第3課時(shí)空間直線、平面的平行[考試要求]從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明．考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定1．如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.2．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.3．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.4．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.5．如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.[典例1](1)(2024·貴州期末)已知三個(gè)不同的平面α，β，γ和直線m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，則“α∥β”是“m∥n”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(多選)(2024·廣東深圳模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，則下列條件中，能使直線EF∥平面ACD1的有()A．F為AA1的中點(diǎn)B．F為BB1的中點(diǎn)C．F為CC1的中點(diǎn)D．F為A1D1的中點(diǎn)(1)A(2)ACD[(1)根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知當(dāng)“α∥β”時(shí)，有“m∥n”，故充分性成立；反之，當(dāng)m∥n時(shí)，α，β可能相交(如圖)，故必要性不成立.所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要條件．故選A.(2)如圖，M，G，H，I，J分別是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點(diǎn)，易證E與M，G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC?平面ACD1，EM?平面ACD1，則EM∥平面ACD1，同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ內(nèi)相交直線，則得平面EMGHIJ∥平面ACD1，EF∥平面ACD1，則F∈平面EMGHIJ，觀察各選項(xiàng)，ACD滿足．故選ACD.]平行關(guān)系的基本問題，應(yīng)以定義、基本事實(shí)4和定理為依據(jù)，借助正(長(zhǎng))方體、三棱柱(錐)等常見幾何體為載體進(jìn)行判斷．跟進(jìn)訓(xùn)練1(多選)(2024·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥α，n⊥α，則m∥nD．若α⊥γ，α⊥β，則γ與β可能平行，也可能相交CD[對(duì)于A，若α∩β＝n，m∥n，m?α，m?β，則m∥α，m∥β，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B，若m∥α，n∥α，則m與n可能是異面直線，相交直線或平行直線，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若m⊥α，n⊥α，由線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n，C正確．對(duì)于D，若α⊥γ，α⊥β，則γ與β可能相交或平行，D正確．]考點(diǎn)二直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)l?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)l?l∥b直線與平面平行的判定[典例2]如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PCE.[證明]法一(應(yīng)用線面平行的判定定理)：如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接EM，MF.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE∥CD，且AE＝12CD又∵M(jìn)F∥CD，且MF＝12CD∴AE綉FM，∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM.又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，∴AF∥平面PCE.法二(應(yīng)用面面平行的判定定理及性質(zhì))：如圖，設(shè)G為CD的中點(diǎn)，連接FG，AG.∵F，G分別為PD，CD的中點(diǎn)，∴FG∥PC.又E為AB的中點(diǎn)，AB綉CD，∴AE綉CG，∴四邊形AECG是平行四邊形，∴AG∥EC，又FG?平面PCE，AG?平面PCE.PC?平面PCE，EC?平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG?平面AFG，F(xiàn)G∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE.又AF?平面AFG，∴AF∥平面PCE.線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例3](2024·福建泉州一中月考)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.證明：FG∥平面AA1B1B.[證明]在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.(1)應(yīng)用線面平行的判定定理的關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．跟進(jìn)訓(xùn)練2(2024·大同模擬)如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考點(diǎn)三平面與平面平行的判定與性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)a?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α?a∥b[典例4](2024·沈陽(yáng)模擬)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)需要說明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行.跟進(jìn)訓(xùn)練3(2024·張家口模擬)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，證明：B1D1∥l.[證明](1)由題設(shè)知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.考點(diǎn)四平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例5](2024·武漢質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且CQQD1＝BP(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，ARAB的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA[解](1)證明：連接CP并延長(zhǎng)，與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖，連接MD1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝又因?yàn)镃QQD1＝BP所以CQQD1＝CP所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)當(dāng)ARAB的值為35時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1證明如下：因?yàn)锳RAB＝35，即BRRA故BRRA＝BPPD.所以PR∥又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵．跟進(jìn)訓(xùn)練4(2024·石家莊模擬)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PCD；(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD[解](1)證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)，∴NQ∥CD，MQ∥PC.∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ?平面MNQ，CD，PC?平面PCD，∴平面MNQ∥平面PCD.(2)線段PD上存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1證明如下：取PD的中點(diǎn)E，連接NE，CE，AE，∵N，E，M分別是AP，PD，BC的中點(diǎn)，BC綉AD，∴NE綉MC，∴四邊形MCEN是平行四邊形，∴MN∥CE.∵M(jìn)N?平面ACE，CE?平面ACE，∴MN∥平面ACE，且PEPD＝1課后習(xí)題(三十七)空間直線、平面的平行1．(人教B版必修第四冊(cè)P108練習(xí)BT2改編)如圖，已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．4∶25D[由題意知，平面α∥平面ABC，所以AB∥平面α，又平面α∩平面PAB＝A′B′，所以A′B′∥AB，同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′，所以∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，所以△ABC∽△A′B′C′.因?yàn)镻A′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶5，所以S△A'B'C'2．(蘇教版必修第二冊(cè)P186習(xí)題13.2(3)T5改編)如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則AFFCA．1B．2C．12D．C[如圖，連接CD，交PE于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)锳D∥平面PEF，AD?平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG，因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)，所以G是△PBC的重心，所以AFFC＝DGGC＝]3．(人教A版必修第二冊(cè)P143習(xí)題8.5T5改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________．平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]4．(人教A版必修第二冊(cè)P134例1改編)如圖，在空間四邊形A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12∴AC＝BD且AC⊥BD.]5．(2024·寧波模擬)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a?α，b?α，則b∥αD[A中，a可以在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．]6．(2024·黃石月考)有下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4A[命題①，l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②，直線a與平面α可以相交，不正確；命題③，a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確.故選A.]7．(2024·呼和浩特模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD[對(duì)于A，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行，故A不正確；對(duì)于B，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故B不正確；對(duì)于C，兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故C不正確；對(duì)于D，如圖，在直線b上取點(diǎn)B，過點(diǎn)B和直線a確定一個(gè)平面γ，交平面β于a′，因?yàn)閍∥β，所以a∥a′，又a′?α，a?α，所以a′∥α，又因?yàn)閎∥α，b∩a′＝B，b?β，a′?β，所以β∥α.]8．(2024·銀川模擬)如圖，AB∥平面α∥平面β，過A，B的直線m，n分別交α，β于C，E和D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長(zhǎng)為()A．65 B．C．85 D．C[由AB∥α∥β，易證ACCE＝BD即ACAE＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE9．(多選)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí)，下面結(jié)論正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)B．G，H一定是CD，DA的中點(diǎn)C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GCD．四邊形EFGH是平行四邊形或梯形CD[由于BD∥平面EFGH，所以由線面平行的性質(zhì)定理，得BD∥EH，BD∥FG，則