雙曲線1.2.原則方程3.4．點P處切線PT平分△PF1F25．PT平分△PF1F2在點P處內角，則焦點在直線PT上射影H點軌跡是以實軸為直徑圓，除去實6．以焦點弦PQ為直徑圓必與對應準線相交.7．以焦點半徑PF1為直徑圓必與以實軸為直徑圓外切.8．設P為雙曲線上一點，則△PF1F29．雙曲線（a＞0,b＞0）兩個頂點為,，與y軸平行直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點軌跡方程是.10．若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過雙曲線切線方程是.11．若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2直線方程是.12．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）不平行于對稱軸且過原點弦，M為AB中點，則.13．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被Po所平分中點弦方程是.14．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過Po弦中點軌跡方程是.15．若PQ是雙曲線（b＞a＞0）上對中心張直角弦，則.16．若雙曲線（b＞a＞0）上中心張直角弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定雙曲線：（a＞b＞0），：,則(i)對上任意給定點,它任一直角弦必要通過上一定點M.(ii)對上任一點在上存在唯一點,使得任一直角弦都通過點.18．設為雙曲線（a＞0,b＞0）上一點，P1P2為曲線C動弦,且弦PP1，PP2斜率存在，記為k1，k2，則直線P1P2通過定點充要條件是.19．過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.20．雙曲線（a＞0,b＞o）左右焦點分別為F1，F2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線焦點角形面積為，.21．若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外任一點,F1，F2是焦點，，，則（或）.22．雙曲線（a＞0,b＞o）焦半徑公式：，當在右支上時，,.當在左支上時，,.23．若雙曲線（a＞0,b＞0）左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d1與PF2比例中項.24．P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線左支內一定點，則,當且僅當三點共線且在左支時，等號成立.25．雙曲線（a＞0,b＞0）上存在兩點有關直線：對稱充要條件是.26．過雙曲線焦半徑端點作雙曲線切線，與以長軸為直徑圓相交，則對應交點與對應焦點連線必與切線垂直.27．過雙曲線焦半徑端點作雙曲線切線交對應準線于一點，則該點與焦點連線必與焦半徑互相垂直.28．P是雙曲線（a＞0，b＞0）上一點，則點P對雙曲線兩焦點張直角充要條件是.29．設A,B為雙曲線（a＞0,b＞0，）上兩點，其直線AB與雙曲線相交于,則.30．在雙曲線中，定長為2m（）弦中點軌跡方程為31．設S為雙曲線（a＞0,b＞0）通徑，定長線段L兩端點A,B在雙曲線右支上移動，記|AB|=，是AB中點，則當時，有,);當時，有.32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點充要條件是.33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點充要條件是.34．設雙曲線（a＞0,b＞0）兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記，,，則有.35．通過雙曲線（a＞0,b＞0）實軸兩端點A1和A2切線，與雙曲線上任一點切線相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最小值為;（3）最小值是.37．MN是通過雙曲線（a＞0,b＞0）過焦點任一弦(交于兩支)，若AB是通過雙曲線中心O且平行于MN弦，則.38．MN是通過雙曲線（a＞b＞0）焦點任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O半弦，則.39．設雙曲線（a＞0,b＞0）,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外任一點，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1,A2為兩頂點)交點N在直線：上.40．設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一種頂點，連結AP和AQ分別交對應于焦點F雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.41．過雙曲線一種焦點F直線與雙曲線交于兩點P、Q，A1、A2為雙曲線實軸上頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.42．設雙曲線方程,則斜率為k(k≠0)平行弦中點必在直線：共軛直線上,并且.43．設A、B、C、D為雙曲線（a＞0,b＞o）上四點,AB、CD所在直線傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,點P為其上一點F1，F2為雙曲線焦點，內（外）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當P跑遍整個雙曲線時，R、S形成軌跡方程是().45．設△ABC三頂點分別在雙曲線上，且AB為直徑，為AB共軛直徑所在直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點，則CD與雙曲線相切充要條件是D為EF中點.46．過雙曲線（a＞0,b＞0）右焦點F作直線交該雙曲線右支于M,N兩點，弦MN垂直平分線交x軸于P，則.47．設A（x1,y1）是雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點，過A作一條斜率為直線L，又設d是原點到直線L距離，分別是A到雙曲線兩焦點距離，則.48．已知雙曲線（a＞0,b＞0）和（），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則│AB│=|CD│.49．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上兩點，線段AB垂直平分線與x軸相交于點，則或.50．設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).51．設過雙曲線實軸上一點B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸左頂點，連結AP和AQ分別交對應于過B點直線MN：于M，N兩點,則.52．L是通過雙曲線（a＞0,b＞0）焦點F且與實軸垂直直線，A、B是雙曲線兩個頂點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.53．L是通過雙曲線（a＞0,b＞0）實軸頂點A且與x軸垂直直線，E、F是雙曲線準線與x軸交點,點，e是離心率，，H是L與X軸交點c是半焦距，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.54．L是雙曲線（a＞0,b＞0）焦點F1且與x軸垂直直線，E、F是雙曲線準線與x軸交點，H是L與x軸交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當且僅當時取等號）.55．已知雙曲線（a＞0,b＞0），直線L通過其右焦點F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線左焦點F1連結起來，則（當且僅當AB⊥x軸時取等號）.56．設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）長軸兩端點，P是雙曲線上一點，，,，c、e分別是雙曲線半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實軸上分別位于雙曲線一支內（含焦點區域）、外部兩點，且、橫坐標，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則；（2）若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則.58．設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實軸上分別位于雙曲線一支內（含焦點區域），外部兩點，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，（若BP交雙曲線這一支于兩點，則P、Q不有關x軸對稱），且，則點A、B橫坐標、滿足；（2）若過B點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，且,則點A、B橫坐標滿足.59．設是雙曲線實軸兩個端點，是與垂直弦，則直線與交點P軌跡是雙曲線.60．過雙曲線（a＞0,b＞0）右焦點作互相垂直兩條弦AB、CD,則；61．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩焦點距離之比等于（c為半焦距）動點M軌跡是姊妹圓.62．到雙曲線（a＞0,b＞0）實軸兩端點距離之比等于（c為半焦距）動點M軌跡是姊妹圓.63．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩準線和x軸交點距離之比為（c為半焦距）動點軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是雙曲線（a＞0,b＞0）上一種動點，是它實軸兩個端點,且,，則Q點軌跡方程是.65．雙曲線一條直徑(過中心弦)長，為通過一種焦點且與此直徑平行弦長和實軸之長比例中項.66．設雙曲線（a＞0,b＞0）實軸端點為,是雙曲線上點過P作斜率為直線，過度別作垂直于實軸直線交于,則（1）.（2）四邊形面積趨近于.67．已知雙曲線（a＞0,b＞0）右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC通過線段EF中點.68．OA、OB是雙曲線（a＞0,b＞0,且）兩條互相垂直弦，O為坐標原點，則（1）直線AB必通過一種定點.(2)以OA、OB為直徑兩圓另一種交點Q軌跡方程是（除原點）。69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一種定點，PA、PB是互相垂直弦，則（1）直線AB必通過一種定點.（2）以PA、PB為直徑兩圓另一種交點Q軌跡方程是(除P點).70．假如一種雙曲線虛半軸長為b，焦點F1、F2到直線距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

異側直線L和雙曲線相切,或是雙曲線漸近線.（2），且F1、F2在L異側直線

和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L同側直線L和雙曲線相交.71．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）實軸，是雙曲線上動點，過切線與過A、B切線交于、兩點，則梯形ABDC對角線交點M軌跡方程是.72．設點為雙曲線（a＞0,b＞0）內部(（含焦點區域）)一定點，AB是雙曲線過定點任一弦.(1)如,則當弦AB垂直于雙曲線實軸所在直線時.(2)如,則當弦AB平行（或重疊）于雙曲線實軸所在直線時，.73．雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑圓必與以雙曲線實軸為直徑圓相外切.74．雙曲線焦三角形內切圓必切長軸于非焦頂點同側實軸端點.75．雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內切圓切線長為定值a+c與c-a.76．雙曲線焦三角形非焦頂點到其旁切圓切線長為定值c-a.77．雙曲線焦三角形中,外點到一焦點距離與以該焦點為端點焦半徑之比為常數e(離心率).注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.78．雙曲線焦三角形中,其焦點所對旁心將外點與非焦頂點連線段提成定比e.79．雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心比例中項.80．雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內點距離、內點到同側焦點距離、半焦距及外點到同側焦點距離成比例.81．雙曲線焦三角形中,半焦距、外點與雙曲線中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線段成比例.82．雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足距離為雙曲線實半軸長.84．雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑圓和雙曲線實軸為直徑圓切點.85．雙曲線焦三角形中,非焦頂點內角平分線與焦半徑、實軸所在直線夾角余弦比為定值e.86．雙曲線焦三角形中,非焦頂點法線即為該頂角外角平分線.87．雙曲線焦三角形中,非焦頂點切線即為該頂角內角平分線.88．雙曲線焦三角形中,過非焦頂點切線與雙曲線實軸兩端點處切線相交,則以兩交點為直徑圓必過兩焦點.89.已知雙曲線上有一點，過度別引其漸近線平行線，分別交軸于，交軸于，為原點，則：（1）；（2）.90.過平面上點作直線及平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則軌跡方程是.(2)若，則軌跡方程是.91.點為雙曲線在第一象限弧上任意一點，過引軸、軸平行線，交軸、軸于，交直線于，記與面積為，則：.92.點為第一象限內一點，過引軸、軸平行線，交軸、軸于，交直線于，記與面積為，已知，則軌跡方程是或雙曲線性質92條證明1.雙曲線第一定義。2.由定義即可得雙曲線原則方程。3.雙曲線第二定義。4.設在第一象限，切線PT（即）斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為，與PT夾角為α，與PT夾角為β。由兩直線夾角公式得：同理可證其他狀況。故切線PT平分點P處內角。5.不妨設P在第一象限。作F2有關切線PT對稱點M，由4可知M在PF1上，則，垂足H為F2M中點，則OH=，同理可證其他狀況。射影H軌跡是以實軸為直徑圓除去兩端點。6.設P，Q兩點到與焦點對應準線距離分別為，以PQ中點到準線距離為，以PQ為直徑圓半徑為r，則，故以PQ為直徑圓與對應準線相交。7.如圖，兩圓圓心距為，故兩圓外切。7圖8圖8.如圖，由切線長定理：，而，與重疊，故內切圓與x軸切于右頂點，同理可證P在其她位置狀況。9.設，則則∴P點軌跡方程為10.在雙曲線上，對求導得：切線方程為即11.設，由10得：，由于點在直線上，且同步滿足方程，因此12.作差得：13.由12可得：14..由12可得：15.設，則16.將直線AB代入雙曲線方程中得：，設則，17.設雙曲線內直角弦AB方程為：即。當斜率k存在時，代入雙曲線C1方程中得：設得，則即直線AB過定點，此點在C2上。當直線斜率不存在時，直線AB也過C2上定點。由上可知C1和C2上點由此建立起一種一一對應關系，即證。18.必要性：設P1P2：。k存在時，代入雙曲線方程中得：設得，k不存在時，P1P2：x=mx0則，必要性得證。充足性：設P1P2過定點，則P1P2：。代入雙曲線方程得：設得，則驗證k不存在狀況，也得到此結論。故過定點，充足性得證。19.設AB：即20.由余弦定理：21.由正弦定理得P在右支時，同理當P在左支時，22.由第二定義得：M在右支時，M在左支時，。23.易知P在左支上，24.易知當P在左支時有最小值，此時：。當且僅當三點共線且在左支時，等號成立.。25.易知當k=0時，只有x軸符合規定，但此時不存在。故。當時，設A，B兩點有關直線y=kx+m對稱，直線AB方程為，易知即。聯立AB與雙曲線方程得：得即①AB中點在y=kx+m上，得②②代入①得，解②得③當m=0時由①②得p=0，。當m>0時解得或，代入③得或；當m<0時解得或，代入③得或。由此可見兩種狀況結論相似。當時，，。故對任意m，結論可統一體現為當，即當時，26.由5即可得證。27.設P，則切線，A27圖28.29.設。聯立得：，由韋達定理：同理。則APBQ=而符號一定相反，故==0。因此AP=BQ30.①當A，B同支時，設，為AB中點。則而設，則解得，代入m2得：令得：因此定長為2m（）弦中點軌跡方程為。其中，時。②當A，B異支時，設，為AB中點。則而設，則解得，代入m2得：令得：因此定長為2m（）弦中點軌跡方程為。其中，時。綜上所述，定長為2m（）弦中點軌跡方程為：31.設，為AB中點。則：二次函數y=e2x2-mx+a2與在內交點即為x0值。易知y=e2x2-mx+a2與右交點為x0值。當m增大時，x0增大。要使x0最小，則要使m最小。，此時等號成立時當此式成立時當時：當時：當時，，。當時，當，即AB垂直于x軸時x0最小。32.由33，當時，33.34.由正弦定理得，因此。35.設，則P點處切線為，由此可得：36.（1）同15。（2）由15,36（3）：（3）設，37.設，分別代入雙曲線方程得：，由參數t幾何意義可知：38.由雙曲線極坐標方程得：，設OP：代入雙曲線方程得：，∴39.設，將方程代入雙曲線得：由韋達定理得：，直線A1P方程為，直線A2Q方程為，聯立A1P和A2Q得交點N橫坐標，代入化簡：因此交點一定在直線上。引理（張角定理）：A,C,B三點按次序排列在一條直線上。直線外一點P對AC張角為α，對CB張角為β。則：40圖41圖40.如圖，A為左頂點時，設，則。對F-AMP由張角定理：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF當A為右頂點時，由39可知左頂點A’與P、M；與Q、N分別共線，于是回到上一種狀況。41.如圖，設，則對F-QA2M和F-A1MP由張角定理：兩式相加并化簡得：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF42.由12即可證得。43.設，AB：，CD：，將AB方程代入雙曲線得：由參數t幾何意義可知：，同理易知P與A，B和C，D位置關系一定相似44.對于內角平分線狀況由5即可證得，下僅證為外角平分線狀況。設P，則則，。分別聯立、和、得：，則，對點：，代回式得：同理對點得。故點、點軌跡方程為45.由伸縮變換將雙曲線變為等軸雙曲線，再由旋轉變換變為坐標軸為漸近線雙曲線本來共軛直徑變為兩條有關y軸對稱直線。只需證明此狀況即可證明原命題。設，則，，則直線AC：同理BC：。C點處切線。分別聯立EF與AC，EF與AB，EF與C點處切線得：。由E，D，F三點共線可知，D為EF中點。46.設，由雙曲線極坐標方程：，47.由10可知為切線由22:48.同29。49.50.同20。51.設，代入雙曲線方程得：由韋達定理得：由A、P、M三點共線得，同理52,53,54為同一類題（最佳觀畫位置問題），現給出公式：若有兩定點A，B，點P在直線x=m上（m>k），則當時，∠APB最大，其正弦值為。52.k=a,m=c∴sinα≤,當且僅當PF=b時取等號。53.k=,m=a∴sinα≤,當且僅當PA=時取等號。54.k=,m=c∴sinα≤,當且僅當PF1=時取等號。55.設∠AF2x=，則當且僅當=90°時等號成立。56.（1）設，代入雙曲線方程得：∵AP=≠0∴AP=（2）設則（3）由（2）：57.由58可證。58.（1）易知PQ斜率為0和斜率不存在時，對任意x軸上點A都成立。設，A（m，0）代入雙曲線方程得：，則若，則（2）作P有關x軸對稱點，由（1）即證。59.同9。60.設，代入雙曲線方程得：，同理對傾斜角。當a=b時，，，此時或。當時，設，則有關在上增至正無窮，在上單調減，在和之間先減后增，此時兩者異號。當和時，當為0或1時，有最小值。當介于和之間時：等號成立時即。而故當時，，最小值為。61,62,63為同一類問題，現給出公式：若點P到兩定點A，B距離之比，則P點軌跡為一種圓，圓心坐標為，圓半徑為。下三個題比值均為，代入上述公式得：圓心坐標為，圓半徑為。61.m=c，圓心坐標為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64.設，由得消去參數得Q點軌跡方程：65.同37。66.（1）同35。（2）由基本不等式（漸近線時取等號），則梯形面積趨近于一種最小值。67.設AC交x軸于M，AD⊥于D。由雙曲線第二定義：∴AC過EF中點。68.（1）由17可知當雙曲線方程為時，AB過定點。當雙曲線方程變為時，雙曲線向右平移了個單位，定點也應向