第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件（第二課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01課前預(yù)習(xí)相似三角形的判定定理二.兩邊

且夾角

的兩個(gè)三角形相似.注意：運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要區(qū)分邊與角的關(guān)系，角

一定是兩組對應(yīng)邊的夾角，邊一定是對應(yīng)角的兩組邊，類似于

判定三角形全等的“SAS”方法.全等三角形是相似比為1的特殊

相似三角形.成比例

相等

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02課前導(dǎo)入問題1有兩邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似嗎?3355不相似觀察與思考問題2類比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么條件來判定兩個(gè)三角形相似？3355相似

利用刻度尺和量角器畫△ABC

和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的長，它們的比值等于k嗎？再量一量兩個(gè)三角形另外的兩個(gè)角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？

兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似合作探究兩個(gè)三角形相似改變k和∠A的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？我們來證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)

D，使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴∴A′E=AC.

又∵∠A′=

∠A，A′D=AB，∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，∴由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．符號語言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.歸納：對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠B=∠B′，這兩個(gè)三角形一定會(huì)相似嗎？

不會(huì)，如下圖，因?yàn)椴荒茏C明構(gòu)造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′結(jié)論：

如果兩個(gè)三角形兩邊對應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應(yīng)邊的夾角.數(shù)學(xué)九年級上冊BS版03典例講練

BA.△ABM∽△ACB

B.△ANC∽△AMBC.△ANC∽△ACMD.△CMN∽△BCA【解析】∵CM＝CN，∴∠CNM＝∠CMN.

∵∠CNA＝180°－∠

CNM，∠AMB＝180°－∠CMN，∴∠CNA＝∠AMB.

又∵AM∶AN＝BM∶CN，∴△ANC∽△AMB.

故選B.【點(diǎn)撥】利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證明兩個(gè)三角形相似，關(guān)鍵在于找兩個(gè)三角形中相等的角，再去找這對等角的兩組對應(yīng)邊.此題有一個(gè)技巧，根據(jù)題干的比例式，可知對應(yīng)角的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，N.

1.在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上.若AD＝1，BD

＝3，則由下列條件能夠判斷DE∥BC的是（

D

）D

10.5

如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，點(diǎn)D為CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，且滿足AB2＝DB·CE.

（1）求證：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度數(shù).

（2）解：∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE.

∵∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC.

∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°.∴∠D＋∠BAD＝70°.∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°.【點(diǎn)撥】找三角形相似的條件，一般先觀察是否可以得到一組角相等，再尋求另一組角相等或等角的兩邊成比例.利用兩邊成比例且夾角相等判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，要找準(zhǔn)相等的角一定是成比例兩邊的“夾角”，否則結(jié)論不成立.為了方便，常在圖中用相同記號或字母表示相等的邊或角.

2.如圖，在4×4的正方形方格中，已知△ABC和△DEF的頂點(diǎn)

都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上.（1）填空：∠ABC＝

，BC＝

?；

135°

（2）判斷△ABC與△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論.

如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/S；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/S.

若P，Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△QBP與△

ABC相似時(shí)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

s.2或0.8

【點(diǎn)撥】“相似于（∽）”與“誰和誰相似”的區(qū)別：前者的對應(yīng)關(guān)系固定，后者的對應(yīng)關(guān)系不固定.如果已知兩個(gè)三角形相似，當(dāng)邊的對應(yīng)關(guān)系不明確時(shí)，從對應(yīng)關(guān)系入手，相等的角或公共角為對應(yīng)角，則對應(yīng)角的兩邊成比例，再根據(jù)對應(yīng)關(guān)系分情況討論.

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，

AD＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAD與△PBC是相似三角形時(shí)，求出此時(shí)AP的長.解：易得∠PAD＝∠