總復習期末復習課期末復習課（四）（第四章一次函數）數學八年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS

1.

函數、一次函數、正比例函數的概念.（1）函數：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和

y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與之對應，那么我們稱y是x的函數，其中x是

，y是

??；（2）一次函數：若兩個變量x，y間的對應關系可以表示成

?的形式，則稱y是x的一次函數；自變量

因變量

y＝

kx

＋b（k，b為常數，k≠0）

（3）正比例函數：特別地，當

時，稱y是x的正比例函數.b＝0

2.

一次函數

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）的圖象與性質.一次函數y＝kx＋b（k，b為常數，k≠0）k，b

的符號k＞0k＜0b＞0b＜0b＝0b＞0b＜0b＝0圖象

象限過第一、

二、三象限過第一、三、四象限過第一、三象限過第一、

二、四象限過第二、

三、四象限過第二、四象限性質y的值隨著x值的增大而增大y的值隨著x值的增大而減小

3.

同一直角坐標系中直線的位置關系.對于直線y＝k1x＋b1（k1≠0）與y＝k2x＋b2（k2≠0）：（1）當k1＝k2且b1≠b2時，兩直線

?；（2）當k1＝k2且b1＝b2時，兩直線

?；（3）當k1≠k2時，兩直線

?；（4）當

時，兩直線互相垂直.4.

直線y＝kx＋b（k≠0）平移的口訣：上加下減，左加右減.平行

重合

相交

k1k2＝－1

5.

一次函數在實際問題中的應用.（1）實際問題中一次函數的表達式及圖象.關鍵：理解一次函數的表達式與圖象上點的坐標的實際意義.（2）分段的一次函數.關鍵：求出各段的函數表達式.（3）動點問題的函數表達式及圖象.關鍵：正確分段及求出各段的函數表達式.（4）同一坐標系中兩個一次函數的圖象問題.關鍵：兩個一次函數圖象的交點及意義.數學八年級上冊BS版02典例講練

（1）對于一次函數y＝－x－2的相關性質，下列描述錯誤的是（

B

）BA.

函數圖象經過第二、三、四象限B.

函數圖象與x軸的交點坐標為（－1，0）C.

y的值隨著x值的增大而減小D.

函數圖象與坐標軸圍成的三角形的面積為2

類型一

一次函數的基礎知識（2）已知直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，則一次函數y

＝bx－k的圖象可能是（

B

）ABCDB【解析】∵直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，∴k＜0，b

＞0.∴－k＞0.∴一次函數y＝bx－k經過第一、二、三象限.∴選項B中的圖象符合題意.故選B.

【點撥】解題時，注意一次函數表達式中k，b所在的位置.

1.

已知直線y＝2kx如圖所示，則y＝（k－2）x＋1－k的圖象可能是（

A

）A

B

C

D

A2.

對于函數y＝k2x（k是常數，k≠0）的圖象，下列說法不正確的是（

D

）A.

是一條直線C.

y的值隨著x值的增大而增大D.

經過第一、三象限或第二、四象限D類型二

一次函數的簡單實際應用

某市為提倡居民節約用水，自今年1月1日起調整居民用水價格.圖中直線l1，l2分別表示去年、今年的水費y（元）與用水量x（m3）之間的關系.（1）求出直線

l1的函數表達式；（2）求出直線

l2（當

x

＞120時）的函數表達式；（3）小雨家去年用水量為150m3，若今年的用水量與去年相

同，則水費將比去年多多少元？解：（1）設直線l1的函數表達式為y＝kx（k≠0）.∵點（160，480）在該函數圖象上，∴480＝160k，解得k＝3.故直線l1的函數表達式為y＝3x.

（3）當x＝150時，去年水費：y＝3×150＝450（元），今年水費：

y

＝6×150－240＝900－240＝660（元）.660－450＝210（元）.故小雨家去年用水量為150m3，若今年用水量與去年相同，水費將比去年多210元.【點撥】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是求出直線l1和直線l2（當x＞120時）的函數表達式.

為鼓勵市民節約用電，某地采取用電量按月分段收費的辦法.已知某戶居民每月應繳電費y（元）與用電量x（kW·h）的函數圖象如圖所示.根據圖象解答下列問題：（1）分別寫出當0≤

x

≤100和

x

＞100時，

y

與

x

之間的函數關系式.

（2）根據（1）的函數關系式，得月用電量在0

kW·h到100

kW·h之間時，每千瓦時0.65元；月用電量超出100

kW·h時，超過部分每千瓦時0.8元.所以用戶月用電62

kW·h時，62×0.65＝40.3（元），即用戶應繳費40.3元.用戶月繳費105元時，即0.8x－15＝105，解得x＝150.即該用戶該月用電150

kW·h.（2）若該用戶某月用電62

kW·h，則應繳費多少元？若該用戶某月繳費105元，則該用戶該月用電多少千瓦時？類型三

一次函數與幾何中的存在性問題

如圖,在平面直角坐標系中，已知直線AB:y＝－x＋b交

y軸于點A（0，4）,交x軸于點B.

（1）求直線AB的函數表達式和點B的坐標.（2）直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E.

點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為n.①用含n的代數式表示△ABP的面積.②當S△ABP＝8時，求點P的坐標.③在②的條件下，在坐標軸上是否存在一點

Q

，使得△

ABQ

與△

ABP

的面積相等？若存在，求出點

Q

的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）把A（0，4）代入y＝－x＋b，得b＝4.∴直線AB的函數表達式為y＝－x＋4.令y＝0，得－x＋4＝0，解得x＝4.∴點B的坐標為（4，0）.（2）直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E.

點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為n.①用含n的代數式表示△ABP的面積.

②∵S△ABP＝8，∴2n－4＝8，解得n＝6.∴點P的坐標為（2，6）.③如圖.情況一：過點P作AB的平行線l1交y軸于點Q1，交x軸于點Q2.∵Q1Q2∥AB，∴△Q1AB，△Q2AB都與△PAB的面積相等.∵直線AB的函數表達式為y＝－x＋4，∴直線Q1Q2的函數表達式為y＝－x＋8.∴點Q1（0，8），點Q2（8，0）.情況二：作點

P

關于點

D

的對稱點

K

（2，－2），過點

K

作

AB

的平行線

l2.可得直線

l2的函數表達式為

y

＝－

x

，∴直線

l2經過原點，

Q3（0，0）也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點

Q

的坐標為（0，8），（8，0）或（0，0）.②當S△ABP＝8時，求點P的坐標.③在②的條件下，在坐標軸上是否存在一點Q，使得△ABQ與△ABP的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【點撥】本例（2）③問中使用作平行線的辦法找使兩個三角形面積相等的點的坐標，可以避免使用方程求面積帶來的大量運算.

（2）當點D為線段OB的中點時，在直線l上找一點P，使△

PBD為等腰三角形，求點P的坐標.

類型四

一次函數在實際問題中的應用

甲、乙兩車分別從B，A兩地同時出發，甲車勻速前往A地，乙車勻速前往B地，且到達B地后立即以另一速度按原路勻速返回到A地.設甲、乙兩車距A地的路程為y（km），乙車行駛的時間為x（h），y與x之間的函數圖象如圖所示.請根據圖象解決下列問題：（1）乙車從A地到B地的速度是

km/h；（2）乙車到達B地時，甲車距A地的路程是

km；（3）求乙車返回途中，甲、乙兩車相距180

km時，乙車總共行駛的時間.120

100

（1）【解析】由圖象，得乙車從A地到B地的速度為180÷1.5

＝120（km/h）.故答案為120.（2）【解析】由圖象，得

m

＝300÷120＝2.5，甲車的速度為

（300－180）÷1.5＝80（km/h），則乙車到達B地時甲車距A地的路程是300－80×2.5＝300－200＝100（km）.故答案為100.（3）解：由圖象，得乙車從B地返回A地的速度為300÷（5.5－2.5）＝300÷3＝10（km/h）.設乙車返回途中，甲、乙兩車相距180

km時，乙車總共行駛的時間為a

h，此時有80a－100（a－2.5）＝180或300－180＝100（a－2.5），解得a＝3.5或a＝3.7.甲車到達A地需要的時間為n＝300÷80＝3.75（h）.∵300－100×（3.75－2.5＝175＜180），∴a＝3.7不符合題意.故乙車返回途中，甲、乙兩車相距180

km時，乙車總共行駛的時間為3.5

h.（3）求乙車返回途中，甲、乙兩車相距180

km時，乙車總共行駛的時間.【點撥】在遇到兩車或兩人相向而行的距離問題時，分相遇前、