所成銳二面角為，因為截面在底面的射影為正方形，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.當實數取什么值時，復數分別滿足下列條件？（1）實數；（2）純虛數；（3）在復平面內表示的點位于第四象限．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）若為實數，可知虛部為0，列式求解即可；（2）若為純虛數，可知虛部不為0，實部為0，列式求解即可；（3）由題意可知虛部小于0，實部大于0，列式求解即可.【小問1詳解】若為實數，則，解得或．【小問2詳解】若為純虛數，則，解得．【小問3詳解】若復數在復平面內對應的點位于第四象限，則，解得．16.在中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角C的大??；（2）若，，CH為AB邊上的高，H為垂足，，其中m，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理邊化角，再切化弦由倍角公式化簡，得，可求的值.（2）以為基底，由，代入數據運算得的關系；或利用余弦定理和勾股定理，求出，由平面向量基本定理求的值.【小問1詳解】中，，由正弦定理和同角三角函數的商數關系，得，由倍角公式得．又因為為的內角，所以，，所以．所以，，則有，得．【小問2詳解】，，如圖，則，所以，由題意知，所以，即．所以，所以．17.如圖，為了測量山頂M和山頂N之間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一鉛垂平面內．飛機從點A到點B路程為a，途中在點A觀測到M，N處的俯角分別為，，在點B觀測到M，N處的俯角分別為，．（1）求的面積（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理表示出邊，利用面積公式可求答案；（2）先利用正弦定理求出再利用余弦定理可求答案.【小問1詳解】由題意可知，由正弦定理，得，面積.【小問2詳解】由（1）知，在中，，，在中，，由余弦定理可得，所以.18.如圖，在直三棱柱中，點D為線段AC的中點．（1）證明：平面；（2）若，，，求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，利用中位線得到線線平行，結合線面平行的判定得證結論；（2）利用等體積法可求到平面的距離.【小問1詳解】連接，交于，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，因為D為線段AC的中點，所以，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，D為線段AC的中點，所以，且，，因為直棱柱中平面，面，所以，因為，平面，所以平面，即點到平面的距離為，由線面垂直的性質易得，在直角三角形中，，，所以面積，又三角形的面積為.設到平面的距離為，因為，所以，所以，解得，即到平面的距離為.19.數學家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理.例如：如圖甲，在△ABC中，D為BC的中點，則，，兩式相加得，.因為D為BC的中點，所以，于是.請用“算兩次”的方法解決下列問題：（1）如圖乙，在四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，證明：.（2）如圖丙，在四邊形中，E，F分別在邊AD，BC上，且，，，，與的夾角為，求向量與向量夾角的余弦值.【