微專題78圓錐曲線中的定值問題

一、基礎知識：

所謂定值問題，是指雖然圓錐曲線中的某些要素（通常可通過變量進行體現）有所變化,

但在變化過程中，某個量的值保持不變即為定值。

1、常見定值問題的處理方法：

（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示

（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否

得到一個常數。

2、定值問題的處理技巧：

（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而

給后面一般情況的處理提供一個方向。

（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏

（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算

二、典型例題：

4

例1：已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，一條漸近線方程為y=右焦點尸（5,（））,

雙曲線的實軸為44，P為雙曲線上一點（不同于A，4），直線分別于直線

9

=g交于M,N兩點

（1）求雙曲線的方程

（2）試判斷麗.?成是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，請說明理由

解：（1）由尸（5,0）可得c=5,且焦點在x軸上

22

所以設雙曲線方程為：x=y=則漸近線方程為y=±—bx

cTa

b4.L,[a=3

-由49+/?~=。02=25解得：＜

a3[Z?=4

22

???雙曲線方程為L-匕=1

916

(2)由(1)可得:4(-3,0),4(3,0),設p(%%)

y=：(x+3)

設AP:y=%(x+3),聯立方程(9解得：Mf924

I5

y=A"x-3)

f96

同理：設&P:y=&（x-3）,聯立方程＜可得：N二,一^22

x=—9

I5

...麗.麗=變」44快

2525

下面考慮計算&上的值

?.,優，%）在雙曲線上需T=lny：=萼—16卷（片一9）

'■25614416

.-.FM-FN=--------

25259

所以而7?所為定值

22n（n:\

例2：已知橢圓J+二=1（。＞。＞0）的離心率為火，且過點V2,—

ah"22

（1）求橢圓方程

（2）設不過原點。的直線/：丁=辰+m（左HO）,與該橢圓交于P,。兩點，直線OP,。。的

斜率依次為且滿足4Z=K+%2,試問：當左變化時，祖2是否為定值？若是，求出此

定值，并證明你的結論；若不是，請說明理由

解：（1）由e=￡=——可得：a:b:c=2:l:g

a2

22r壺、

橢圓方程為J+A=i代入V2,—可得:

4b2b22

2

1?閨=1解得：b=la=2

x".

，橢圓方程為上+丁=1

4-

（2）設尸）,0（孫必），聯立方程可得:

y=kx+m

消去y可得:/+4（京+m）2=4,整理可得:

x2+4y2=4

（4左2+l）x2+Skmx+4nr-4=0

,y,kx,+m,m,v,kx,+m,m

依題意可知：k、="=」——=｝（+—/=4=———=k+—

再X|xtx2x2x2

11

4k-kt+k2=>4Z-2k+m——l---

lx%2

即2人=機?上也①

玉工2

由方程（4左2+1）/+4加2-4=0可得:

Skm4m2-4

x.+x----z---,xx,=——；---

12'4二+1?-4父+1

代入①可得：

8km

2k=m-"'I,整理可得：2k=一一學一=/_]=_加2

4m-44"-4

4k2+1

m2--

2

.??可知，"為定值，與女的取值無關

e=￥，動點/（2,。?>0）

（1）求橢圓標準方程

（2）設尸為橢圓的右焦點，過尸作OM的垂線與以為直徑的圓交于點N,求證：ON

的長為定值，并求出這個定值

解：(1)由6=——可得：a:b:c=y/2:1:l

2

22r/T.\

???橢圓方程可轉化為：金+方=1，將Py-'i代入橢圓方程可得:

(2)由(1)可得：F(1,0)=

思路一：通過圓的性質可得ONLMN,而NFLOM(設垂足為K),由雙垂直可想到射

影定理，從而|ON「=|OKH(9M|,即可判定|ON|為定值

2

FN:y=一一(x-1),設OM與FN相交于K

\OM\="+"

?.?Q0為圓的直徑：.ONLMN-.-NKA-OM

由射影定理可得:

\ON^\OK\-\OM\=2

：.\ON\=yf2

思路二：本題也可從坐標入手，設'(后,%)，則只需證明|ON「=*+尤為定值即可，通

過條件尋找%,為關系，一方面：FNA_OM=>FNOM=0,可得2%+%=2；另一方

2

/t\f2

面由N點在圓上可求出圓的方程(X-1F+y——=—+1從而

\2)4

產

--F1,展開后即可得到匯+yj為定值

4

解：設N（毛,%），則麗=（%一1,%）,麗=（2,r）

：.FN-OM^2（x0-1）+y0t=Q

/.2x0+卬=2

yjt2+4

OM的中點坐標為,|皿=J/+4r=---------

2

2a

=+1

.?.以0M為直徑的圓方程為：（x—l）2+y——l7

V2

、2

代入NG。,%）,可得：（/-以+%-：1

7r

2，c,rt2.

二%+%_2x（）+1-％+a=I+]

=芯+巾=2X（,+%=2

x；+y；=2即|ON「=2

:.\ON\=y/2

220

例4：已知橢圓C:親■+專■=l（a〉b>0）的離心率為半焦距為c（c>0）,且a—c=l,

經過橢圓的左焦點尸，斜率為匕（匕。0）的直線與橢圓交于A8兩點，。為坐標原點

（1）求橢圓C的方程

（2）設R（l,0）,延長AH,3R分別與橢圓交于C,。兩點，直線CQ的斜率為及，求證：—

&2

為定值

c2

解：（1）e=_=_,設c=2k,a=3k

a3

由。一c=1可得：3k—2k=\=k=\

6/=3,c=2

.?.b2=a2-c2=5

x2y2

/.C:一+—1

95

⑵由⑴可得產（一2,0）,設4（%|,蘆）,5（々,必），。（工3，%），。（％4，”）

可得：AR:y=-^—（x-1）=x=[],y+1

-x,-1

.X.—1,

x=———y+1

y5—X,2x.—1

.?.聯立方程4n——y_4=o

22

y

-X-n+------1

I95

3■-y3=^-

'''

5—XjX）—5x,-5

X,{5x,—95x「9,4/

^3=--為+[=—^..C

y玉一5、%—5%-5,

"5X-94%、

同理，直線以與橢圓交點。的坐標為o2

、

%2—5%2—57

4y4%

七一%一％—5%—5_4）1（%—5）-4%（內—5）

七一55七-9_5々-9（5芭_9）（々一5）—（5/-9）（芭—5）

%1—5%—5

4y|（馬一5）-4y2（X-5）=一%占+5（%一必）

16（X2-X|）4（X2-xj

M=匕（芭+2）

設A3:y=K（x+2）代入可得:

%=&（x,+2）

=匕（4+2）9一人（々+2）龍|+5（%一%）=2kl色-X］）+5（%—%）

4（%一演）4（々一為）

5y2一M1,57

+--—~~—=-k1,+-k,1=-k1,

4x2-X1244

k2_7

1—1

小煉有話說：本題中注意X/一丁2尤1的變形：可通過直線方程用玉,々表示必，必，代入后

即可得到關于玉+々，玉工2的表達式

22

例5：已知橢圓。：］+/=1（4＞。＞0）的右焦點為尸（1,0）,且點尸在橢圓c

上，。為坐標原點

（1）求橢圓。的標準方程

x2y24

（2）過橢圓G:=+上==1上異于其頂點的任一點。，作圓。：/+＞2=5的切線，切

3

點分別為M,NCM,N不在坐標軸上）,若直線MN的橫縱截距分別為，求證：」V+士

2

3加n

為定值

解：（1）依尸（1,0）可知c=l橢圓方程為，+黃工=1代入尸6,乎］解得：

礦=4b~=a"—c~=3

橢圓方程為三+二=1

43

r23V2

（2）思路：由（1）可得：G：］■+二j=l，可設。（%，%），由題意可知MN為過。作

444

圓切線所產生的切點弦，所以MN:xox+yQy=—,從而可得〃z=----,n=-----,所以

33x03yo

二3+l=+3y；），由橢圓方程可得X；+3y；=4,從而不二+J=得=］為定

3mn~48/3mn~124

值

222a2

解：由（1）可得：C,I----1—"=1=>----1—-——1

1

4Q544

3

設0（%,%）可知MN是過。作圓切線所產生的切點弦

設M（X1,y）,N（9,必），由",N是切點可得：OM工MQ,ON：LNQ

1_玉

,k

…“M0

k（）M必

，加。：y一%=」（%-%）,代入%一為=-

即xtx0+M%=無；+>；,同理可知對于NQ,有x2x0+y2y0=x1+

因為M,N在圓O:/+y2=3上

-_4r_4

%2+為2=—玉玉）+M%=-4

44M,N為直線/彳+丫/=一上的點

%；+￥=]X2X0+>2%=~

因為兩點唯一確定一條直線

4x:y

MN:x（}x+yny——，即）----r-+7—r--1

3F『

（3%）{3y0J

…44

由截距式可知加=，n=

3%3%

'Jr+±=;?也*：+白丁；=+3常）

3mn3161648'7

???Q在橢圓G上

???X；+3y；=4

，-U+-l=2（x；+3y；）=3即」v+4為定值

3m2n248V,43m2n2

小煉有話說：

(1)本題定值是通過整體代入的手段，即抓住最后片+3%=4的特點整體消去小,%所得，

所以在處理定值問題時，涉及的變量個數可以多，但是要有一定的條件保證能夠消去。

(2)本題求直線MN方程的過程即為切點弦公式證明的過程，此時抓住兩點所在方程“同構”

的特點，從而確定直線方程

注：切點弦方程：過圓夕I'一點。作圓：/+V=/的切線，切點為A,B,則切點弦AB的方

2

程為：xox+yoy=r

例6：如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓C:工+2-=1,設為橢圓上任意一

點。過原點作圓R:(x—%)2+(y—%)2=8的兩條切線，分別交橢圓于P,Q

(1)若直線OP,0Q相互垂直，求0R的方程

(2)若直線OP,OQ斜率存在，并記為勺,修，求證：仁就2是一個定值

(3)試問|OP『+|OQ『是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由

解：(1)由OR:(x—Xo『+(y—%)2=8可得r=2及

-,?OPVOQ:.\OR\=y/2r=4,即x；+y；=16

片

區

1。2

+七%%=

1

或

或<

<

聯立方程：，242V2夜

片12

2為

61%%-

+%V/,V

.?.OR的方程為：

(x+20『+(y+20)2=8或(尤+2血『+(>—2血y=8或

1_2碼2+b+2行『=8或1_20『+卜-20『=8

(2)思路：可設直線OP:y=Kx,OQ:y=&x，均與圓相切，可得4=與二虱(其中

i=1,2)化簡可得：(X；—8)代一2玉)％仁+y：—8=0,可發現人&均滿足此方程，從而仁,k2

為(片一8袂2一2%"+北一8=0的兩根。則秘，=鳴二號，再利用橢圓方程消元即可得到

一痛-8

定值

解：設OP:y=ktx,OQ:y-k2x

?：OP與OR相切

-d-g'。—）M-r-2J?

??aR-op-i-，,-r-2.-42.

n（4xo—%）2=8（l+6）

化簡可得：（片一8）仔一2X0%K+乂-8=0

對于OQ:y=&x，同理可得：（只一8）代一2七為女2+$-8=0

:.kpk?為（x；—8）攵2-左+N；-8=0的兩根

22

.kk-—8?.?2+九=1.?.其=24-2W

1282412

N；-8

.,.kk

}224-2^-8~2

（3）思路：設。（百/）,0（%,%），呼+|OQ『=x；+y；+￥+￡,由第⑵問所得

結論，可以考慮通過聯立直線與橢圓方程將P,Q坐標分別用匕進行表示，再判斷

|OP「+|OQ『是否為定值

解：當P,Q不在坐標軸上時，設P（x“J,。（天，必）

P：'x22=＞x2+2k?x2=24

一+乂v=1

【2412

224224M

12#+1力2&：+i

242_2%

同理可得：x；2k[+l，y，2.2、+1

24+2%+24+24M_240+將）+240+用

2k；+1+2k：+i+2k[+l+2抬+1-26+1+2r+1

36+72%；

=24-------z--------=Jo

2k；+1

若P,Q在坐標軸上（不妨設P在x軸）上，則尸（2指,0）,。（0,26）

:.\OPf+\OQ\"=36

綜上所述，|OP『+|OQ「為定值36

例7：已知橢圓。：二+斗=1（〃＞。＞0）,稱圓心在原點，半徑為必存的圓為橢圓C的

ab

“準圓”，若橢圓C的一個焦點為尸（夜,0）,其短軸上的一個端點到F的距離為石

（1）求橢圓C的方程及其“準圓”方程

（2）點P是橢圓。的“準圓”上的動點，過點P作橢圓的切線4,4交“準圓”于點M,N

①當點P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求直線4,4的方程并證明4，4

②求證：線段MN的長為定值

解：（1）依題意可得：c=五,a-y/3

2_________

/.b2=a2-c2=\—+/=1r='Ja2+b2=2

3

QO:x2+y2=4

（2）①由（1）可得?（0,2）,設切線方程為：y^kx+2

（2

X2一1

聯立方程：JT+＞，=消去y可得：Y+3（丘+2）2=3

y=依+2

整理可得：（3公+1）/+[2丘+9=0

A=144左2_36（3左2+1）=0n36k2-36=0

解得：左=±1

所以PM:y=九+2,PN:y=—尤+2

?,.PM1PN

PMxx

②設P5,%）-y-yo=^（-o）

y—=匕（x-.l,、-12

則｛,2，消去y可得：x2+3[K（x-Xo）+yo]-=3

x2+3y=3

整理可得：（3后；+1）/_（64"（）_6仁％卜+3左：尤；-6kyyoxo+3y：-3=0

A=36（6與-&yo『一4（36+1）（3%餐-6匕＞0%0+3y；-3）=0

整理后可得：（3_君）6+2/%匕+1_尤=0

同理，對于設切線PN的斜率為％2,則有：

（3-%）抬+2%0%為+1-y；—o

??.女#2=上當在“準圓”上

3—X。

.'.X；+y（；-4y；—1—3一不；.'.k、k、———1

所以PMJ,PNMN為“準圓”的直徑

為定值，|仞N|=4

已知點尸［1,—g%2y2

例8：在橢圓C:彳+=1（a>6>0）上，橢圓C的左焦點為（—1,0）

Q~

（1）求橢圓C的方程

（2）直線/過點T（m,o）（〃2>（））交橢圓。于M,N兩點,

A3是橢圓C經過原點。的弦，且MN〃AB,問是否存在正

數用,使嚅為定值？若存在，請求出機的值；若不存

在，請說明理由。

解：（1）由左焦點（一1,0）可得C=l,由廿=/—。2=廿=/一1

.?.C：=+<—=1,代入尸（1,一3]可得：二+2.一一=1解得：a=2

a2a2-l[1）a24a2-I

（2）思路：由所求可聯想到弦長公式，除了所求變量加，直線的另一核心要素為斜

軍k（假設人存在），通過犒??可聯想到弦長公式，所以分別將直線的V,AB的方程與橢圓

|AB|2|AB|2

方程聯立，進而^——1為關于7%人的表達式，若^——I為常數，則意味著與％的取值無關,

\MN\\MN\

進而確定”的值

設直線/：丁=履+加，/（不兇）川（％2，%），聯立方程:

’22

工21=]

<43=>(3+4公b2_8423+4公._12=0

y=kx+m

2

Skm4/m2_i2

z------z------------

X,1+x,2=―2,X,X,-------

4k+34&2+3

I------Jl+k"?J16[(12-3加2伙2+9

|MN|=Jl+%2k-司=--------

-4r+3

三+匕=1I?

設4（七,%），3（%4，”）,貝葉43=>f=鼻Q

{48(4〃+3)

|AB|=\Jl+k2|x—x|=Jl+k°,

34―4r+3-

1

?住I:*

A時I——T11+k2

/.~~L=48V1+k1■=12-

MN心[(12-3也&2+9](12-3加2*+9

所以若當L是個常數，

\MN\

.?.（12—3加2伙2+9也為4（］+公）的形式，即12—3m2=9=>加=1

此時陷7=4,當直線斜率不存在時，可得陷r=4符合題意

\MN\|MN|

：.m-\

小煉有話說：本題在判斷加的取值也可通過精確的計算得到，通過分式變形化為只有一項

含女的表達式:

112I?若回

M_12l的值

\MN\(12-3/伙2+12-3加2+3療一3

y1+k2

與攵無關，則3m2-3=0=>m=1

例9：如圖，已知橢圓。：鳥+/=1（。＞。＞0）的離心率為孝，以橢圓C的左頂點T為

圓心作圓T:（^+2）2+/=r2（r＞0）,設圓T與橢圓C交于點M,N

（1）求橢圓C的方程；

（2）求而河的最小值，并求此時圓T的方程

（3）設點尸是橢圓C上異于的任意一點，且直線MRNP分別與x軸交于點R,S,0

為坐標原點，求證：|QR”QS|為定值.

解（1）圓T的圓心7（—2,0）

-^-a=V5b1=a2—c2—\

橢圓方程為：—+y2=\

4-

（2）由圓與橢圓關于x軸對稱可得：關于x軸對稱

2

設M（Xo，%）,則N（Xo,一%），且有年+%=1

由T(一2,0)可得：TM=(x0+2,y°)而=(x0+2,-y0)

2

麗而=(x0+2)2-y：=(x°+2)2+才—1

52.°5(8丫1

二—玉+4%|+3=-XjH——

44、5,5

因為M在橢圓上(非長軸頂點)-2<x0<2

.”0=—2時，[TM-TN]=一，將與=一代入可得必=一

V

5/min555

g|JA1|代入到圓方程可得：產=12

I55/25

（3）思路：依圖可知所|。?卜|。5|可翻譯為坐標運算即XR%,且R,S分別為直線MP,NP與

x軸的交點，可設出P（%,y）,從而結合加（%％）和N（/,一%）計算出MRNP的方程，

字+y：=i

從而XR,%可用為，%，司，弘進行表示，再根據橢圓方程《進行消元即可。

解：設P（XpX）,由M（Xo，%）可得:

此“「="&?.?MP的方程為：了一弘二上&a一斗）

令y=0,可解得：XR二血X一"”.

X一%

同理可解得NP與％軸的交點s的橫坐標%=+*）'。

%+%

所以1。即1。5|=同=n飛?="詡f。-①

%一X）3+X）II>T_%

因為P（Xi，yJ,"（玉）,％）均在橢圓上

4x

_>fo=4-4^,代入到①可得:

五；=1U=4-4y.

4'

|。如儂=書r產==駕*=4

y.-yoyi-yo

所以|OR|-|QS|=4,即為定值

例10：如圖所示