備考2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破訓(xùn)練:

幾何專項——《三角形綜合》(三)

1.在△/8C中，N/C8=90°,分別過點工、8兩點作過點C的直線”的垂線，垂足分

別為點。、E.

(1)如圖1,當(dāng)“C=C8,點/、8在直線m的同側(cè)時，猜想線段?！?。和8P三條

線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論：；

(2)如圖2,當(dāng)為C=C8,點/、8在直線”的異側(cè)時，請問(1)中有關(guān)于線段。公

力。和8F三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請

給出正確的結(jié)論，并說明理由.

(3)當(dāng)/C=16cm,C6=30s/,點/、8在直線m的同側(cè)時，一動點用以每秒267

的速度從4點出發(fā)沿工―C-8路徑向終點6運(yùn)動，同時另一動點N以每秒367的速

度從8點出發(fā)沿B^C^A路徑向終點/運(yùn)動，兩點都要到達(dá)相應(yīng)的終點時才能停止運(yùn)

動.在運(yùn)動過程中，分別過點用和點N作從尸1)于尸，NQLm于Q.設(shè)運(yùn)動時間為

/秒，當(dāng)/為何值時，△MFC與△MQC全等？

2.如圖，已知在RtZX/BC中，//C8=90°,AC=8,6C=16,。是上的一點，

8=3,點尸從8點出發(fā)沿射線6c方向以每秒2個單位的速度向右運(yùn)動.設(shè)點尸的運(yùn)

動時間為t,連接

(1)當(dāng)心3秒時，求力尸的長度；

(2)當(dāng)△工夕尸為等腰三角形時，求廣的值；

⑶過點。作?！?/1產(chǎn)于點E,連接PD,在點尸的運(yùn)動過程中，當(dāng)尸。平分時,

直接寫出/的值.

3.已知等邊△S8C的邊長為4cm,點尺。分別從8,C兩點同時出發(fā)，其中點尸沿8c

向終點C運(yùn)動，速度為1cm';點。沿C4,S8向終點6運(yùn)動，速度為2cm!s,設(shè)它

們運(yùn)動的時間為x(5).

(1)如圖1,若PQNAB,則x的值為(5),

(2)如圖2,若尸G_L/C,求x的值.

(3)如圖3,當(dāng)點。在48上運(yùn)動時，外？與△48C的高X。交于點O,OQ與OP

是否總是相等？請說明理由.

圖1圖3

4.如圖1,AE=AD,AC=AB,Z.EAD=Z_CAB=a.

(1)證明：BD=CE;

(2)如圖2,BD、4C交于點尸，BD、H交于點R若a=90°,求N/尸8的度數(shù).

E

5.已知：在△/I8C中，/_ABC^/.ACB,8。是△Z8C的高.

(1)如圖1,當(dāng)N84C=50°時，求N。8c的度數(shù).

(2)如圖2,當(dāng)NMC>90°時，請你判斷N。8c與NMC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,在(2)的條件下，作6E平分/。加交6于點￡C廠平分NSC8,連

6.如圖，在△ZI8C中，NZC8=90°,AC=6,8c=8,點尸從點片出發(fā)，沿線段“8

以每秒5個單位長度的速度向終點8運(yùn)動.當(dāng)點尸不與點/、8重合時，過點尸作尸。

LAB,交折線SC-C8于點Q,過點P、Q分別平行于BC、BA的直線相交于點R.設(shè)

點尸運(yùn)動的時間為/秒，△尸。舟與△48。重疊部分的面積為5.

(1)直接寫出線段尸@的長.(用含力的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點內(nèi)落在邊/C上時，求/的值.

(3)當(dāng)△PQ#與△/SC重疊部分圖形為三角形時，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)直接寫出4Q或尸C平分△尸Q/?面積時/的值.

B

7.如圖，直角三角形中，N/I8C=9O°,AB=6,8C=8,點。從4點向C點運(yùn)動:

（1）如圖1,若點。的速度為每秒2個單位，。點的運(yùn)動時間為/（秒）：

①求8的長度/與時間t（秒）的關(guān)系式；

②當(dāng)△88為等腰三角形時，求/（秒）的值.

（2）如圖2,當(dāng)點。從“點出發(fā)時，點三也同時從8點出發(fā)向點力運(yùn)動，連接fC、

8。交于點尸，運(yùn)動的過程中，滿足乙ABD=ZECB,當(dāng)點￡到達(dá)/點，E、。就停止運(yùn)

動，延長工尸交5c于G,當(dāng)點G為8c的中點時，求ASS廠的面積.

8.如圖所示，等邊△49C中48=8,8c于。，點尸是“8邊上的一動點（點戶可

以與點力重合，但不與點8重合），E、尸分別8C、邊上的動點.

(1)如圖1,當(dāng)PE1BC,空1/C時，求證：28。=2g8f

(2)在(1)的前提條件下，過尸作FQ_L/8,垂足為Q,PQ=2,求8尸的長.

(3)直接求出力日麗8廠的最小值，作出草圖不必說明理由.

圖1備用圖備用圖備用圖

9.在△/8C中，AC=BC=A,ZACB=90°,三為8c上一個動點，C廠于G,交

于F.

(1)如圖］，當(dāng)平分NCA8時，求8E的長.

(2)如圖2,當(dāng)E為8c中點時.

①求CG的長.

②連接&，求的值.

(3)如圖3,在三運(yùn)動過程中，連接8G,則8G的最小值為.

B

圖3

10.△/48C中，AB=AC,Z.BAC=120°.

(1)如圖1,AE=AD,/￡4。=120°,連接8。，CE,求證：BD=CE;

(2)如圖2,BEIICD,ZEAD=60；^ADC=30°,試探究線段中與線段8c的

數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由;

(3)如圖3,若△/ISC所在平面的一點。滿足學(xué)招，請直接寫出器的值.

UCZAD

圖1圖2圖3

參考答案

1.解：(1)猜想：DE=AD^BE.

證明：-：^ACB^90°,

:./_ACEX/.BCE^90°,而4。_(_/77于。，BELm于E,

AADC=/_CEB=9Q°,N8Cm/C8F=90°,

:./_ACD=ZCBE,

在△SOC和△C?國中，

'/ADC=NCEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

：./\ADC^/\CEB{AAS),

：.AD=CE,DC=BE,

：.DE=DC+CE=BB-AD-,

故答案為：DE=Al>BE.

(2)結(jié)論：DE=AD-BE;

理由：BE]_m,

:.乙ADC=/.CEB=90°,

■：AACB=90°,

:./_AC[>^/.CAD=/_ACt>/_BCE=90°,

ZCAD=ZBCE,

在△48和△C8E中，

，ZADC=ZCEB

<ZCAD=ZBCE,

,AC=CB

：,l\ACgXCBE<AAS),

:.AD=CE,CD^BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE\

(3)①當(dāng)0<k8時，點用在/C上，點M在8C上，如圖,

pco

■：MC=NC,

.-.16-2/=30-3/,

解得：/=14,不合題意；

②當(dāng)8W410時，點例在6c上，點N也在6c上，如圖,

■：MC=NC,

..?點例與點N重合,

.,.2/-16=30-3/,

解得：/=9.2;

③當(dāng)104t＜粵時，點用在8C上，點收在工。上，如圖,

0

?：MC=NC、

.t.2/—16=3/—30,

解得：注14;

④當(dāng)當(dāng)《t423時，點"停在點力處，點例在8c上，如圖,

0cpm

B

MC=NC,

.-.27-16=16,

解得：f=16;

綜上所述：當(dāng)f=9.2或14或16秒時，△用尸。與△NQC全等.

2.解：⑴根據(jù)題意，得BP=2f,

16-2/=16-2x3=10,

在中，AC=8,

22

根據(jù)勾股定理，得“尸=7AC+PC=7s2+io2=2V41.

答：/尸的長為24H.

(2)在RtZ\/6C中，/4C=8,BC=16,

根據(jù)勾股定理，得<8=.AC2+BC2=優(yōu)4+256=

?.?△4?尸為等腰三角形，

若PA=PB,貝IJ/P=2/,

在RtZXXCQ中，根據(jù)勾股定理得，(2/)2=(16-2/)2+82,解得f=5.

若BA=BP,則2/=8V5,解得上4粕；

若58=4尸，則8尸=32,2/=32,解得/=16;

即滿足條件的/的值為火片或16或5.

(3)①點尸在線段6C上時，過點。作DELAP于E,如圖1所示：

則/4力=/尸力=90°,

:.乙PED=LACB=9b,

<PD平分LAPC,

ZEPD=ZCPD,

又；PD=PD,

：,4PDEt\PDC〈AAS),

:.ED=CD=3,PE=PC=20-2/,

:.AD=AC-CD=8-3=5,

/尾7AD2-DE2=752-32=4，

.1./l/?=/IH^=4+16-2/=20-2/,

在Rt△力尸C中，由勾股定理得：82+(16-2/)2=(20-2/)2,

解得：)=5;

②點戶在線段8c的延長線上時，過點。作。比工產(chǎn)于￡如圖2所示：

同①得：△尸D&△尸DC(AAS),

:.ED=CD=3,PE=PC=2t-20,

AD-AC—CD-8—3=5,

■■AE=7AD2-DE2=7S2-32=4-

AP=A曰PE=4+2/-16=2/-12,

在白△/(尸C中，由勾股定理得：82+(2/-16)2=(2/-12)2,

解得：丘11；

綜上所述，在點尸的運(yùn)動過程中，當(dāng)/的值為7或13時，PD平峪人APC.

圖？

圖1

3.解：⑴??-ZC=60°,

.,.當(dāng)PC=CQ時，△QQC為等邊三角形,

于是NQPC=60°=/8,

從而尸Q//46,

???PC=4-x,CQ=2xf

由4一x=2x,

解得：仁年4,

4

?二當(dāng)時,PQHAB\

o

故答案為:李4

o

(2)-：PQA.AC,ZC=60°,

AQPC=30°,

:.CQ=^PC,

即2x=/(4-x),

4

解得：x=差；

(3)OQ=PO,理由如下：

作于，，如圖3,

:./_QAH=30°,BD=^-BC=2,

(2X-4)=X-2,

,:DP=BP-BD=x-2,

：.QH=DP,

在和△<?叨中，

rZQ0H=ZP0D

-ZQHO=PDO,

,QH=PD

:.XQQ3l\QPD〈AAS),

OQ=OP.

4.(1)證明：?.?NE4O=/C/8=ci.

ZEAD^-/_DAC=/CAB+/_DAC,

即NE4c=N0/48,

在△￡4C和△D48中，

，AE=AD

<ZEAC=ZDAB,

AC=AB

:.△EA8XDAB(勿⑼，

:.BD=CE,N018=a=90°,

:./_ACB=A5°,

(2)解：如圖，作44<L8。，/乂1?！暧邳c例，N,

由(1)知18,

:.(ABD=LACE,

在△S8A4和△C4N中，

，ZB=ZC

<ZAMB=ZANC,

AB=AC

：./\ABM^^CAN{AAS),

:.AM=AN,

■：AMLBD,ANLCE,

:.AP*假(MPN、

,:XEACg^DAB、

■-Z.E=/.D,

■：AAQE=ADQP,

:,乙EAQ=/_DPQ=90°、

,\/_MPN=90°,

:.乙APB=/乙MPN=45°.

5.解：(1)-：/_ABC^AACB,/&4c=50°,

18050

...zABC=°-°=65°,

?.?6。是△/I8C的高，

，"80=90°-50°=40°,

6c=65°-40°=25°;

(2)2ADBC=ABAC,理由如下：

/_ABC—/_ACB,

/.Z￡?Z5=2Z/45C=180°-ABAC,

...BD是△/48C的懸?,

DBA=90°—/0/48=90°-7/.ABC,

/.ZDBC=ZDBA+ZABC=90°-2^ABC+^ABC=90°-/_ABC,

...zDBC=90°-180-ZBAC=yZBAC,

即2NDBC=ZBAC-,

(3)設(shè)NO8c=a,則/8ZC=2a,

?；BE平分/DBA,設(shè)乙DBE=LEBA=§,

在△AS。中，￡BAC=LDBA+90。=2^+90°=2a,

則B=a-45°=￡EBA,

在△80C中，ZBCD=90°-ZDBC=90°-a,

：./_FCE=/_FCB=^(90°-a)=45°-ya,

在△&C中，:乙FEB=9Q-三/BEC,則/碼=90°+^/_BEC,

在△/ISE中，ZBAC=ZBEC+/_EBA=/_BEC+a-45°=2a,

貝|J/8H?=45°+a,

貝|JN3=9O°+^￡BEC=90°+/(45°+a)=112.5+ya,

而/尸C5=45。_/a,

則/尸=180°-(2FEC+乙FCE)=180°-(112.5+-1-a+45o--^-a)=22.5°

6.解：(1)過點C作8JL/8于點。，

在RtZ\/l6。中，/45=^AC2+BC2=io,

而/4C=6,BC=8,

1194

.??$c=^x?心紇"民則8=告,

乙乙D

I1o

貝Ij^^=VAC2-CD2=_^-'

故點只。重合時，片冬+5=祟；

0

①當(dāng)0<x\!?時，

\'PQLAB,則叼8,

:AAPQsXACD、則需號，

即1824,貝iJPQ=等20t；

TT3

②當(dāng)祟</<2時，如圖2,

oD

B

圖2

此時，AP=5t,

同理可得：斗竽一號

等（0<t費(fèi)）

oN3

故尸。=<

學(xué)不嘿<t<2）

Z4Z3

(2)當(dāng)點/?落在SC上時，如圖3,

-PQLAB.^ACB=90°,/_PBQ=/_CBA,

:.XBPQSXBCA、則黑嚙，即*1室,解得產(chǎn)々=與一普力

ACDCUON4

■：PQIIAB,

???"Qf=90°,

△CQRsXCBA,

■：PRIIBC,

:.XARPsXABC

■：AP=5t,故PR=4t、

由；PQHAB,

ZPQR=90°,

:ZQRsXCBA、則震噌，

I~ITm—r/acz^12t1515,

同理可得：PQ=—^=—------—t,

524

解得吟;

(3)當(dāng)△尸QQ與△/SC重疊部分圖形為三角形時,

由⑵知，*502滿足條件，故此時Q?=￡4QQ,

413

5-1xQR-PQ=^x^PQxPQ=!(竽譚力？=與,-與得；

(4)當(dāng)/0平分△尸的面積時，如圖4,連接//?,

圖4

根據(jù)三角形等面積可知，此時PM=RM,

故四邊形6Q所為平行四邊形，四邊形4RQ尸為矩形,

115

QM^PM=-=-BQ=-=-X^-X(10-5/),

224

:.AQ=BQ^BP=^-(10-5/)=孕-岑，

4424

9R+Q

則CQ=BC-6Q=罕-*

42

由勾股定理得：（孚-￡）2+62=與-冬）2,解得壯日；

42244

當(dāng)PC平分△2???的面積時，如圖5,

鄴

設(shè)尸。交于點M此時R在8上,

根據(jù)三角形等面積知，QN=RN,

四邊形尸GQD為矩形，四邊形CQPR為平行四邊形,

:.DR=PQ,CE=PQ,

1515I5t

故8=2尸。=2(手一苛力=15—學(xué)

524]<15t24

XCD--,EP15----,

DN3

解得磅;

綜上，心弓9

4

7.解：(1)①?.?N/8C=90°,AB=6,BC=8,

?■?^C=VAB2+BC2=V62+82=10-

由題意得：AD=2t,

的長度/與時間t（秒）的關(guān)系式為￡=10-2/;

②分兩種情況:

①當(dāng)8=8C=8時,

貝IJ10-21=8,

解得：1=1；

②當(dāng)時,

則N。8c=NC,

vZz45C=90°,

=90°,乙DBC+乙ABD=9Q°,

/_A=/_ABD,

AD-BD,

BD—AD=CD—■^-AC=5,

.-.10-2/=5,

5

解得：/=￡■；

5

綜上所述，當(dāng)△88為等腰三角形時，/為1秒或讀秒;

(2)'：AABC=90°,/_ABA/_CBD=90°,(ABD=/_ECB,

:./_ECB+/_CBD=qb,

:.^BFC=180°-90°=90°,

.?.點G為8c的中點，

FG=~BC=BG=CG=4,

工G=7AB2+BG2=7S2+42=2vl§，

AF^AG-FG=2A/13-4,

過8作于〃，如圖2所示：

A/ISG的面積=、GXBH*ABXBG,

,DUABXBG6X412壓

AG271313

,△4?尸的面積=，■/(尸x8〃=/x(2VI3-4)n&--2W13

x13]213

8.解：（1）???△/SC是等邊三角形，ADA.BC,

:.BC=2BD,ZC=60°,

■：EFLAC,

，N&C=90°,

；.￡FEC=30°,

EC=2FC,

■：BC=BE^EC,

；.2BD=2CRBE;

(2)①當(dāng)點Q在點尸的上方時，如圖1,

過尸作尸CL/I8于Q,設(shè)尸8=x,

圖1

■：PELBC,N8=60°,

CT=8-裊

■：EFVAC,NC=60°,

CF=CE—4—y%,

24

/.AF=8—CF=4+±x,

4

■：ABAC=60°,[QIAS,

:.AQ=^AF=2+^x,

.1.^2+2+~x=4,

,16

--x=~2~,

「.叫號；

②當(dāng)點G在點尸的下方時，如圖2,

過以乍G2/8于G,

：.±PMEF=AD,即，PB-2EF=2AB,

:.BP+AQ-PQ=AB,即x+2+Jx-2=8,

o

解得X=詈64,

.I*］；

g,0032T64

綜上，-或丁;

yy

(3)作點4關(guān)于灰?的對稱點。交8c于點作點8關(guān)于ZC的對稱點G,連接DG

交8c于點￡交/C于點尸，則點￡尸為所求點，

圖3

理由：A&ENBF=DNEAGF=GD為最小，

根據(jù)圖形的對稱性，為底角為30°的等腰三角形，

過點C作CHLAB交BG、DA于點。，交OG于點K,根據(jù)圖形的對稱性，HKLDG,

同理，△OOG為頂角為120°的等腰三角形，則N0=NG=3O°,

在RtZ\8O/W中，ZOBM=30°,BM=^BC=4,

設(shè)OM=x,貝ijOB-2x,

由勾股定理得：8。=。/+用序，即（2x）2=父+42,解得x=2詈=0偽,

O

同理可得，Z"=4愿,

貝ijOD=OM+MD=OM+AM=,

3

則Rt/XOK。中，OD=,/。=30°,

3

由勾股定理同理可得：DK=8,

在等腰三角形OG。中，HKLGD,則。K=/z;G=8,

故。G=16.

即工日歷8廠的最小值為16.

9.解：（1）?.ME平分NC48,

.,.點E到ZC,48的距離相等,

,S^ACE二AC二CE

S/kABE福BE

■：AC=BC=4,N/C8=90°,

:.AB-\[2.AC-4^/2,

,AC_CE_V2

"AB"BE

BE=2

"BC=2-K/2'

-'-BE=2^/2x4=4&-如)=8V2,

即BE=8-4近;

(2)①.?,點E是8c的中點，

CE=BE—~^BC=2,

?l-AE=7AC2-K；E2=2辰,

■：CFLAE,

SRACE=^AE?CG^AC?CE,

AC-CE4X2475

AE2V55

②過點8作BMLBC交C尸延長線于點例,

ACBM=90°,

:.^CBM=AACE=90°,

???N/CO/8CM=90°,LACG^/_CAE=90°,

??.NBCM=ZCAE,

在△C8/W和△SCE中，

2CBM=NACE

<AC=CB,

ZBCM=ZCAE

:.ACBM^AACE{ASA),

AE=CM—2^/5>CE=BM、

?/CE=BE,

BM=BE,

???NC48=NC8Z=45°,

ZEBF=ZMBF=45°,