6.3.1二項式定理（一）仁壽一中南校區

陳雪梅選擇性必修第三冊

(a+b)2=

,(a+b)3=

,a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=_____________________，(a+b)100=……

引入

形如(a＋b)n（n∈N*），數學上統稱二項式.研究(a＋b)n展開后的表達式的一般結構.二項式定理問題提出

艾薩克·牛頓IsaacNewton(1643—1727)英國科學家．他被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一．他不僅是一位物理學家、天文學家，還是一位偉大的數學家．牛頓二項式定理二項式定理的產生

，完備和推廣經歷了一個漫長的過程，早在公元前3世紀歐幾里得《原本》里就有記載(a+b)2，到1世紀我國數學最早的一部專著《九章算術》證明了(a+b)2和(a+b)3，11世紀我國數學家賈憲，楊輝得到了“楊輝三角”，直到17世紀

帕斯卡和牛頓才先后得出了(a+b)n的展開式.

的展開式有幾項？問題1:

展開式有幾項？每一項是怎樣構成的？問題2:3116多項式的乘法特征思考1:試用組合數思想得出下面各式展開后的各項及系數/次數.(a+b)2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)(a+b)

=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

展開方式：從每個(a+b)中選一個數a或b，相乘后得到一項選0個b選1個b選2個b選3個b=1

a2+2ab+1

b2

選0個b選1個b選2個b=_a4+__a3b+__a2b2+__ab3+_b446411=__a4+__a3b+__a2b2+__ab3+__b4=aa+ab+ba+bb思考2:你能否根據上述規律，寫出(a+b)n的展開式中的各項及其系數？

(a+b)n

=(a+b)(a+b)···(a+b)(a+b)

=___an+__an-1b+__an-2b2+__an-3b3+···+___abn-1+__bnn個展開方式：依次從每個(a+b)中選一個數a或b，相乘后得到一項二項式定理：即(a+b)n的展開式(2)通項公式：(1)二項式系數：

1.系數規律：2.指數規律：（1）各項的次數均為n；（2）各項里a的指數由n降到0，b的指數由0升到n.3.項數規律：二項展開式共有n+1項.定理特征（是展開式的第k+1項）二項式定理對任意的數a、b都成立，當然對特殊的a、b也成立！例題點撥：求二項式的展開式先寫通項,再將0,1,2,…n代入例1

求

的展開式.（1）求(1+2x)7的展開式中的第4項的二項式系數以及第4項的系數；（2）求的展開式中的三次項.例2解:（1）(1+2x)7展開式的第4項為∴第4項的二項式系數第4項的系數是280.由題意得∴

三次項是:注意：二項式系數與系數有區別例題點撥：求二項式的指定項或其系數(2)展開式的通項公式為例題點撥：求二項式的指定項或其系數有理項：所有的字母的指數恰好都是整數的項.變式

已知解：(1)求其展開式的常數項.(2)求展開式的有理項.小結：1.二項式定理內容2.二項展開式的結構特征3.二項式定理解決二項展開式有關的問題課后作業2.《優化方案1.教材作業

第34頁習題6.3A組3~51.某人投資10萬元，年利率