2/2專題16導數與函數的單調性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點突破】 3【考點1】不含參函數的單調性 3【考點2】含參函數的單調性 4【考點3】根據函數的單調性求參數 6【考點4】函數單調性的應用 7【分層檢測】 8【基礎篇】 8【能力篇】 10【培優篇】 10考試要求：1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次).知識梳理知識梳理1.函數的單調性與導數的關系條件恒有結論函數y＝f(x)在區間(a，b)上可導f′(x)＞0f(x)在(a，b)上單調遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上單調遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常數函數2.利用導數判斷函數單調性的步驟第1步，確定函數的定義域；第2步，求出導函數f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性.1.若函數f(x)在區間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的充分不必要條件.2.對于可導函數f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．4．（2021·浙江·高考真題）已知函數，則圖象為如圖的函數可能是（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2022·全國·高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．三、填空題6．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是.考點突破考點突破【考點1】不含參函數的單調性一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則當時，的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·河南南陽·模擬預測）已知函數，則（

）A．若曲線在處的切線方程為，則B．若，則函數的單調遞增區間為C．若，則函數在區間上的最小值為D．若，則的取值范圍為三、填空題3．（2024·四川成都·三模）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則當時，的單調遞增區間為．四、解答題4．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數，直線在軸上的截距為，且與曲線相切于點．(1)求實數的值；(2)求函數的單調區間與極值．5．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(1)求在處的切線；(2)比較與的大小并說明理由.6．（2024·北京西城·一模）已知函數．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；(2)當時，討論的單調性；(3)若集合有且只有一個元素，求的值．反思提升：確定函數單調區間的步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間.【考點2】含參函數的單調性一、單選題1．（2022·全國·模擬預測）已知函數是定義域為的奇函數，且當時，．若函數在上的最小值為3，則實數a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2023·全國·模擬預測）已知函數，其導函數為，下列結論正確的是（

）A．在上單調遞增B．當時，有兩個零點C．一定存在零點D．若存在，有，則三、填空題3．（2023·廣東廣州·模擬預測）已知函數恰有兩個零點，則.四、解答題4．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數.(1)若，求曲線在處的切線方程;(2)若，討論的單調性.5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調性.6．（2024·河南·二模）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.反思提升：1.(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數的正負及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.2.個別導數為0的點不影響所在區間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數.【考點3】根據函數的單調性求參數一、單選題1．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·廣東茂名·一模）若是區間上的單調函數，則實數的值可以是（

）A． B． C．3 D．4三、填空題3．（22-23高二下·廣西·期中）若函數在存在單調遞減區間，則a的取值范圍為．四、解答題4．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數，(1)若在定義域內是減函數，求a的取值范圍；(2)當時，求的極值點．5．（2023·全國·模擬預測）已知函數，其中為自然對數的底數．(1)若在區間上不是單調函數，求的取值范圍．(2)當時，恒成立，求的取值范圍．6．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數．(1)若在上單調遞減，求實數的取值范圍；(2)若的最小值為6，求實數的值．反思提升：根據函數單調性求參數的一般思路：(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區間(a，b)是相應單調區間的子集.(2)f(x)為增(減)函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內的任一非空子區間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.【考點4】函數單調性的應用一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）若，，，則，，的大小順序為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·江蘇·三模）三角函數表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的定義域為，且滿足（為函數的導函數），，若存在，使得，則實數的取值范圍為．四、解答題4．（2023·山東·模擬預測）已知函數及其導函數滿足，且．(1)求的解析式，并比較，，的大小；(2)試討論函數在區間上的零點的個數．5．（2024·河南開封·二模）已知函數．(1)討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；(2)函數；若方程在上存在實根，試比較與的大小．6．（23-24高三下·浙江杭州·階段練習）已知函數.(1)當時，證明：；(2)，，求的最小值；(3)若在區間存在零點，求的取值范圍.反思提升：1.利用導數比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數，把比較大小的問題轉化為先利用導數研究函數的單調性，進而根據單調性比較大小.2.與抽象函數有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數的積(或商)的函數，與題設形成解題鏈條，利用導數研究新函數的單調性，從而求解不等式.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數，則下列選項正確的是（

）.A． B．C． D．2．（23-24高二下·四川涼山·期中）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·重慶渝北·期中）若函數在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·天津·期中）已知函數在R上單調遞增，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二下·重慶·階段練習）設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（

）A．函數在上為增函數 B．函數在上為增函數C．函數有極大值和極小值 D．函數有極大值和極小值6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數，下列結論中正確的是（

）A．B．函數的值域為RC．若是的極值點，則D．若是的極小值點，則在區間單調遞減三、填空題7．（21-22高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數，，若對，，且，使得，則實數a的取值范圍是.8．（23-24高二下·湖北·期中）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為．9．（23-24高二下·江蘇·期中）如果定義在R上的函數的單調增區間為，那么實數的值為．四、解答題10．（23-24高二下·北京·期中）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若曲線在直線的上方，求實數的取值范圍．11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函數在點處的切線的斜率為(1)求；(2)求的單調區間和極值．12．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數，．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數的底數）；(2)在（1）的條件下求的單調區間和極小值：(3)若在上存在增區間，求的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·遼寧·二模）已知定義在R上的函數，設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數，下列命題正確的是（

）A．若是函數的極值點，則B．若，則在上的最小值為0C．若在上單調遞減，則D．若在上恒成立，則三、填空題3．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）已知函數，若在,上單調遞增，則實數的取值范圍為．四、解答題4．（2024·山東濟南·二模）已知函數(1)討論的單調性；(2)證明：.【培優篇】一、解答題