第21章二次函數與反比例函數第21章素養綜合檢測一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,滿分40分)1.(2024安徽合肥廬江期中)下列函數中,y是x的二次函數的

是(M9121001)(

)A.y=

B.y=x2-1C.y=3x+1D.y=(x-1)2-x2B解析A中x的次數是-2,C、D中的函數是一次函數,只有B中

y=x2-1是二次函數,故選B.2.(2024安徽滁州月考)反比例函數的圖象經過點(1,-2),則此

函數的表達式是(M9121005)(

)A.y=2x

B.y=-

C.y=-

D.y=-

xB解析由題意知,k=1×(-2)=-2,則反比例函數的表達式為y=-

,故選B.3.(2024安徽合肥四十八中期中)將拋物線y=2x2向右平移1個

單位,再向下平移5個單位,得到的新拋物線的表達式是

(

)A.y=2(x-1)2-5

B.y=2(x-1)2+5C.y=2(x+1)2-5

D.y=2(x+1)2+5A解析拋物線y=2x2的頂點坐標為(0,0),點(0,0)向右平移1個

單位,再向下平移5個單位所得對應點的坐標為(1,-5),所以平

移得到的新拋物線的表達式為y=2(x-1)2-5.故選A.4.(易錯題)(2024安徽六安皋城中學期中)已知點A(x1,y1),B(x2,

y2)在反比例函數y=-

的圖象上,且x1<0<x2,則下列結論一定正確的是

(

)A.y1+y2<0B.y1+y2>0C.y1-y2<0D.y1-y2>0D解析∵反比例函數y=-

的圖象位于第二、四象限,而x1<0<x2,∴點A(x1,y1)在第二象限的雙曲線上,點B(x2,y2)在第四象

限的雙曲線上,∴y1>0>y2,∴y1-y2>0,故選D.易錯警示本題容易忽略兩個點不在同一個象限這一信息,

從而直接利用反比例函數的性質進行錯誤的判斷.5.(2024安徽合肥月考)如圖所示的是二次函數y=-x2+2x+4的

圖象,使y≤1成立的x的取值范圍是

(

)A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1

D.x≤-1或x≥3

D解析將y=1代入y=-x2+2x+4,得-x2+2x+4=1,解得x1=3,x2=-1,

由題圖可知,使y≤1成立的x的取值范圍是x≤-1或x≥3.故選

D.6.(2024安徽蚌埠月考)同一坐標系中,二次函數y=(x-a)2與一

次函數y=a+ax的圖象可能是

(

)

A

B

C

DD解析當a>0時,一次函數y=a+ax的圖象經過第一、二、三

象限,拋物線y=(x-a)2的頂點在x軸的正半軸上;當a<0時,一次

函數y=a+ax的圖象經過第二、三、四象限,拋物線y=(x-a)2的

頂點在x軸的負半軸上.故選D.7.(2024安徽淮南潘集月考)二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖

所示,下列結論:①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④當x>1時,y隨x的增大而減小.

其中正確的有(M9121002)(

)A.4個B.3個C.2個

D.1個B解析①∵拋物線開口向上,且與y軸交于負半軸,∴a>0,c<0,

∴ac<0,①正確;②∵拋物線對稱軸為直線x=1,∴-

=1,∴b=-2a.∵拋物線經過點(-1,0),∴a-b+c=0,∴a+2a+c=0,即3a+c=0,

②正確;③∵拋物線與x軸有兩個交點,∴b2-4ac>0,即4ac-b2<0,

③正確;④∵拋物線開口向上,且拋物線對稱軸為直線x=1,∴

當x<1時,y隨x的增大而減小,④錯誤.故選B.8.(2024安徽蕪湖月考)一個小球在斜坡上由靜止開始向下滾

動,通過儀器測量得到小球滾動的距離s(米)與時間t(秒)的部

分數據如下表:t/秒1234…s/米3122748…則3.5秒時,這個小球滾動的距離s(米)為(M9121004)(

)A.37.5B.36.75C.36

D.34.5B解析由表中數據猜想s與t之間滿足二次函數關系,設s關于t

的函數表達式為s=at2+bt+c,把(1,3)、(2,12)、(3,27)代入,得

解得

所以函數表達式為s=3t2,當t=4時,s=3×42=48,與表中數據一致.當t=3.5時,s=3×3.52=36.75.故選B.9.(跨學科·物理)(2024山東濟寧任城期末)在壓力不變的情況

下,某物體承受的壓強p(單位:Pa)與它的受力面積S(單位:m2)

是反比例函數關系,其圖象如圖所示.下列說法錯誤的是(M9

121006)(

)CA.函數表達式為p=

B.物體承受的壓力是100NC.當p≤500Pa時,S≤0.2m2D.當S=0.5m2時,p=200Pa解析設函數表達式為p=

,∵點(0.1,1000)在這個函數的圖象上,∴1000=

,∴k=100,∴p與S的函數關系式為p=

,故選項A,B正確,不符合題意;當p=500時,S=

=

=0.2,∴結合圖象可知當p≤500Pa時,S≥0.2m2,故選項C錯誤,符合題

意;當S=0.5m2時,p=200Pa,故選項D正確,不符合題意.故選C.10.(安徽常考·動態問題與函數圖象)(2023遼寧鞍山中考)如

圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AB=4,BC=4

,垂直于BC的直線MN從AB出發,沿BC方向以每秒

個單位長度的速度平移,當直線MN與CD所在直線重合時停止運動,運動過程中MN分別交矩形的

對角線AC,BD于點E,F,以EF為邊在MN左側作正方形EFGH,

設正方形EFGH與△AOB重疊部分的面積為S,直線MN的運

動時間為ts,則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是

(

)

A

B

C

DB解析如圖,在運動的第一階段,令HE、FG與AB的交點分別

為I、K,因為直線MN沿BC方向以每秒

個單位長度的速度平移,所以IE=FK=

t,因為AB=4,BC=4

,所以AC=8,所以AO=4=BO,所以∠BAO=60°,所以∠AEI=30°,所以AE=2AI,因

為EI=

t,所以根據勾股定理可得AI=BK=t,則IK=4-2t,即EF=4-2t.故S=

t·(4-2t)=-2

t2+4

t.據此可以排除掉A和D.在運動的第二階段,正方形全部在△AOB內,此時S=(4-2t)2=4t2-

16t+16,該函數的圖象開口向上.據此又可以排除掉C.故選B.

11.(2024安徽合肥四十六中月考)拋物線y=x2-9的頂點坐標是

.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分)(0,-9)解析拋物線y=x2-9的頂點坐標為(0,-9).12.(2024安徽合肥月考)如圖,P為反比例函數y=

的圖象上一點,PA⊥x軸于點A,S△PAO=6,則k=

.

-12解析根據比例系數k的幾何意義可得,△PAO的面積=

|k|,即

|k|=6,解得k=±12,由于函數圖象位于第二、四象限,故k=-12.13.(2023湖北宜昌中考)如圖,一名學生推鉛球,鉛球行進高度

y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關系是y=-

(x-10)(x+4),則鉛球被推出的水平距離OA=

m.

10解析令y=0,則-

(x-10)(x+4)=0,解得x=10或x=-4(不合題意,舍去),∴OA=10m.14.(新考向·新定義試題)(2024安徽蕪湖二十九中期中)如圖,

拋物線y=a(x-h)2+k(a≠0)的頂點為A,對稱軸與x軸交于點C,

當以AC為對角線的正方形ABCD的另外兩個頂點B、D恰好

在拋物線上時,我們把這樣的拋物線稱為“美麗拋物線”,正方形ABCD為它的內接正方形.(1)當拋物線y=ax2+1是“美麗拋物線”時,a=

;(2)若拋物線y=ax2+k(k≠0)是“美麗拋物線”,則a,k之間的數

量關系為

.(M9121002)-2ak=-2解析

(1)由題圖可知a<0,函數y=ax2+k的大致圖象如下:

當拋物線y=ax2+1是“美麗拋物線”時,AC=1,∵四邊形

ABCD為正方形,∴點D的坐標為

.將點D的坐標代入y=ax2+1得

=a

+1,解得a=-2.(2)由(1)知,點D的坐標為

,將點D的坐標代入y=ax2+k得

k=a

+k,解得ak=-2.15.(2024安徽蕪湖月考)已知點(4,0)在拋物線y=-x2+(k+1)x-k

上,求拋物線與y軸的交點坐標.三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)解析∵點(4,0)在拋物線y=-x2+(k+1)x-k上,∴-16+4(k+1)-k=0,解得k=4,∴拋物線表達式為y=-x2+5x-4,令x=0,則y=-4.∴拋物線與y軸的交點坐標為(0,-4).16.(2024安徽合肥三十八中新校月考)已知二次函數y=

x2+x+4.(1)確定拋物線的開口方向、頂點坐標和對稱軸.(2)當x取何值時,y隨x的增大而增大?當x取何值時,y隨x的增

大而減小?解析

(1)∵a=

>0,∴拋物線開口向上,∵-

=-1,∴拋物線的對稱軸為直線x=-1,∵當x=-1時,y=

,∴拋物線的頂點坐標為

.(2)∵拋物線開口向上且對稱軸為直線x=-1,∴當x<-1時,y隨x的增大而減小,當x>-1時,y隨x的增大而增大.17.(2024安徽亳州蒙城月考)如圖所示,二次函數y=x2-4x+3的

圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于C點,連接AC、BC,求△ABC

的面積.

四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)解析在y=x2-4x+3中,當y=0時,x=3或1,所以A(1,0),B(3,0),當x=0時,y=3,所以C(0,3),即OC=3,OA=1,OB=3,所以AB=3-1=2,所以△ABC的面積是

×2×3=3.18.(2023湖南常德中考)如圖所示,一次函數y1=-x+m的圖象

與反比例函數y2=

的圖象相交于點A和點B(3,-1).(1)求m的值和反比例函數解析式;(2)當y1>y2時,求x的取值范圍.

解析

(1)∵一次函數y1=-x+m的圖象與反比例函數y2=

的圖象相交于點A和點B(3,-1),∴-1=-3+m,-1=

,解得m=2,k=-3,∴反比例函數的表達式為y2=-(2)由(1)知一次函數解析式為y=-x+2,聯立兩個函數解析式得

解得

或

∴A(-1,3),觀察圖象可得,當y1>y2時,x的取值范圍為x<-1或0<x<319.(2024安徽阜陽界首期中)某商店經銷一種銷售成本為30

元/kg的水產品,據市場分析:若按50元/kg的售價銷售,一個月

能售出300kg,銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10kg.設售

價為x元/kg(x>50),月銷售量為ykg.(1)求月銷售量y與售價x之間的函數表達式.(2)當售價定為多少時,月銷售利潤最大?最大利潤是多少?五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分)解析

(1)由題意可得,y=300-(x-50)×10=-10x+800,即月銷售

量y與售價x之間的函數表達式是y=-10x+800.(2)設月銷售利潤為w元,由題意可得w=(x-30)(-10x+800)=-10x2+1100x-24000=-10(x-

55)2+6250.∵-10<0,∴當x=55時,w取得最大值,此時w=6250,∴當售價定為55元時,月銷售利潤最大,最大利潤是6250元.20.(情境題·生命安全與健康)某校為預防學生被蚊蟲叮咬,對

教室進行薰藥消毒.已知藥物在燃燒過程中,室內空氣中每立

方米的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比,藥物燃燒完后,y

與x成反比,如圖所示.根據圖象中的信息,解答下列問題:(M9

121007)(1)求出線段OA和雙曲線的函數解析式.(2)據測定,當空氣中每立方米的含藥量低于3毫克時,對人體

無毒害作用,從藥物燃燒開始,至少在多少分鐘內,師生不能

進入教室?

解析

(1)設反比例函數的解析式為y=

(k≠0),將(24,8)代入解析式得k=24×8=192,∴反比例函數的解析式為y=

,將y=12代入解析式得12=

,解得x=16,∴A點的坐標為(16,12),∴反比例函數的解析式為y=

(x>16),設正比例函數的解析式為y=nx(n≠0),將A(16,12)代入得12=16n,解得n=

,∴正比例函數的解析式為y=

x.∴線段OA的函數解析式為y=

x(0≤x≤16).(2)將y=3代入y=

,解得x=64,將y=3代入y=

x,解得x=4,由函數圖象可得當4≤x≤64時,y≥3,∵64-4=60(分鐘),∴從藥物燃燒開始,師生至少在60分鐘內不能進入教室.21.(情境題·勞動生產)(2024安徽安慶宿松期中)某小區計劃

建一個矩形花圃,花圃的一邊利用長為30m的墻,另三邊及中

間的隔斷用總長為88m的籬笆圍成.圍成的花圃是如圖所示

的矩形ABCD,并在BC邊上留有兩扇1m寬的門.設AB邊的長

為xm,矩形花圃的總面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數關系式;(2)求自變量x的取值范圍;(3)求S的最大值.六、(本題滿分12分)解析

(1)AB邊的長為xm,則AD=88-3x+1×2=(90-3x)m,根據

題意,得S=x(90-3x)=-3x2+90x,∴S與x之間的函數關系式為S=-3x2+90x.(2)由題意可知90-3x≤30,BC邊的籬笆長88-3x>0,即

∴20≤x<

.(3)由(1)(2)知,S=-3x2+90x=-3(x-15)2+675,∵-3<0,∴當15<x<

時,S隨x的增大而減小,又∵20≤x<

,∴當x=20時,S有最大值,最大值為600.22.(2024安徽合肥廬江期中)如圖,拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)

與x軸交于點A(-2,0)和B(4,0).(M9121002)(1)求該拋物線的表達式;(2)若拋物線與y軸交于點C,連接BC.點P是線段BC下方拋物

線上的一個動點(不與點B,C重合),過點P作y軸的平行線交

BC于M,交x軸于N,設點P的橫坐標為t.七、(本題滿分12分)①求PM的最大值及此時點M的坐標;②過點C作CH⊥PN于點H,若S△BMN=9S△CHM,求點P的坐標.解析

(1)∵拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)與x軸交于點A(-2,0)和B

(4,0),∴

解得

∴該拋物線的表達式為y=

x2-x-4.(2)①在y=

x2-x-4中,令x=0,得y=-4,∴C(0,-4),由點B、C的坐標得,直線BC的表達式為y=x-4,由點P的橫坐標為t,得P

,M(t,t-4),∴PM=t-4-

=-

t2+2t,∵PM=-

t2+2t=-

(t-2)2+2,-

<0,∴當t=2時,PM取得最大值2,此時點M的坐標為(2,-2).②N(t,0),B(4,0),C(0,-4),M(t,t-4),P

,CH⊥PN,∴BN=4-t,MN=4-t,CH=t,MH=t-4-(-4)=t,∵

=9

,∴

×(4-t)2=9×

t2,解得t1=1,t2=-2.∵點P是線段BC下方拋物線上的一個動點,∴0<t<4,∴t=1,∴P

.23.(新考向·項目式學習試題)(2024浙江溫州十二中月考)根

據以下素材,探索完成任務.八、(本題滿分14分)素材1如圖,某小區的景觀池中有一雕塑OA,OA=2米,在點A處安裝噴水裝置,噴出兩股水流,兩股水流可以抽象為平面