第一節隨機抽樣考試要求：了解簡潔隨機抽樣和分層隨機抽樣的必要性，駕馭分層隨機抽樣的樣本平均數，知道獲得數據的基本途徑．一、教材概念·結論·性質重現1．簡潔隨機抽樣(1)定義：一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取n(1≤n＜N)個個體作為樣本，假如抽取是放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡潔隨機抽樣；假如抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡潔隨機抽樣．放回簡潔隨機抽樣和不放回簡潔隨機抽樣統稱為簡潔隨機抽樣．(2)最常用的簡潔隨機抽樣方法有兩種——抽簽法和隨機數法．(3)應用范圍：總體個體數較少．2．分層隨機抽樣一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡潔隨機抽樣，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣．(1)每一個子總體稱為層．在分層隨機抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的安排方式為比例安排．(2)假如層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，則2層的樣本平均數分別為x，y，2層的總體平均數分別為X，Y，總體平均數為W則w＝mm+nx＋nm(3)在比例安排的分層隨機抽樣中，可以干脆用樣本平均數w估計總體平均數W.兩種抽樣方法的特點、聯系及適用范圍類別簡潔隨機抽樣分層隨機抽樣共同點抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等各自特點從總體中逐個抽取將總體分成幾層，分層進行抽取聯系—各層抽樣時，采納簡潔隨機抽樣適用范圍總體個數較少總體由差異明顯的幾部分組成二、基本技能·思想·活動閱歷1．推斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)簡潔隨機抽樣的每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關． (×)(2)在抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大． (×)(3)在分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關．(×)2．現有以下兩項調查：①從10臺冰箱中抽取3臺進行質量檢查；②某社區有600戶家庭，其中高收入家庭180戶，中等收入家庭360戶，低收入家庭60戶，為了調查家庭購買力的某項指標，擬抽取一個容量為30的樣本．則完成這兩項調查最相宜采納的抽樣方法分別是()A．①②都采納簡潔隨機抽樣B．①②都采納分層隨機抽樣C．①采納簡潔隨機抽樣，②采納分層隨機抽樣D．①采納分層隨機抽樣，②采納簡潔隨機抽樣C解析：對于①，“從10臺冰箱中抽取3臺進行質量檢查”，總體容量比較少，應采納簡潔隨機抽樣法；對于②，總體容量較多，且樣本差異比較明顯，應采納分層隨機抽樣法．3．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本量D．從總體中抽取的一個樣本A解析：由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中每1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本量是200.4．某學校高二年級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”這三種組合的學生人數分別為210，90和60.若采納分層隨機抽樣的方法從中隨機抽取12名學生，則從“史政生”組合中抽取的學生人數為()A．7 B．6C．3 D．2C解析：由題意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”這三種組合的學生人數分別為210，90和60，故“史政生”所占的比例為90210+90+60＝14.由于分層隨機抽樣是按比例抽取，可得“史政生”組合中抽取的學生人數為12×5．下列狀況適合用全面調查的是()A．了解一批玉米種子的發芽率B．了解某城市居民的食品消費結構C．調查一個縣各村的糧食播種面積D．調查一條河的水質C解析：A．了解一批玉米種子的發芽率適合抽樣調查，故不符合題意；B．了解某城市居民的食品消費結構適合抽樣調查，故不符合題意；C．調查一個縣各村的糧食播種面積適合全面調查，故符合題意；D．調查一條河的水質適合抽樣調查，故不符合題意．故選C．6．某班60名同學中選出4人參與戶外活動，利用隨機數法抽取樣本時，先將60名同學按01，02，…，60進行編號，然后從隨機數表第1行的第5列數字起先從左往右依次選取兩個數字，則選出的第4個同學的編號為()0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676(注：表中的數據為隨機數表的第1行和第2行)A．24 B．36C．46 D．47C解析：由題知從隨機數表的第1行的第5列和第6列數字起先，由表可知依次選取43，36，47，46.故選出的第4個同學的編號為46.7．要完成下列三項調查：①某商城從10臺同款平板電腦中抽取4臺作為商城促銷的獎品；②某市從老、中、青三代市民中抽取100人調查他們網絡購物的狀況．適合采納的抽樣方法依次為____________．①抽簽法；②分層隨機抽樣解析：對于①，所收集的數據沒有明顯差異，且數量較少，應用抽簽法；對于②，所收集的數據差異明顯，應用分層隨機抽樣．考點1統計中的基本概念、數據獲得——基礎性1．為了了解某省高考數學考試的狀況，抽取2000名考生的數學試卷進行分析，2000叫作()A．個體 B．樣本C．樣本量 D．總體C解析：2000是個數字，沒有單位，由樣本量的定義可知2000是樣本量．故選C．2．某中學進行了該學年度期末統一考試，該校為了了解高一年級1000名學生的考試成果，從中隨機抽取了100名學生的考試成果，就這個問題來說，下面說法正確的是()A．1000名學生是總體B．每個學生是個體C．1000名學生的考試成果是一個個體D．樣本量是100D解析：依據題意得，本題的總體、個體與樣本考查的對象都是學生成果，而不是學生，選項A，B表達的對象都是學生，不是成果，A，B都錯誤；C中1000名學生的成果是總體，不是個體，所以C錯誤；D中樣本量是100，所以D正確．概念不清致誤(1)區分總體、總體容量：總體由全部探討對象組成，由探討對象確定；總體容量是總體樣本的個數．(2)區分個體、樣本、樣本量：個體是指考查對象，樣本是抽取的個體，樣本量是指抽取的樣本個數．考點2簡潔隨機抽樣及其應用——綜合性(1)下列抽取樣本的方式屬于簡潔隨機抽樣的個數為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；②從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗；③某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參與學校組織的籃球賽．A．0 B．1C．2 D．3A解析：①不是簡潔隨機抽樣，因為被抽取樣本的總體的個數是無限的，而不是有限的；②不是簡潔隨機抽樣，因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取；③不是簡潔隨機抽樣，因為不是等可能抽樣．故選A．簡潔隨機抽樣適合總體中個數較少．留意隨機抽樣不是隨意或隨意抽取，隨意或隨意抽取都會帶有主觀或客觀的影響因素．(2)總體由編號為01，02，03，…，50的50個個體組成，利用隨機數表從中抽取5個個體，下面供應隨機數表的第5行到第7行：931247795737891845503994557361116098496573509847303098372310447691460679266220620522若從表中第6行的第6列數字起先向右依次讀取，則抽取的第3個個體的編號是()A．09 B．03C．35 D．37B解析：利用隨機數表從第6行第6列起先向右讀取，依次為09，84(舍棄)，96(舍棄)，57(舍棄)，35，09(重復，舍棄)，84(舍棄)，73(舍棄)，03，所以抽取的第3個個體的編號是03.在運用隨機數法時，如遇到三位數或四位數，可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，將超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍棄．某工廠利用隨機數表對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，…，599，600，從中抽取60個樣本，現供應隨機數表的第4行到第6行：第4行：32211834297864540732524206443812234356773578905642第5行：84421253313457860736253007328623457889072368960804第6行：32567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列起先向右依次讀取3個數據，則得到的第7個樣本編號為()A．522 B．324C．535 D．578B解析：第6行第6列的數起先的數為808(舍棄)，436，789(舍棄)，535，577，348，994(舍棄)，837(舍棄)，522，535(重復舍棄)，578，324.所以抽取的7個編號為436，535，577，348，522，578，324.即第7個樣本編號為324.考點3分層隨機抽樣——綜合性考向1求總體或樣本量(1)近年來，許多學生因為不科學運用電子產品的原因其視力受到了很大的損害，中小學生的近視率也呈明顯的上升趨勢．某區為了了解中小學生的視力健康狀況，確定從城區的幾所學校隨機抽取一個樣本進行調查．已知這幾所學校的小學生、初中生、中學生的人數比為5∶6∶7，現用分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本量為n的樣本，樣本中初中生的人數比小學生人數多50，則n＝()A．250 B．300C．800 D．900D解析：這幾所學校的小學生、初中生、中學生的人數比為5∶6∶7，現用分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本量為n的樣本，樣本中初中生的人數比小學生人數多50，則n6k5k+6k+7k-5k(2)(2024·寶雞模擬)我國古代數學名著《九章算術》有一抽樣問題：“今有北鄉若干人，西鄉七千四百八十八人，南鄉六千九百一十二人，凡三鄉，發役三百人，而北鄉需遣一百零八人，問北鄉人數幾何？”其意思為：今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調300人，而北面共征調108人(用分層隨機抽樣的方法)，則北面共有()A．8000人 B．8100人C．8200人 D．8300人B解析：設北面人數為x，依據題意知，xx+7488+6912＝108300，解得考向2分層隨機抽樣的均值某市的3個區共有中學學生20000人，且3個區的中學學生人數之比為2∶3∶5.現要從全部學生中抽取一個容量為200的樣本，調查該市中學學生的視力狀況．(1)試寫出抽樣過程；(2)若樣本中3個區的中學學生的平均視力分別為4.8，4.8，4.6，試估計該市中學學生的平均視力．解：(1)①由于該市中學學生的視力有差異，按3個區分成三層，用分層隨機抽樣法抽取樣本．②確定每層抽取的個體數，在3個區分別抽取的學生人數之比也是2∶3∶5，所以抽取的學生人數分別是200×22+3+5＝40，200×32+3+5＝60，200×52+3+5＝100.③(2)樣本中中學學生的平均視力為40200×4.8＋60200×4.8＋所以估計該市中學學生的平均視力約為4.7.分層隨機抽樣均值的計算假如總體的層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為M，N，抽取的樣本量分別為m，n，若2層的樣本平均數分別為x，y，2層的總體平均數分別為X，Y，總體平均數為W，樣本平均數為w，則w＝某校高二年級“化生史”組合只有2個班，且每班50人.在一次數學測試中，從兩個班抽取了20名學生的數學成果進行分析，統計得在該次測試中，兩班中各抽取的20名學生的平均成果分別為110分和106分，則該組合學生的平均成果約為________分．108解析：樣本中40名學生的平均分為2040×110＋20課時質量評價(五十三)A組全考點鞏固練1．已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現按性別用分層隨機抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數與抽取的女職工人數之差是()A．2 B．4C．6 D．8B解析：抽取的女職工人數為2405602．某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個層次內．依據抽樣結果得到統計圖表，則樣本中B層人數是()A．12 B．24C．32 D．36D解析：樣本中，女生人數為9＋24＋15＋9＋3＝60，男生人數為100－60＝40，故樣本中B層人數為24＋40×30%＝36.3．在某種疫苗試驗初期，某居民區有5000人自愿接種了此種疫苗，其中60～70歲的老年人有1400人，16～19歲的中學生有400人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項接種疫苗的追蹤調查中，要用分層隨機抽樣的方法從該居民區5000名接種疫苗的人群中抽取部分人作為樣本進行追蹤調查．已知老年人中抽取了14人，則從其余符合接種條件的其他年齡段的居民中抽取的人數為()A．14 B．18C．32 D．50C解析：設從其余符合接種條件的其它年齡段的居民中抽取的人數為x，由分層隨機抽樣的性質得：141400＝x5000-所以從其余符合接種條件的其他年齡段的居民中抽取的人數為32.故選C．4．(多選題)某工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，其相應產品數量之比為2∶5∶3，現用分層隨機抽樣的方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號產品有16件，則()A．此樣本量n為20B．此樣本量n為80C．樣本中B型號產品有40件D．樣本中B型號產品有24件BC解析：工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，其相應產品數量之比為2∶5∶3，現用分層隨機抽樣法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號產品有16件．設樣本量為n，則n＝16÷2k2k+5k+3k＝80，故A錯誤，B正確；樣本中B型號產品有80×5k5．某校3個愛好小組的學生人數分布如表(每名學生只參與一個小組)(單位：人)：籃球組書畫組樂器組高一4530x高二151020已知用分層隨機抽樣的方法從參與這三個愛好小組的學生中共抽取30人，其中籃球組被抽出12人，則x的值為________．30解析：依據分層隨機抽樣的定義和方法可得，1245+15＝30120+x，解得6．從某單位45名職工中隨機抽取6名職工參與一項社區服務活動，用隨機數法確定這6名職工．選取方法是先將45名職工編號，分別為01，02，03，…，45，然后從下面的隨機數表第一行的第5列的數字7起先由左到右依次選取兩個數字，從而確定6個個體的編號，則選出的第6個職工的編號為________．1622779439495443548217379323788735209643844217533157245506887704744767217633502535解析：選出的6個個體的編號分別為：39，43，17，37，23，35，則選出的第6個職工的編號為35.B組新高考培優練7．(多選題)分層隨機抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后依據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，組成一個樣本的抽樣方法．在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢．甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要依據各人帶錢多少的比例進行交稅．問：三人各應付多少稅？下列說法正確的是()A．甲應付5141109B．乙應付3224109C．丙應付1656109D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少ACD解析：依題意，由分層隨機抽樣可知，100÷(560＋350＋180)＝10109，則甲應付10109×560＝51乙應付10109×350＝3212丙應付10109×180＝1656結合選項知A，C，D正確，B錯誤．8．交通管理部門為了了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層隨機抽樣調查．假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區駕駛員的總人數N為()A．101 B．808C．1212 D．2012B解析：甲社區每個個體被抽到的概率為1296＝18，樣本量為12＋21＋25＋43＝101，所以四個社區中駕駛員的總人數N＝9．用簡潔隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“其次次被抽到”的可能性分別是()A．110，C．15，A解析：在抽