期末素養(yǎng)綜合測(cè)試卷(二)(時(shí)間：120分鐘

滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,滿分40分,每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的)1.(2024安徽滁州定遠(yuǎn)期末,1,★☆☆)拋物線y=x2的對(duì)稱軸是(

)A.直線x=-1

B.直線x=1

C.x軸

D.y軸對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121002D解析

D由拋物線y=x2可知,對(duì)稱軸為y軸.故選D.2.(2024安徽合肥長(zhǎng)豐期末,5,★☆☆)如果x∶y=1∶2,那么下列各式不一定成立

的是

(

)A.

=

B.

=-

C.

=1

D.

=

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122001解析

D∵x∶y=1∶2,∴設(shè)x=k,y=2k,則

=

=

,

=

=-

,

=

=1,

=

,不一定等于

,故選D.D3.(2024安徽亳州利辛期末,4,★☆☆)關(guān)于二次函數(shù)y=(x+1)2-3,下列說法錯(cuò)誤的

是

(

)A.圖象開口向上B.函數(shù)的最小值為-3C.圖象可由拋物線y=x2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121002C解析

C∵二次函數(shù)y=(x+1)2-3,a=1>0,∴函數(shù)的圖象開口向上,當(dāng)x=-1時(shí),y取得

最小值,為-3,當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小,故選項(xiàng)A、B、D說法正確.圖象可由拋

物線y=x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到,選項(xiàng)C說法不正

確,故選C.4.(2024安徽安慶潛山月考,2,★☆☆)已知

<cosα<sin80°,則銳角α的取值范圍是

(

)A.30°<α<80°

B.10°<α<80°

C.60°<α<80°

D.10°<α<60°對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9123003D解析

D∵cos60°=

,sin80°=cos10°,且

<cosα<sin80°,∴cos60°<cosα<cos10°,∴10°<α<60°,故選D.5.(★☆☆)我們可用“斜尺”測(cè)量管道的內(nèi)徑(如圖),“斜尺”的分度值為1mm,若玻璃管的內(nèi)徑DE正對(duì)刻度線“30”,AB正對(duì)刻度線“50”,已知AB的長(zhǎng)度為5mm,DE∥AB,則玻璃管內(nèi)徑DE的長(zhǎng)度等于

(

)

A.2.5mm

B.3mm

C.3.5mm

D.4mm對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122005B解析

B根據(jù)題意得CD=30mm,AC=50mm,∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,

∴

=

,即

=

,∴DE=3mm.故選B.6.(2024安徽池州青陽期末,10,★☆☆)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D在AC上,

∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=

,則BD的長(zhǎng)度為

(

)

A.

B.

C.

D.4對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9123004C解析

C∵∠C=90°,AC=4,cosA=

,∴AB=

=5,∴BC=

=3,∵∠DBC=∠A,∴cos∠DBC=cosA=

=

,∴BD=3×

=

,故選C.7.(2024安徽宿州埇橋期末,9,★★☆)如圖,已知A(-4,2)、B(n,-4)兩點(diǎn)是一次函數(shù)

y=kx+b和反比例函數(shù)y=

圖象的兩個(gè)交點(diǎn),則△AOB的面積為

(

)

A.4

B.6

C.8

D.10B解析

B將A(-4,2)代入y=

,得m=-8,∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-

,將B(n,-4)代入y=-

,得n=2,即B(2,-4).將點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+b,得

解得

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x-2.令y=0,則-x-2=0,解得x=-2,即OC=2,則S△AOB=S△AOC+S△BOC=

×2×2+

×2×4=6.故選B.8.(★★☆)周末,劉老師讀了《行路難》中“閑來垂釣碧溪上,忽

復(fù)乘舟夢(mèng)日邊”這句詩后,約了好友一起去江邊垂釣.如圖,釣魚竿AC的長(zhǎng)為4m,

露在水面上的漁線BC的長(zhǎng)為2

m,劉老師想看看魚鉤上的情況,于是把釣魚竿AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)15°到AC'的位置(漁線始終垂直于水面),此時(shí)露在水面上的

漁線B'C'的長(zhǎng)度是

A.3m

B.2

m

C.2

m

D.3

m跨學(xué)科語文對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9123005(

)C解析

C在Rt△ABC中,AC=4m,BC=2

m,∴sin∠CAB=

=

=

,∴∠CAB=45°,∵∠CAC'=15°,∴∠C'AB=∠C'AC+∠CAB=60°,在Rt△C'AB'中,AC'=4m,∴C'B'=AC'·sin60°=4×

=2

(m),∴露出水面的漁線B'C'的長(zhǎng)度是2

m,故選C.9.(2024安徽合肥部分學(xué)校月考,10,★★☆)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部

分圖象如圖所示,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

,且經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)

A.3a+b>0B.若點(diǎn)

,

是拋物線上的兩點(diǎn),則y1>y2C.10a+c>0D.若y≤c,則0≤x≤3對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121002A解析

A∵-

=

,∴b=-3a,∴3a+b=0,故A結(jié)論錯(cuò)誤;∵拋物線開口向上,∴在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大,∵點(diǎn)

關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

,

>

,∴y1>y2,故B結(jié)論正確;∵圖象過(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=-4a,∴10a+c=6a>0,故C結(jié)論正確;∵點(diǎn)(0,c)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,c),∴當(dāng)y≤c時(shí),0≤x

≤3,故D結(jié)論正確.故選A.10.(2024安徽亳州部分學(xué)校期末,10,★★☆)如圖,在△ABC中,D、E是BC邊的三

等分點(diǎn),BF是AC邊上的中線,AD、AE分別與BF交于點(diǎn)G、H,若S△ABC=1,則△AGH

的面積為

(

)

A.

B.

C.

D.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122006C解析

C如圖,過F作PF∥BC,交AE于P,過H作HQ∥BC,交AD于Q,∴

=

.∵BF是AC邊上的中線,∴AF=FC,∴AP=PE,∴CE=2PF.∵D、E是BC邊的三等分

點(diǎn),∴BD=DE=EC,∴BE=4FP.∵FP∥BE,∴△PFH∽△EBH,∴

=

=

=

,∴

=

=

.∵HQ∥BE,∴△AQH∽△ADE,△HGQ∽△BGD,∴

=

=

,∴

=

=

,∴FH∶HG∶GB=2∶3∶5.∵AF=FC,∴S△ABF=

S△ABC=

,∴S△AGH=

S△ABF=

×

=

.故選C.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分)11.(2024安徽滁州第二中學(xué)月考,13,★☆☆)若反比例函數(shù)y=(m+1)

圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限,則m的值為

.答案-3解析∵反比例函數(shù)y=(m+1)

圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限,∴

∴m=-3.-312.(新獨(dú)家原創(chuàng),★☆☆)“中國航天日”是為紀(jì)念中

國航天事業(yè)成就,發(fā)揮中國航天精神而設(shè)立的一個(gè)紀(jì)念日.某校為增強(qiáng)學(xué)生的愛

國主義情懷,普及航天知識(shí),弘揚(yáng)航天精神,開展了以“弘揚(yáng)航天精神,擁抱星辰

大海”為主題的知識(shí)競(jìng)賽,參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽,共要比賽y

場(chǎng),設(shè)有x個(gè)隊(duì)伍參加此次比賽,則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為

.

情境題愛國主義教育對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121001y=

x2-x答案

y=

x2-

x解析每個(gè)隊(duì)伍都要與其他(x-1)個(gè)隊(duì)伍各賽1場(chǎng),則比賽場(chǎng)數(shù)為

,∴y=

=

x2-

x.13.[一題多解](2024安徽六安期末,12,★★☆)如圖,在網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊

長(zhǎng)均為1,AB與CD相交于點(diǎn)P,則tan∠CPB的值為

.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M91230011答案

1解析解法一:如圖1,取網(wǎng)格中的點(diǎn)E,連接DE,CE,易得AB∥CE,∴∠BPC=

∠ECD,在△DCE中,CD2=22+12=5,CE2=12+32=10,DE2=12+22=5,∴CD2+DE2=CE2,CD=

DE=

,∴△DCE是直角三角形,且∠CDE=90°,∴tan∠CPB=tan∠ECD=

=1.解法二:如圖2,取網(wǎng)格中的點(diǎn)E,連接AE,BE,易得AE∥CD,∴∠EAB=∠CPB.

在△ABE中,AE2=22+12=5,AB2=12+32=10,BE2=12+22=5,∴AE2+BE2=AB2,且AE=BE=

,∴△ABE是直角三角形,且∠AEB=90°,∴tan∠CPB=tan∠EAB=

=1.方法歸納

求網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)值構(gòu)造法是求網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形中的銳角三角函數(shù)值的常用方法.通過延

長(zhǎng)線段或作格點(diǎn)三角形的高或作平行線,構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理和

銳角三角函數(shù)的概念求解.14.(2024安徽合肥蜀山期末,14,★★★)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=

8,O,D分別為AB,BC的中點(diǎn),E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn),△DEF為直角三角形,點(diǎn)F在DE的

上方,且∠EFD=90°,∠EDF=60°.

(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,則DF的長(zhǎng)是

;(2)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中OF的最小值為

.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M91220052答案

(1)

(2)2

解析

(1)∵∠C=90°,AC=4,AB=8,∴BC=

=

=4

.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴CD=BD=

BC=2

.如圖1,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,則ED=CD=2

,∵∠EFD=90°,∠EDF=60°,∴∠DEF=30°,∴DF=

ED=

.

(2)如圖2,連接CF,設(shè)EF交BC于點(diǎn)I,過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H.∵sinB=

=

=

,∴∠B=30°.∵∠ECI=∠DFI=90°,∠EIC=∠DIF,∴△ECI∽△DFI,∴

=

,∴

=

.∵∠CIF=∠EID,∴△CIF∽△EID,∴∠BCF=∠DEF=30°=∠B,∴CF∥AB,∴點(diǎn)F在經(jīng)過點(diǎn)C且與AB平行的直線CF上運(yùn)動(dòng),∴當(dāng)OF⊥CF時(shí),OF的值最

小.∵∠HCF=∠AHC=90°,∴∠OFC=∠HCF=∠OHC=90°,∴四邊形OFCH是矩

形,∴OF=CH=

BC=2

,∴OF的最小值為2

.三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)15.[教材變式·P136T3](2024安徽六安舒城期末,15,★☆☆)計(jì)算:

+|1-cos60°|-2tan45°·sin60°.

解析原式=

+

-2×1×

(4分)=

-1+

-

(6分)=-

.

(8分)對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M912300216.(2024安徽合肥長(zhǎng)豐期末,17,★☆☆)如圖所示的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方

形,△ABC與△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,它們的頂點(diǎn)都在小正方形

的頂點(diǎn)上.

(1)畫出位似中心點(diǎn)O;(2)求△ABC與△A'B'C'的相似比;(3)以點(diǎn)P為位似中心,在所給的網(wǎng)格圖中再畫一個(gè)△A1B1C1,使它與△ABC的相似

比等于2.對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122005解析

(1)分別連接A'A、B'B、C'C并延長(zhǎng),它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)O,如圖1所示.

(3分)

(2)∵

=

,∴△ABC與△A'B'C'的相似比為1∶2.

(5分)(3)連接AP并延長(zhǎng)到A1,使A1P=2PA,連接BP并延長(zhǎng)到B1,使B1P=2PB,連接CP并延

長(zhǎng)到C1,使C1P=2PC,此時(shí)△A1B1C1即為所求,如圖2所示.

(8分)四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)17.(★☆☆)延安寶塔是延安革命遺址的組成部分,也是延

安市的標(biāo)志性建筑,是中國革命圣地的標(biāo)志和象征.某數(shù)學(xué)興趣小組在確保無安

全隱患的情況下,開展了測(cè)量延安寶塔的高度的實(shí)踐活動(dòng),具體過程如下:如圖,

CN是坡比i=3∶4的斜坡,CN的長(zhǎng)為15米,BC=32米,MN是測(cè)角儀,高為2米,從點(diǎn)M

測(cè)得該塔頂部A處的仰角為37°,已知MN⊥BC,AB⊥BC,求該塔AB的高度.

結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):tan37°≈

情境題革命文化對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9123005解析如圖,過點(diǎn)M作ME⊥AB于E,延長(zhǎng)MN交直線BC于H,則BE=HM,EM=BH.由

坡比i=3∶4,可設(shè)NH=3k米,CH=4k米,由勾股定理知(3k)2+(4k)2=152,解得k=3(負(fù)值已舍).

(3分)∴NH=9米,CH=12米.∴BE=MH=MN+NH=2+9=11(米),EM=BH=BC+CH=32+12=44(米).

(5分)在Rt△AEM中,∵∠AME=37°,∴AE=EM·tan37°≈44×

=33(米).

(7分)∴AB=AE+BE=33+11=44(米).答:該塔AB的高度約為44米.

(8分)18.(2024安徽亳州蒙城鯤鵬中學(xué)期末,19,★☆☆)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖

象經(jīng)過點(diǎn)(-2,-9)和點(diǎn)(1,6).

(1)求b,c的值;(2)求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),并指出x滿足什么條件時(shí),y隨x的增大而減小.解析

(1)將(-2,-9)和(1,6)代入表達(dá)式,得

解得

(4分)(2)∵b=4,c=3,∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+4x+3,化為頂點(diǎn)式為y=-(x-2)2+7,∴該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,7),

(6分)∵-1<0,∴當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而減小.

(8分)對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121002五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分)19.(★☆☆)如圖,在△ABC中,D、E分別在邊BC、AC上,AD、BE交于F,AF=AE

且AF·BE=BF·CE.

(1)求證:△ABD∽△CBA;(2)求證:AF的長(zhǎng)為DF的長(zhǎng)與CE的長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122005證明:(1)∵AF·BE=BF·CE,∴

=

,

(1分)∵AF=AE,∴∠AFE=∠AEF,∴∠AFB=∠CEB,∴△FAB∽△ECB,

(2分)∴∠BAF=∠C.

(3分)又∵∠ABC=∠ABD,∴△ABD∽△CBA.

(4分)(2)∵△FAB∽△ECB,∴∠ABF=∠EBC,

(5分)∵△ABD∽△CBA,∴∠BDF=∠BAE.∴△BDF∽△BAE,

(6分)∴

=

.

(7分)∵

=

,∴

=

.

(8分)又∵AF=AE,∴

=

,

(9分)∴AF2=DF·CE,∴AF的長(zhǎng)為DF的長(zhǎng)與CE的長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

(10分)20.(2024安徽安慶潛山期末,20,★☆☆)一段長(zhǎng)為25m的墻MN前有一塊矩形空

地ABCD,用90m長(zhǎng)的籬笆圍成如圖所示的圖形(靠墻的一邊不用籬笆,籬笆的厚

度忽略不計(jì)),其中四邊形AEFH和四邊形CDHG是矩形,四邊形EBGF是邊長(zhǎng)為5m的正方形,設(shè)CD=xm.

(1)若矩形CDHG的面積為125m2,求CD的長(zhǎng).(2)當(dāng)CD長(zhǎng)為多少米時(shí),矩形ABCD的面積最大?最大面積是多少?

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121004解析

(1)由題意,得GC=(80-3x)m.

(2分)∴x(80-3x)=125,∴x=25或x=

.

(4分)∵80-3x+5≤25,∴x≥20,∴CD=25m.

(5分)(2)設(shè)矩形ABCD的面積為Sm2,則S=x(80-3x+5)=-3x2+85x=-3

+

,

(7分)∵-3<0,x≥20,∴當(dāng)x=20時(shí),S取得最大值,為-3×

+

=500.

(9分)答:當(dāng)CD長(zhǎng)為20m時(shí),矩形ABCD的面積最大,最大面積是500m2.

(10分)六、(本題滿分12分)21.(2024安徽合肥廬江期末,21,★★☆)如圖①,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B

(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線l,

交直線BC于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)C作CF⊥l,垂足為F,則當(dāng)點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),以P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似?求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121002解析

(1)將A(-1,0),B(4,0)代入y=-x2+bx+c,得

解得

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+3x+4.

(4分)(2)在y=-x2+3x+4中,令x=0,得y=4,∴C(0,4),

(5分)∵B(4,0),∴OB=OC.

(6分)∵∠BOC=∠PFC=90°,∴當(dāng)FC=PF時(shí),以P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似.

(8分)設(shè)P(a,-a2+3a+4),a>0,則FC=a,∵C(0,4),∴F(a,4),

(10分)∴PF=|-a2+3a+4-4|=|-a2+3a|,∴a=|-a2+3a|,解得a=2或a=4或a=0(舍去),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6)或(4,0).

(12分)七、(本題滿分12分)22.(★★☆)定義:從三角形(不是等腰三角形)的一個(gè)頂點(diǎn)

引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三

角形,如果其中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們就把這條線段叫

做這個(gè)三角形的“華麗分割線”.例如:如圖①,AD把△ABC分成△ABD和△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△

ADC∽△BAC,則AD就是△ABC的“華麗分割線”.(1)【定義感知】如圖①,在△ABC中,∠B=40°,∠BAC=110°,AB=BD.求證:AD是

△ABC的“華麗分割線”.(2)【問題解決】(i)在△ABC中,∠B=46°,AD是△ABC的“華麗分割線”,且△ABD是等腰三角形,

則∠C的度數(shù)為

.新考向新定義試題(ii)如圖②,在△ABC中,AB=2,AC=

,AD是△ABC的“華麗分割線”,且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形,求“華麗分割線”AD的長(zhǎng).

解析

(1)∵AB=BD,∴△ABD是等腰三角形.

(1分)∵∠B=40°,∴∠BDA=

=70°.

(2分)∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC.又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC.

(3分)∴AD是△ABC的“華麗分割線”.

(4分)(2)(i)21°或42°.

(8分)詳解:當(dāng)AB=BD時(shí),∠ADB=67°,∴∠ADC=180°-∠ADB=113°.∵△ADC∽△BAC,

∴∠BAC=∠ADC=113°.在△ABC中,由內(nèi)角和定理得∠C=21°.當(dāng)AD=BD時(shí),

∠ADC=92°.∵△ADC∽△BAC,∴∠BAC=∠ADC=92°.在△ABC中,由內(nèi)角和定理

得∠C=42°.綜上所述,∠C的度數(shù)為21°或42°.(ii)∵△ADC∽△BAC,∴

=

,即

=

,

(9分)解得CD=1.

(10分)∴

=

,∴AD=

.

(12分)八、(本題滿分14分)23.(★★☆)【教材呈現(xiàn)】下面是滬科版九年級(jí)上

冊(cè)數(shù)學(xué)教材第31~32頁的部分內(nèi)容:新考向教材拓展探究試題例用圖象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精確到0.1).解畫出函數(shù)y=x2+2x-1的圖象,如圖21-21.由圖象可知,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,一個(gè)在-3和-2之間,另一個(gè)在0和1之間.方程x