專題40概率中的單調性與最值問題一、題型選講題型一、概率中的單調性問題例1、【2024年高考浙江卷】設0＜a＜1，則隨機變量X的分布列是則當a在（0，1）內增大時，A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，則，則當在內增大時，先減小后增大．故選D．方法2：則，則當在內增大時，先減小后增大．故選D．例2、【2024年高考浙江卷】設，隨機變量ξ的分布列是ξ012P則當p在（0，1）內增大時，A．D（ξ）減小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先減小后增大 D．D（ξ）先增大后減小【答案】D【解析】∵E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+1例3、【2024年高考山東】（多選題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當時，，當時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC題型二、概率中的最值問題例4、（2024·浙江溫州中學高三3月月考）隨機變量的可能值有1，2，3，且，，則的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】隨機變量的可能值有1，2，3，且，，可得：，由，可得所以．，當時，的最大值為1．故選：D．例5、（2024屆浙江省杭州市其次中學高三3月月考）隨機變量的分布列如下：-101其中，，成等差數列，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，成等差數列，，.則的最大值為例6、（2024屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知，兩個不透亮盒中各有形態、大小都相同的紅球、白球若干個，A盒中有個紅球與個白球，盒中有個紅球與個白球（），若從，盒中各取一個球，表示所取的2個球中紅球的個數，則當取到最大值時，的值為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】可能值為，，，，分布列為，，當且僅當時，等號成立.故選:B.例7、（2024·浙江省溫州市新力氣聯盟高三上期末）隨機變量的分布列如下：123其中，，成等差數列，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，成等差數列，∴，∵，∴，，∴，則，當時取等號．則的最大值為.故選：D.例8、（2024屆山東省日照市高三上期末聯考）某公司打算投產一種新產品，經測算，已知每年生產萬件的該種產品所須要的總成本（萬元），依據產品尺寸，產品的品質可能出現優、中、差三種狀況，隨機抽取了1000件產品測量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經統計得到的頻率分布直方圖如圖所示.產品的品質狀況和相應的價格（元/件）與年產量之間的函數關系如下表所示.產品品質立品尺寸的范圍價格與產量的函數關系式優中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實數的值；（2）當產量確定時，設不同品質的產品價格為隨機變量，求隨機變量的分布列；（3）估計當年產量為何值時，該公司年利潤最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）見解析（3）年產量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.【解析】（1）由題意得，解得；（2）當產品品質為優時頻率為，此時價格為；當產品品質為中時頻率為，此時價格為；當產品品質為差時頻率為，此時價格為；以頻率作為概率，可得隨機變量的分布列為：0.50.20.3（3）設公司年利潤為，則整理得，明顯當時，，時，，∴當年產量時，取得最大值.估計當年產量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.二、達標訓練1、【2024年高考全國Ⅲ卷理數】某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中運用移動支付的人數，，，則A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】∵，∴或，，，可知，故．故選B．2、（2024屆浙江省“山水聯盟”高三下學期開學）設，隨機變量的分布列如下表所示123已知，則當在內增大時，的改變狀況（）A．先增大再減小 B．先減小再增大C．增大 D．減小【答案】D【解析】由分布列的性質可得.，.當在內增大時，減?。蔬x：.3、（2024屆浙江省臺州市溫嶺中學3月模擬）已知，隨機變量，的分布列如表所示，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】，，，由，所以，故選：B.4、（2024屆浙江省杭州市高三3月模擬）已知隨機變量ξ滿意P(ξ=0)=x，P(ξ=1)=1-x，若則（）A．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而增大B．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而增大C．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而減小D．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而減小【答案】B【解析】依題意，在區間上是減函數.，留意到函數的開口向下，對稱軸為，所以在區間上是增函數，也即在區間上是增函數.故選：B5、（2024·浙江學軍中學高三3月月考）已知a，b為實數，隨機變量X，Y的分布列如下：X-101Y-101PPabc若，隨機變量滿意，其中隨機變量相互獨立，則取值范圍的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，所以，即，又，故，所以，又隨機變量的可能取值為-1，0，1，則，，，列出隨機變量的分布列如下：-101P所以.故選：B.6、（2024屆浙江省十校聯盟高三下學期開學）設，相互獨立的兩個隨機變量，的分布列如下表：-11-11則當在內增大時（）A．減小，增大 B．減小，減小C．增大，增大 D．增大，減小【答案】D【解析】，，，，，，，當在內增大時，增大，減小，故選：D．7、（2024·浙江溫州中學3月高考模擬）已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對全部都成立，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對全部成立,所以,解得,故選:D.8、（2