2021-2022學年上海市青浦區九年級上冊數學期末試卷（六）

一、選一選（本大題共10小題，每題3分，共計30分）

1.一元二次方程x2—6x—3=0的兩根為XI、X2,則X1+X2的值為（）

3

A.-3B.6C.3D.------

2

【答案】B

【解析】

-6

【詳解】試題分析：根據一元二次方程根與系數關系可知k+及=?丁=6?

故選B.

點睛：題考查了根與系數的關系：若汨，X2是一元二次方程以2+法+c=0（〃加）的兩根時,

nl.bc

則X|十12=---，X\X2=-?

aa

2.在Rtl2ABe中，13c=90°,回B=35°,AB=7,則BC的長為（）

7

A.7sin35°B.7cos35°C.7tan35°D.-----------

cos35°

【答案】B

【解析】

【分析】根據余弦的定義列出算式，計算即可.

Be

【詳解】在R3A8c中,cos5=—，

AB

/?BC=ABcosB=7cos35°,

故選B.

【點睛】考查銳角三角函數的定義，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

3.若關于x的方程（m-2）x2-2x+l=0有兩個沒有等的實根，則m的取值范圍是（）

A.m<3B.mW3C.m<3且mH2D.m<3且

mr2

【答案】c

【解析】

【分析】根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a和）的根的判別式A=b2-4ac的意義得到m-2押且△出,

即22-4x（m-2）xl>0,然后解沒有等式組即可得到m的取值范圍.

【詳解】；關于X的一元二次方程(m-2)x2-2x+l=0有實數根，

；.m-2并且AK).

由△羽可得

22-4(m-2)>0

解得m<3,

解m-2/O得m#2,

；.m的取值范圍是m<3且mW2.

故答案選D.

【點睛】本題考查了根的判別式與一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練的掌握根的判別式

與一元二次方程的定義.

4.用配方法解一元二次方程4x=5時，此方程可變形為()

A.(x+2)2=1B.(x-2)=1C.(x+2)』D.

(X-2)2=9

【答案】D

【解析】

【詳解】X2-4X=5

x2-4x+4=5+4

(X-2)2=9

故選D.

5.如圖，AB是。。的直徑，點。在48的延長線上，3c切。。于點C,若/A=25。，則

等于()

【答案】C

【解析】

【分析】連接。C,由圓周角定理可知NBOC=2NA=50°，又由0c是。。切線，可知

NDCO=90，根據直角三角形中兩銳角互余，即可求得答案.

【詳解】解：連接OC,如下圖:

,：BC=BC，ZA=25。

；?ZBOC=2NA=50。

又???OC切。。于點C,OC為半徑

:?NDCO=90

A￡>CO是直角三角形

???ND+NBOC=90。

；?ZD=40

故選：c

【點睛】本題考查切線的性質定理，圓周角定理，以及直角三角形性質，牢記相關知識點，數

形解題是關鍵.

6.已知拋物線y=與x軸的一個交點為（m,0）,則代數式機2-機一2013的值

是（）

A.-2012B.-2013C.2012D.2013

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：?..拋物線y=N一與x軸的一個交點為（如（）），

1=0,

.\m2—m=1,

.\m2-/n-2O13=1-2013=-2012.

故選A.

7.下列四個函數圖象中，當x>0時，y隨x的增大而增大的是（)

【解析】

【詳解】A、錯誤，此函數為減函數，y隨x的增大而減小；

B、錯誤，此函數為反比例函數，x>0時，y隨x的增大而減小；

C、正確，此函數為二次函數，x>0時，y隨x的增大而增大；

D、錯誤，此函數為二次函數，x>0時，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右

側y隨x的增大而增大.故選C.

8.將一條拋物線向左平移2個單位后得到了y=2x2的函數圖象，則這條拋物線是()

A.y=2x2+2B.y=2x2—2

C.y=2(x-2)2D.y=2(x+2)2

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析:抑=2x2的頂點坐標為(0,0),

團平移前的拋物線的頂點坐標為(2,0),

13原拋物線解析式為y=2(x-2)2.

故選C.

考點：二次函數圖象與幾何變換.

9.如圖所示，直線CD與線段AB為直徑的圓相切于點D,并交BA的延長線于點C,且

AB=2,AD=1,P點在切線CD上移動.當回APB的度數時，則回ABP的度數為()

D.

B

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：連接BD,

國直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點D,

03ADB=9O°,

當國APB的度數時,

則P和D重合，

00APB=9O°,

EAB=2,AD=1,

AD1

國sin團ABP==一

AB2

00ABP=3O0,

13當I3APB的度數時J3ABP的度數為30。.

故選D.

考點：圓周角定理..

10.在13ABe中，角回A是最小角配的2倍,且AB=2,AC=3,則回ABC的周長為（）

A.12-V13B.7^-VioC.5+26D.5+V10

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：如圖，作△ABC的角平分線AO交BC于￡）,

:角NA是最小角/C的2倍，

/.ZC=；ABAC,

：.ZBAD=ZC=ACAD,

：.AD=CD,

又；NB=NB,

.,.△ABCs△DBA,

.ABBCAC

??茄一茄—茄’

"：AB=2,4c=3,

?2Bj3

BC-BD'

：.BD?BC=4?,

3BD=2BC-2BD@,

2

由②得，BD=-BC@,

2

③代入①得，-BC-BC=4,

解得BC=回,

AA4BC的周長=AB+BC+AC=2+屈+3=5+回.

故選D.

點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質，作輔助線構造出相似三角形，然后根據相似三角

形對應邊成比例得到兩個等式并整理成關于BC的方程是解題的關鍵，也是本題的難點，作出

圖形更形象直觀.

二、填空題(本大題共8小題，每題2分，共計16分)

11.二次函數y=-(x+2『一3的頂點坐標是______.

【答案】(-2,-3)

【解析】

【詳解】試題分析：二次函數y=-(x+2)2-3是頂點式，

，二次函數y=—(x+2)2—3的頂點坐標是：(-2,-3).

故答案為(-2,-3).

點睛：本題考查了二次函數的性質，熟練掌握利用二次函數頂點式形式求解對稱軸和頂點坐標

的方法是解題的關鍵.

12.已知圓錐的底面半徑為3cm,母線長為5cm,則這個圓錐的側面積是cm2.

【答案】157r

【解析】

【分析】圓錐的側面積=底面周長x母線長+2,把相應數值代入即可求解.

【詳解】解：圓錐的側面積=2,3x5+2=15兀.

故答案是：15兀

【點睛】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是弄清圓錐的側面積的計算方法，特別是圓錐的

底面周長等于圓錐的側面扇形的弧長.

13.某商場額3月份為16萬元，5月份為25萬元，設商場這兩個月額的平均增長率為X,則

可列方程為.

【答案】16(1+X)2=25

【解析】

【詳解】試題分析：3月份的額為16萬元，平均每次增長百分率為X,則四月份的額是16(1+x),

五月份的額是16(1+x)(l+x)即16(1+x)2,根據5月份的額是25萬元可列方程為16(1+x)2=25.

故答案為16(1+X)2=25.

14.如圖，AB為00的直徑，弦CD回AB于E,已知CD=12,AB=20.則0E=.

【答案】8

【解析】

【詳解】試題分析：：直徑AB=20,

半徑為10,

連接OC,

AB

：AB為00的直徑，弦C￡)_LA8于E,CD=[2,

：.CE=DE=6,

由勾股定理得：OGnCg+OE2,

102=62+0序，

：.0E=8,

故答案為8.

點睛：本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，解決此類題目的一般步驟是先利用垂徑定理求

出弦長的一半，然后連接圓心與弦的一個端點，構造直角三角形，利用勾股定理求解.

15.拋物線y=-/+法+c的部分圖象如圖所示，若》<。，則x的取值范圍是.

【解析】

【詳解】試題分析：根據圖象可以知拋物線的對稱軸為x=-l,根據拋物線的對稱性可以確定

拋物線與x軸的另一個交點橫坐標為x=-3,y<0即對應拋物線在x軸下方部分，所以圖象可

得)，<0時x的取值范圍為xV-3或x>l.

故答案為x<-3或x>l.

點睛：本題考查了二次函數與沒有等式，主要利用了二次函數的對稱性，此類題目利用數

形的思想求解更加簡便.

16.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,?0為13ABe的內切圓，點D是斜邊AB的

中點,貝!|tan(30DA=.

【答案】2

【解析】

詳解】試題分析：連接OE,OF,OG；

???AB=10,

???。0為△ABC的內切圓，

，OG_LBC,OFLAC,OELAB,AF=AE,CF=CG,

JZOGC=ZOFC=ZOED=90°；

VZC=90°,

工四邊形OFCG是矩形，

???OG=OF,

工四邊形OFCG是正方形；

設。尸=x,則CF=CG=OF=x,AF=AE=6~x,BE=BG=S~xf

/.6—x+8—x=1(),解得x=2f

：?OF=2,

：.AE=AF=AC-CF=^

丁點。是斜邊A8的中點，

：.AD=^AB=5,

：.DE=AD-AE=\f

OE

??tanNODA.------=2.

DE

點睛：此題考查了三角形內切圓的性質.注意切線長定理.還要注意直角三角形的內切圓中,

如果連接過切點的半徑，可以得到一個正方形，借助于方程即可求得半徑的長.

17.邊長為2的正方形ABCD與邊長為2后的正方形AEFG按圖(1)位置放置，AD與AE

在同一直線上，AB與AG在同一直線上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉如圖(2),線段

DG與線段BE相交，交點為H,則4GHE與ABHD面積之和的值為

【答案】6

【解析】

【詳解】試題分析：)???四邊形ABC。和四邊形AEFG都為正方形，

：.AD=AB,AG=AE,ZDAB=ZEAG=90°,

ZDAB+NBAG=ZE4G+ZBAG,

ANDAG=NBAE,

：.^ADG^/\ABE(SAS),

；.NAGD=NAEB,

在正方形AEFG中，ZAGE=ZAEG=45°,

：.ZHGE+ZHEG=45°+NAGO+45。-ZAEB=90°,

所以NG4E=90。，

所以對于△EG",點”在以EG為直徑的圓上，

當點”與點4重合時，△EGH的高；

同理對于點H在以8。為直徑的圓上，

當點〃與點4重合時，△B。//的高，

.?.△GHE和面積之和的值為：yx22+|x(2V2)2=2+4=6.

故答案為6.

點睛：此題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判斷與性質，圓周角定理，確定

△G//E與△8"。面積之和取值時點H的位置是解本題的關鍵.解題時注意：半圓(或直徑)

所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

18.已知二次函數丁=內2+4依+。2一］,當-4Wx〈l時，y的值為5,則實數〃的值為

【答案】2-或1

【解析】

【詳解】試題分析：二次函數的對稱軸為直線X=-曲=-2,

2a

①。>0時，在一4人1范圍內，當x=l時，取得值，

rzxl2+4axl+a2—1=5,

整理得，〃2+5“-6=0,

解得“1=1,02=-6(舍去)，

②。<0時，當x=-2時，取得值，

ax(-2)2+4ax(-2)+?2-1=5,

整理得，a2-4a-6=0,

解得<n=2—s=2+J16(舍去)，

所以實數”的值為2一而或1.

故答案為2—后或1.

三、解答題(本大題共10小題，共計84分)

19.計算：⑴|V2-2|-(-2)2+2sin45°；(2)4+一2cos600+(2—?)。

【答案】(1)-2；(2)4.

【解析】

【詳解】試題分析：(1)先化簡值，計算乘方，代入角的三角函數值計算，然后合并同類二次

根式即可；

(1)先計算算術平方根，負指數幕，代入角的三角函數值，計算0次累，相加減即可.

試題解析：

解：(1)原式=2-及-4+2xJ=2—&—4+夜=-2；

2

(2)原式=2+2—2x—+1=4—1+1=4.

2

點睛：本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型，解答此類題目的關鍵

是熟記角的三角函數值，熟練掌握負整數指數幕、零指數幕、二次根式等考點的運算.

20.(1)解方程：2d—5%-1=0；(2)(X-3)2+4X(X-3)=0

7/,/：'/】、5+J335—J33/、_0_3

【"美】(1)X=----------9x、=------------；(2)X,=3>=—.

'4-4_5

【解析】

【詳解】試題分析：(1)直接利用公式法求解即可；

(2)利用因式分解法求解.

試題解析：

解：⑴2/一5%-1=0，

。=2,b=—5,c=-1,

Z?2—4?c=(—5)2—4x2x(—1)=33>0,

-b±y]b2-4ac5±^33

x=--------------=-------,

2a4

.5+7335-y/33

?x2=^—;

(2)(x-3)2+4x(x-3)=0,

(x—3)(x—3+4x)=0,

x—3=0或5x—3=0,

X=3,.

21.已知關于x的方程爐-(2/77+1)x+m(ni+1)=0

(1)求證：方程總有兩個沒有相等的實數根；

(2)設方程的兩根分別為為、X2,求川2+及2的最小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)的最小值為

【解析】

【分析】(1)根據方程的系數根的判別式，即可得出△=1>0,由此即可證出方程總有兩個沒

有相等的實數根；

(2)根據根與系數的關系可得用+犬2=2加+1、xrx2=m(/n+l)9利用配方法可將婷+娉變

形為(加+及)2—2XLX2,代入數據即可得出X,2W=2(/M+1)2+y,進而即可得出.2+刈2的

最小值.

【詳解】(D證明:VA=[-(2w+l)]2-4/n(;n+l)=l>0,

；?方程總有兩個沒有相等的實數根；

(2)解：?.?方程的兩根分別為XI、X2,

?\尤]+及=2m+1、x\*X2=m(m+\)f

xi2+X22=(xi+%2)2—2xi?%2=(2w+1)2-2m(m+1)=2w2+2m+1=2[?/+—|+—，

I2j2

.?.?2+42的最小值為

【點睛】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：(1)牢記“當△>()

時，方程有兩個沒有相等的實數根“；(2)利用根與系數的關系找出為2+向2=2(〃?+3)2+/.

22.如圖，點。在OO的直徑A8的延長線上，點C在。。上，且AC=CD,ZACD=120°.

(1)求證：8是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

AOBD

【答案】(D見解析

(2)圖中陰影部分的面積為函_；兀

【解析】

【分析】(1)連接0C.只需證明NOCD=90。.根據等腰三角形的性質即可證明；

(2)先根據直角三角形中3()。的銳角所對的直角邊是斜邊的一半求出OD,然后根據勾股定

理求出CD,則陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積.

/.ZA=ZD=30°.

,：OA=OC,

/.Z2=ZA=30°.

AZOCD=ZACD-Z2=90°,

即OC_LC￡>,

.?.CD是。。的切線；

(2)解:Zl=Z2+ZA=60°.

_60^rx22_2^-

??S扇形80c-----------------------.

3603

在RsOCD中，ZD=30°,

：.OD=2OC=4,

?*-CD=y]oD2-OC2=2a.

SRL=；OCXCD=yX2x2百=2y/3.

圖中陰影部分的面積為：2『胃.

23.如圖，在由邊長為1的單位正方形組成的網格中，按要求畫出坐標系及△AICi及

△A2B2C2；

(1)若點A、C的坐標分別為(-3,0)、(-2,3),請畫出平面直角坐標系并指出點8的坐

標；

(2)畫出△ABC關于y軸對稱再向上平移1個單位后的圖形

(3)以圖中的點。為位似，將△4SG作位似變換且把邊長放大到原來的兩倍，得到

△A2&C2.

【答案】(1)畫圖見解析，B(-4,2)；(2)畫圖見解析；(3)畫圖見解析.

【解析】

【分析】(1)根據A,C點坐標作出直角坐標系，進而求出B點坐標；

(2)根據軸對稱的性質平移的性質得出答案；

(3)利用位似圖形的性質得出對應點位置進而得出答案.

【詳解】解:(1)如圖所示,B(-4,2)；

(2)如圖所示：即所求:

(3)如圖所不：△A2B2c2即為所求.

【點睛】本題主要考查了位似變換、軸對稱變換和平移變換，根據題意建立正確的坐標系是解

題關鍵.

24.如圖所示，一幢樓房A8背后有一臺階CC,臺階每層高0.2米，且AC=17.2米，設太陽

光線與水平地面的夾角為a,當a=6()。時，測得樓房在地面上的影長AE=10米，現有一老人

坐在MN這層臺階上曬太陽.(⑺取1.73)

(1)求樓房的高度約為多少米？

(2)過了一會兒，當a=45。時，問老人能否還曬到太陽？請說明理由.

B

a)、,~~)

AF.CD

【答案】(1)樓房的高度約為17.3米；(2)當a=45。時，老人仍可以曬到太陽.理由見解析

【解析】

【分析】(1)在即ZVIBE中，根據/a的正切值即可求得樓高；

(2)當a=45°時;從點8射下的光線與地面4。的交點為F,與MC的交點為點，.可求得

Af=A8=17.3米，又因CF=C”=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2,所以大樓的影子落在臺階這個

側面上，即老人仍可曬到太陽.

【詳解】解：(1)當a=60。時，在中，

*BABA

?tan60=-----=—

AE10

BA=103?60°=106R10x1.73=17.3米.

即樓房的高度約為17.3米;

(2)當a=45°時;老人仍可曬到太陽；理由如下:

假設沒有臺階，當a=45°時，從點8射下的光線與地面AD的交點為F,與MC的交點為點

H,

?：ZBFA=45°,

/?tan45°=------=1,此時的影長AF=BA=\13米,

AF

所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1,

：.CH=CF=0A米,

大樓的影子落在臺階MC這個側面上.

???老人仍可曬到太陽.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握三角函數

的知識是解題的關鍵.

25.學校為獎勵"漢字聽寫大賽"的學生，派王老師到商店購買某種，他看到如圖所示的關于該

的信息,

購買件數價格

沒有超過30

單價40元

件

每多買1件，購買的所有襯衫單價降低0.5元，但單價沒有得低于30

超過30件

元

便用1400元買叵了，求王老師購買該的件數.

【答案】王老師購買該的件數為40件.

【解析】

【詳解】試題分析：先判斷購買的件數超過了30,設購買了x件，表示出每件商品的價格，進

而得出購買商品的總錢數，根據總錢數是1400元建立方程求出答案.

試題解析：

解：730x40=1200<1400,

.?.數超過了30件,

設總數為x件，則每件商品的價格為：[40-(x-30)x0.5]元，

根據題意可得：

x[40-(x-30)x0.5]=1400,

解得：xi=40,忿=70,

Vx=70時，40-(70-30)x0.5=20<30,

.?.x=70沒有合題意舍去，

答：王老師購買該的件數為4()件.

點睛：此題主要考查了一元二次方程應用，根據題意正確表示出每件商品的價格是解題關

鍵.

26.如圖，已知拋物線y=-N+6x+cA(-1,0),B(3,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；

(2)當()VxV3時，直接寫出y的取值范圍；

(3)點P為拋物線上一點，若5AMB=10,求出此時點P的坐標.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,頂點坐標為(1,4)；(2)0<y<4；(3)P(4,—5)或P(—2,—5)

【解析】

【分析】(1)將A與8的坐標代入拋物線的解析式即可求出b與c的值，

(2)根據圖象即可求出y的取值范圍，

(3)設尸(x,y),的高為|y|,A8=4,由以網片10列出方程即可求出y的值，從而可求出

尸的坐標.

【詳解】(1)將點A(-1,0),B(3,0)兩點代入丫=-x2+hx+c

0=-\-b+c

’0=-9+3b+c

b=2

解得＜

c=3

拋物線的解析式為：y^-x2+2x+3,

y=-%2+2x+3=-(x-l)2+4,

二頂點坐標為(1,4),

(2)???y=—x2+2x+3的拋物線的對稱軸為x=l,開口向下，如圖,

，0<xV3時，0<y44,

(3)設P(%,y),

.1△BAB的高為|y|,

???A(-1,0),B(3,0),

：.AB=4,

?“△謝=，4*3=1(),

解得y=±5,

當y=5時，

5=—+2x+3，

此時方程無解，

當,=一5時，

—5=—x?+2x+3，

解得x}=4,w=-2,

.?.尸（4,一5）或口一2,-5）.

【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，待定系數法求解析式，二次函數圖象的性質，解方

程，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

27.在平面直角坐標系中，A點坐標是（0,6）,M點坐標是（8,0）.P是射線AM上一

點，PBLx軸，垂足為B.設AP=a.

（1）AM=；

（2）如圖，以AP為直徑作圓，圓心為點C.若。C與x軸相切，求a的值；

（3）D是x軸上一點，連接AD、PD.若△OADs^BDP,試探究滿足條件的點D的個數

（直接寫出點D的個數及相應a的取值范圍，沒有必說明理由）.

【答案】（1）10；（2）a=—；（3）見解析.

2

【解析】

【詳解】試題分析：（1）由點的坐標可得OA=6,OB=8,根據勾股定理即可求出AM的值.

CEMC

（2）設切點為E.連接CE,易得RtACEMsRjAOM,則——=——■,代入求得a的值.

AOMA

（3）圖形，分三種情況探究滿足條件的點。的個數.

試題解析：

解：⑴10；

（2）由題意知。C與x軸相切，

設切點為E.連接CE,則CE_Lx軸，且CE=上。易證Rt^CEM^Rl^AOM,

2

410--?

CEMC

所以即22

~AO~MA

610

②當。=一時，滿足條件的。點有3個；

2

③當”且W10時，滿足條件的。點有4個.

2

28.如圖，直角梯形ABCD中，AB〃DC,ZDAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.動點M以

每秒1個單位長速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿

折線C—D—A向點A運動.當點M到達點B時，兩點同時停止運動.過點M作直線

1〃AD,與線段CD的交點為E,與折線A—C—B的交點為Q.點M運動的時間為t(秒).

(1)當t=().5時，求線段QM長；

(2