第1課時基本立體圖形及表面積與體積目錄CONTENTS12課時跟蹤檢測考點分類突破PART1考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練空間幾何體的結構特征1.下列四個命題正確的是（

）A.有兩個側面是矩形的立體圖形是直棱柱B.側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側面都是矩形的直四棱柱是長方體D.底面是長方形的直四棱柱是長方體，所有棱長均相等的長方體是正

方體解析：

對于A，平行六面體的兩個相對側面也可能是矩形，故A

錯；對于B，等腰三角形的腰不是側棱時不一定成立，故B錯；對

于C，若底面不是矩形，則C錯；對于D，由長方體、正方體的結構

特征知，D正確.2.（多選）下列說法正確的是（

）A.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺B.以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉180°

形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D.用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面解析：

對于A，以直角梯形中垂直于底的腰所在直線為軸旋

轉一周所得的旋轉體才是圓臺，故A錯誤；

對于B，以等腰三角形

的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉180°形成的曲

面所圍成的幾何體是圓錐，B對；對于C，圓柱、圓錐、圓臺的底

面都是圓面，C對；對于D，用一個平面去截球，得到的截面是一

個圓面，D對.故選B、C、D.3.一棱柱有10個頂點，其所有側棱長的和為60cm，則每條側棱長

為

?cm.解析：該棱柱為五棱柱，共有5條側棱，每條側棱長都相等，所以

每條側棱長為12cm.12練后悟通辨別空間幾何體的兩種方法空間幾何體的表面積及側面展開圖

A.2C.4

（2）（2023·全國甲卷11題）已知四棱錐

P

-

ABCD

的底面是邊長為4

的正方形，

PC

＝

PD

＝3，∠

PCA

＝45°，則△

PBC

的面積為

（

）解析：如圖，過點

P

作

PO

⊥平面

ABCD

，垂足為

O

，取

DC

的中點

M

，

AB

的中點

N

，連接

PM

，

MN

，

AO

，

BO

.

由

PC

＝

PD

，得

PM

⊥

DC

，又

PO

⊥

DC

，

PO

∩

PM

＝

P

，所以

DC

⊥平面

POM

，又

OM

?平面

POM

，所以

DC

⊥

OM

.

在正方形

ABCD

中，

DC

⊥

NM

，所以

M

，

N

，

O

三點共線，所以

OA

＝

OB

，所以

Rt△

PAO

≌Rt△

PBO

，所以

PB

＝

PA

.

解題技法求解幾何體表面積的類型及方法（1）求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖

形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；（2）求旋轉體的表面積：可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入

手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長

與對應側面展開圖中的邊長關系；（3）求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱

體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面

積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為

O

1，

O

2，過直線

O

1

O

2的平面

截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（

）B.12πD.10π

2.（2024·福州檢測）在正三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1＝2，

F

是線段

A

1

B

1上的動點，則

AF

＋

FC

1的最小值為

?.

空間幾何體的體積技法1

直接利用公式求體積

解析：如圖所示，設點

O

1，

O

分別為正四棱

臺

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1上、下底面的中心，連

接

B

1

D

1，

BD

，則點

O

1，

O

分別為

B

1

D

1，

BD

的中點，連接

O

1

O

，則

O

1

O

即為正四棱

臺

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的高，過點

B

1作

B

1

E

⊥

BD

，垂足為

E

，則

B

1

E

＝

O

1

O

.

技法2

等積法求體積【例3】棱長為2的正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分別為棱

BB

1，

AB

的中點，則三棱錐

A

1-

D

1

MN

的體積為

?.

1技法3

割補法求體積【例4】《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，其卷第五“商功”

有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，

高一丈.問積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體

（如圖），下底面寬

AD

＝3丈，長

AB

＝4丈，上棱

EF

＝2丈，

EF

與

平面

ABCD

平行，

EF

與平面

ABCD

的距離為1丈，則該幾何體的體積

是（

）A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.8立方丈

解題技法求空間幾何體體積的常用方法（1）公式法：對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行

求解；（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體

積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的

幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積；（3）等體積法：一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的.如果

一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積

法進行求解.等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇

合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體

的體積，特別是三棱錐的體積.

B.7π

3.（2023·新高考Ⅱ卷14題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面

的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺

的體積為

?.28

PART2課時跟蹤檢測關鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習1.下列結論正確的是（

）A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體C.若正棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線12345678910111213141516171819202122232425262728解析：

由圖①知，A錯誤；如圖②，

當兩個平行截面與底面不平行時，截得

的幾何體不是旋轉體，B錯誤；若六棱錐

的所有棱長都相等，則底面多邊形是正

六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形

為底面，側棱長必然要大于底面邊長，C

錯誤；由母線的概念知，D正確.2.已知球

O

的一個截面的面積為2π，球心

O

到該截面的距離比球的半

徑小1，則球

O

的表面積為（

）A.8πB.9πC.12πD.16π

3.如圖，一個底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最

短和最長母線長分別為4和10，則該幾何體的體積為（

）A.90πB.63πC.42πD.36π

4.如圖，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

BC

＝

AC

＝2，

AA

1＝

3，

D

，

E

分別是棱

BB

1，

CC

1上的動點，則

AD

＋

DE

＋

EA

1的最小

值是（

）B.5C.7

A.正四棱錐的底面邊長為6米B.正四棱錐的底面邊長為3米

6.（多選）（2023·新高考Ⅱ卷9題）已知圓錐的頂點為

P

，底面圓心

為

O

，

AB

為底面直徑，∠

APB

＝120°，

PA

＝2，點

C

在底面圓周

上，且二面角

P

-

AC

-

O

為45°，則（

）A.該圓錐的體積為π

7.如圖是水平放置的正方形

ABCO

，在平面直角坐標系

Oxy

中，點

B

的坐標為（2，2），則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂

點B'到x'軸的距離為

?.

8.（2024·泰州調研）某同學的通用技術作品如圖所示，該作品由兩

個相同的正四棱柱組成.已知正四棱柱的底面邊長為3cm，則這兩個

正四棱柱的公共部分構成的多面體的面數(shù)為

，體積為

?

cm3.818

9.已知正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為2，則三棱錐

A

-

B

1

CD

1的體

積為（

）C.4D.6

A.πC.3π

11.如圖①是一種常見的玩具，圖②是該玩具的直觀圖，每條棱的長

均為2，則該玩具的表面積為（

）

12.（多選）如圖，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AA

1＝2，

AB

＝

BC

＝1，∠

ABC

＝90°，側面

AA

1

C

1

C

的中心為

O

，點

E

是側棱

BB

1上

的一個動點，下列判斷正確的是（

）C.三棱錐

E

-

AA

1

O

的體積為定值

14.如圖，在直角梯形

ABCD

中，

AD

＝

AB

＝4，

BC

＝2，沿中位線

EF

折起，使得∠

AEB

為直角，連接

AB

，

CD

，則所得的幾何體的體

積為

?.6

16.現(xiàn)需要設計一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部分的形狀是正

四棱錐

P