河南省豫北名校5月份聯考考試2023—2024學年高一年級階段性測試（四）數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設復數在復平面內對應的點為，則（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，且，則實數（

）A． B． C．2 D．3．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點，，，若將四邊形水平放置，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．4．在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，的夾角為，，，在中，，，，則（

）A．2 B． C． D．66．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，直線與的夾角為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得塔頂的仰角為，則塔高為（

）A． B． C． D．8．已知圓錐的軸截面是邊長為4的正三角形，是圓錐的頂點，是底面圓的直徑，是弧的中點，，分別為線段，的中點，則（

）A．2 B． C．3 D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．空間中有兩個不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則10．歐拉公式（其中為虛數單位，）是由18世紀瑞士著名數學家歐拉創立的，它把自然對數的底數、虛數單位、三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧美.已知實數指數冪的運算性質同樣也適用于復數指數冪，根據歐拉公式，下列說法正確的是（

）A．B．對任意，與互為共軛復數C．對任意，在復平面內對應的點都在同一個圓上D．復數的實部為11．已知向量，，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．設函數，則的最大值為2C．的最大值為D．若，且在上的投影向量為，則與的夾角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在復平面內，復數對應的點到點的距離是，則.13．在中，，，點在邊上，則的最小值為.14．如圖所示，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為；平面過棱的中點且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知向量，，向量滿足，且.(1)求的坐標；(2)若與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.16．已知復數在復平面內對應的點位于第三象限，，且的虛部是實部的2倍.(1)求；(2)若復數使得為純虛數，則在復平面內對應的點的集合是什么圖形？17．如圖所示，是圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上異于，的動點，，是圓柱的兩條母線.(1)求證：平面；(2)若異面直線與所成的角為，圓柱的表面積為，求四棱錐體積的最大值.18．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，為棱上一點，.(1)證明：平面；(2)求二面角的大小；(3)求點到平面的距離.19．在中，內角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)如圖1，，，求；(3)如圖2，若，，在邊，上分別取點，，將沿直線折疊，使頂點正好落在邊上的點處，求的最大值.1．C【分析】根據復數的幾何意義，表示出復數，代入到要求的式子中即可得出答案.【詳解】因為復數在復平面內對應的點為，所以，所以.故選：C.2．D【分析】利用向量數量積和向量垂直的概念求出參數的取值.【詳解】，，則故答案選：D.3．A【分析】依題意可知直觀圖為平行四邊形，作出直觀圖，求出相應的線段的長度，即可求出面積.【詳解】依題意可知四邊形為平行四邊形，則直觀圖也為平行四邊形，其直觀圖如下所示：又，，則，，，所以，所以.故選：A4．C【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.【詳解】由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，則，所以.故選：C5．A【分析】首先由數量積的定義求出，再由平面向量線性運算法則得到，最后根據及數量積的運算律計算可得.【詳解】因為向量，的夾角為，，，所以，又因為，所以.故選：A6．D【分析】將正四棱臺補形為正四棱錐，求出棱錐的高，即可得到棱臺的高，再根據臺體的體積公式計算可得.【詳解】依題意將正四棱臺補形為正四棱錐，如下圖所示：、因為直線與的夾角為，所以為邊長為的等邊三角形，又，且，所以是的中位線，設，則平面，且，所以正四棱臺的高，所以四棱臺的體積.故選：D7．C【分析】在中，利用正弦定理求出長，再在直角中即可作答.【詳解】在中，依題意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在直角中，，從而得，所以塔高m.故選：C8．B【分析】設為的中點，連接、，根據圓錐的性質得到底面，則，求出，利用余弦定理求出，最后由勾股定理計算可得.【詳解】如圖，設為的中點，連接、，依題意底面，，所以，，，，所以底面，又底面，所以，在中，，即為等腰直角三角形，則，，又為的中點，所以，在中，所以.故選：B9．AC【分析】根據空間中線線、線面、面面的位置關系一一判斷即可.【詳解】對于A，若，，則或，又，所以，故A正確；對于B，若，，則或，又，則與斜交、垂直、平行及均有可能，故B錯誤；對于C，若，，則，又，則，故C正確；對于D，若，，則或，又，則或，故D錯誤．故選：AC．10．BCD【分析】由復數幾何意義可判斷A，由所給定義、誘導公式及共軛復數判斷B，由復數的幾何意義判斷C，根據所給定義化簡，即可判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，故A錯誤；對于B：，，所以對任意，與互為共軛復數，故B正確；對于C：因為，所以在復平面內對應的點為，又，所以在復平面內對應的點在以坐標原點為圓心，為半徑的圓上，故C正確；對于D：的實部為，故D正確.故選：BCD11．ABD【分析】根據判斷A，由數量積的坐標表示及輔助角公式判斷B，根據向量模的坐標表示及輔助角公式判斷C，根據投影向量的定義及夾角公式判斷D.【詳解】對于A：若，則，所以，故A正確；對于B：，所以當，即時取得最大值，最大值為，故B正確；對于C：因為，所以，所以當時取得最大值，最大值為，故C錯誤；對于D：在上的投影向量為，所以，所以，又，所以，此時，故D正確.故選：ABD12．【分析】首先得到復數在復平面內對應的點的坐標，再由兩點間的距離公式計算可得.【詳解】復數在復平面內對應的點為，依題意，解得.故答案為：13．【分析】以的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，，利用數量積的坐標表示及二次函數的性質計算可得.【詳解】如圖，以的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，設，，則，，所以，因為，所以當時.故答案為：14．##【分析】首先的斜邊，即可求出外接球的半徑，從而求出外接球的表面積；取的中點，的中點，的中點，連接、、、，即可得到平面即為平面，即可求截面面積.【詳解】在直三棱柱中，，，即底面為直角三角形，且斜邊，設該三棱柱外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積，取的中點，的中點，的中點，連接、、、，則、，所以，即、、、四點共面，由，平面，平面，所以平面，故平面即為平面，取的中點，的中點，連接，則為等腰梯形的高，因為，，，所以，所以，即故答案為：；15．(1)(2)【分析】（1）設，表示出的坐標，再根據數量積及平面向量共線的坐標表示得到方程組，解得即可；（2）依題意且與不反向，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）設，則，又，且，所以，解得，所以（2）因為，因為與的夾角為鈍角，所以則，解得且，所以實數的取值范圍為.16．(1)(2)直線去掉點【分析】（1）利用已知條件，設出復數，通過模長公式及所對點所在位置求出即可復數；（2）把（1）中所求復數代入，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數的幾何意義得出在復平面內對應的點的集合構成圖形即可.【詳解】（1）因為的虛部是實部的2倍，所以設，又，即，所以，因為復數在復平面內對應的點位于第三象限，所以，即，所以；（2）設復數，因為為純虛數，所以，當時，解得，所以等價于且，所以復數在復平面內的圖象為去掉一個點的直線.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由圓柱的性質得到，又，即可得證；（2）依題意可得即為異面直線與所成的角，設圓柱的高為，底面半徑為，則，根據圓柱的表面積求出、，設，，得到，最后根據及基本不等式計算可得.【詳解】（1）為圓柱的母線，平面，又平面，．是下底面圓的直徑，．又平面，平面，平面；（2）因為，是圓柱的兩條母線，所以所以即為異面直線與所成的角，即，所以為等腰直角三角形，所以，設圓柱的高為，底面半徑為，則，又圓柱的表面積，解得（負值已舍去），則，在中，設，，則，所以．當且僅當時，不等式取“=”號．故的最大值為．18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接交于點，連接，結合，得到，結合線面平行的判定定理，即可得證；（2）設的中點為，連接、，即可證明、，即為二面角的平面角，再由銳角三角函數計算可得；（3）根據，利用等體積法計算可得.【詳解】（1）連接交于點，連接.在底面中，因為，且，由，可得，因為，即，所以在中，，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）設的中點為，連接、，因為，，所以為等邊三角形，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，平面，平面，所以，在中，，所以，所以，即二面角的大小為；（3）因為，，所以，所以，在中，，，所以，即，所以，設點到平面的距離為，則，即，即，即點到平面的距離為.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據三角恒等變換的化簡計算可得，即可求解；（2）建立如圖平面直角坐標系，設，則，進而，有，求出即可求解.（3）易知，如圖，設，則，，在中根據正弦定理可得，結合正弦函數的性質即可求解.【詳解