數

學6.1.1復數的相關概念第六單元

復數拓展模塊（一）人民教育出版社第六單元

復數6.1.1復數的相關概念學習目標知識目標理解復數及其相關概念；能力目標學生運用自主探討、合作學習，理解并掌握復數的代數形式，掌握兩個復數相等的判斷方法，提高其發現問題、分析問題及解決問題能力，培養學生邏輯思維能力情感目標通過本節課學習，使學生養成樂于學習、勇于探索的良好品質核心素養通過思考、討論等活動，直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養．在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？創設情境，生成問題活動1問題提出一元二次方程是否能求出實數解？在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2抽象概括假設有一個數是方程的解，那么這個數的平方應該等于-1.這個數不在實數集內.為此，人們引入了一個新的的數.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2一般地，為了使方程有解，人們規定i的平方等于-1，即i2=-1，并稱i為虛數單位.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2探索研究（1）你認為可以怎樣表示2與i的和？又該怎樣表示3減i？（2）你認為5與i的乘積可以怎樣表示？這個數具有什么性質？你能舉出生活中一些二面角的例子嗎？在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2實數a與i的和記作a+i，且實數0與i的和為i；實數b與i的積記作bi，且實數0與i的積為0，實數1與i的積為i.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2抽象概括

一般地，當a與b都是實數時，稱a+bi為復數．復數一般用小寫字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a稱為z的實部，b稱為z的虛部，分別記作Re(z)=a，Im(z)=b.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2所有復數組成的集合稱為復數集，復數集通常用大寫字母C表示，因此C={z|z=a+bi，a，b∈R}.例如，2+(-3)i∈C，這是一個實部為2且虛部為﹣3的復數，為了簡單起見，2+(-3)i通常簡寫為2-3i；又如，-1-2i∈C，這是一個實部為﹣1且虛部為﹣2的復數．在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2不難看出，任意一個復數都由它的實部與虛部唯一確定，虛部為0的復數實際上是一個實數．特別地，稱虛部不為0的復數為虛數，稱實部為0的虛數為純虛數．例如，復數3是一個實數，復數1-i是一個虛數，而復數﹣2i是一個純虛數．

例1分別求實數x的取值，使得復數

z=(x-2)+(x+3)i

（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數.鞏固練習，提升素養活動3

例1分別求實數x的取值，使得復數

z=(x-2)+(x+3)i

（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數.

分析因為

x

是實數，所以

z

的實部是

x-2，虛部是x+3.

然后由復數z=a+bi

是實數、虛數與純虛數的條件可以確定

x

的值.鞏固練習，提升素養活動3

例1分別求實數x的取值，使得復數

z=(x-2)+(x+3)i

（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數.

解（1）當

x+3=0，即

x=-3

時，復數

z

是實數.

（2）當

x+3≠0，即

x≠-3

時，復數

z

是虛數.

（3）當

x-2=0

且

x+3≠0，即

x=2

時，復數

z

時純虛數.鞏固練習，提升素養活動3在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動4如果兩個復數a+bi與c+di的實部與虛部分別相等，就稱這兩個復數相等

，記作a+bi=c+di．這就是說，如果a，b，c，d都是實數，那么a+bi=c+di?a=c且b=d．在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動4這就是說，如果a，b，c，d都是實數，那么a+bi=c+di?a=c且b=d．特別地，a+bi=0?a=0且b=0．在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動4特別提示注意，兩個不相等的實數，一定有大小之分（從而也就一定能用大于號或小于號連接），但是兩個復數，如果不全部是實數，一般不規定它們之間的大小，只能說它們相等或不相等.例如，2+i與3+i，2與2i之間都不規定大小，特別地，不能將虛數與0比較大小，因此也就不能說虛數是正數還是負數.

例2求滿足下列關系的實數

x

和

y

的值：

（1）x+2y-i=6x+(x-y)i；

（2）（x+y+1）-(x-y+2)i=0.鞏固練習，提升素養活動5

例2求滿足下列關系的實數

x

和

y

的值：

（1）x+2y-i=6x+(x-y)i；

解

（1）根據復數相等的定義，得方程組

，解這個方程組，得

.鞏固練習，提升素養活動5

例2求滿足下列關系的實數

x

和

y

的值：

（2）（x+y+1）-(x-y+2)i=0.

解

（