十六求導法則及其應用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.函數y=QUOTE的導數是 ()A.y′=QUOTE B.y′=QUOTEC.y′=-QUOTE D.y′=QUOTE【解析】選A.令u=1+v2,v=lnx,則y=QUOTE,所以y′x=y′u·u′v·v′x=QUOTE·2v·QUOTE=QUOTE·2lnx·QUOTE=QUOTE.2.若f(x)=QUOTE,則f(x)的導數是 ()A.f′(x)=QUOTEB.f′(x)=QUOTEC.f′(x)=QUOTED.f′(x)=QUOTE【解析】′(x)=QUOTE=QUOTE.【補償訓練】函數y=xln(2x+5)的導數為 ()A.y′=ln(2x+5)-QUOTEB.y′=ln(2x+5)+QUOTEC.y′=2xln(2x+5)D.y′=QUOTE【解析】′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x·QUOTE·(2x+5)′=ln(2x+5)+QUOTE.3.曲線y=x3+11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是 () 【解析】′=3x2,故曲線在點P(1,12)處的切線斜率是3,故切線方程是y-12=3(x-1),令x=0得y=9.4.已知函數f(x)=QUOTEx2+cosx,f′(x)是函數f(x)的導函數,則f′(x)的圖像大致是 ()【解析】選A.因為函數f(x)是偶函數,所以其導函數f′(x)=QUOTEx-sinx是奇函數,所以圖像關于原點對稱,所以排除B,D兩項,又因為在原點右側靠近原點的區間上,sinx>QUOTEx,所以f′(x)<0,所以原點右側靠近原點的圖像應該落在第四象限,故選A.【補償訓練】若函數f(x)=x2+bx+c的圖像的頂點在第四象限,則函數f′(x)的圖像是 ()【解析】選A.由函數f(x)=x2+bx+c的圖像的頂點在第四象限,得b<0.又f′(x)=2x+b在R上是增函數且在y軸上的截距小于0,所以選A.5.(2020·全國Ⅰ卷)函數f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為 ()A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1【解析】選B.因為f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切線的方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.6.(多選題)下列各函數的導數正確的是 ()A.(QUOTE)′=QUOTEB.(ax)′=axlnxC.(sin2x)′=cos2xD.QUOTE′=QUOTE【解析】選AD.(QUOTE)′=(QUOTE)′=QUOTE,A正確;(ax)′=axlna,B錯誤;(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,C錯誤;QUOTE′=QUOTE=QUOTE=QUOTE,D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(2018·全國卷Ⅲ)曲線y=QUOTEex在點QUOTE處的切線的斜率為-2,則a=________.

【解析】由y=(ax+1)ex,所以y′=aex+(ax+1)ex=(ax+1+a)ex,故曲線y=(ax+1)ex在(0,1)處的切線的斜率為k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-38.已知f(x)=QUOTEx3+3xf′(0),則f′QUOTE=________,f′(1)=________.

【解析】由于f′(0)是一常數,所以f′(x)=x2+3f′(0),令x=0,則f′(0)=0,所以f′(1)=12+3f′(0)=1.答案:01三、解答題(每小題10分,共20分)9.求下列函數的導數.(1)f(x)=QUOTE+lnx;(2)f(x)=axsinx-QUOTE(a∈R);(3)f(x)=(ex-1)(2x-1)k.【解析】(1)f′(x)=-QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)f′(x)=asinx+axcosx.(3)f′(x)=(ex-1)′(2x-1)k+(ex-1)QUOTE′=ex(2x-1)k+(ex-1)·2k(2x-1)k-1=(2x-1)k-1QUOTE.10.已知f′(x)是一次函數,x2f′(x)-(2x-1)·f(x)=1.求f(x)的解析式【解析】由f′(x)為一次函數可知f(x)為二次函數.設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.把f(x),f′(x)代入方程x2f′得:x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.要使方程對任意x恒成立,則需要a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知點P在曲線y=QUOTE上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】′=-QUOTE=-QUOTE,設t=ex∈(0,+∞),則y′=-QUOTE=-QUOTE,因為t+QUOTE≥2(t=1時取等號),所以y′∈[-1,0),α∈QUOTE.2.曲線y=e-2x+1在點(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE【解析】′=e-2x·(-2)=-2e-2x,當x=0時,y′=-2e-2×0=-2.曲線y=e-2x+1在點(0,2)處的切線方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐標系中作出直線y=-2x+2,y=0與y=x的圖像,因為直線y=-2x+2與y=x的交點坐標是QUOTE,直線y=-2x+2與x軸的交點坐標是(1,0),結合圖像可得,這三條直線所圍成的三角形的面積等于QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.3.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現象稱為衰變.假設在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時間t(單位:年)滿足函數關系:M(t)=M0QUOTE,其中M0為t=0時銫137的含量.已知t=30時,銫137含量的變化率是-10ln2(太貝克/年),則M(60)= ()太貝克 2太貝克2太貝克 太貝克【解析】′(t)=-QUOTEln2×M0QUOTE,由M′(30)=-QUOTEln2×M0QUOTE=-10ln2,解得M0=600,所以M(t)=600×QUOTE,所以t=60時,銫137的含量為M(60)=600×QUOTE=600×QUOTE=150(太貝克).4.曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是 ()A.QUOTE B.2QUOTE QUOTE 【解析】選A.設曲線y=ln(2x-1)在點(x0,y0)處的切線與直線2x-y+3=0平行.因為y′=QUOTE,所以y′QUOTE=QUOTE=2,解得x0=1,所以y0=ln(2-1)=0,即切點坐標為(1,0).所以切點(1,0)到直線2x-y+3=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,即曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.設f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),則f′(0)=________.

【解析】令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),則f(x)=xg(x),求導得f′(x)=x′g(x)+xg′(x)=g(x)+xg′(x),所以f′(0)=g(0)+0×g′(0)=g(0)=1×2×3×…×n.答案:1×2×3×…×n6.已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為______.

【解析】設切點坐標是(x0,x0+1),依題意有QUOTE由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.答案:27.曲線y=xex+2x+1在點(0,1)處的切線方程為________.

【解析】y′=ex+xex+2,則曲線在點(0,1)處的切線的斜率為k=e0+0+2=3,所以所求切線方程為y-1=3x,即y=3x+1.答案:y=3x+18.若曲線f(x)=x·sinx+1在x=QUOTE處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則實數a=________.

【解析】因為f′(x)=sinx+xcosx,所以f′QUOTE=sinQUOTE+QUOTEcosQUOTE=1.又直線ax+2y+1=0的斜率為-QUOTE,所以根據題意得1×QUOTE=-1,解得a=2.答案:2三、解答題(每小題10分,共30分)9.若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+QUOTEx-9都相切,求實數a的值.【解析】因為y=x3,所以y′=3x2,設過(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,QUOTE),則在(x0,QUOTE)處的切線方程為y-QUOTE=3QUOTE(x-x0).將(1,0)代入得x0=0或x0=QUOTE.①當x0=0時,切線方程為y=0,則ax2+QUOTEx-9=0,Δ=QUOTE-4a×(-9)=0得a=-QUOTE.②當x0=QUOTE時,切線方程為y=QUOTEx-QUOTE,由QUOTE得ax2-3x-QUOTE=0,Δ=(-3)2-4aQUOTE=0,得a=-1.綜上,a=-QUOTE或a=-1.10.已知曲線C:y2=2x-4.(1)求曲線C在點A(3,QUOTE)處的切線方程.(2)過原點O作直線l與曲線C交于A,B兩個不同的點,求線段AB的中點M的軌跡方程.【解析】(1)y>0時,y=QUOTE,所以y′=QUOTE,所以x=3時,y′=QUOTE,所以曲線C在點A(3,QUOTE)處的切線方程為y-QUOTE=QUOTE(x-3),即x-QUOTEy-1=0.(2)設l:y=kx,M(x,y),則將y=kx代入y2=2x-4,可得k2x2-2x+4=0,所以Δ=4-16k2>0,所以QUOTE>4,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=QUOTE,所以y1+y2=QUOTE,所以x=QUOTE,y=QUOTE,所以線段AB的中點M的軌跡方程為y2=x(x>4).11.(1)已知函數y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=2x-1,求函數g(x)=x2+f(x)在點(2,g(2))處的切線方程.(2)已知函數f(x)=xlnx+mx2.若fQUOTE=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.【解析】(1)因為函數y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=2x-1,所以fQUOTE=3