湖南省株洲市株洲縣2025屆九年級數學第一學期期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BA、CA的延長線上，=2，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．3．一個不透明的口袋里裝有除顏色都相同的5個白球和若干個紅球，在不允許將球倒出來數的前提下，小亮為了估計其中的紅球數，采用如下方法，先將口袋中的球搖勻，再從口袋里隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復上述過程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估計口袋中的紅球大約有個（）A．45 B．48 C．50 D．554．商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為0.01”．下列說法正確的是（）A．抽101次也可能沒有抽到一等獎B．抽100次獎必有一次抽到一等獎C．抽一次不可能抽到一等獎D．抽了99次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎5．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在第一象限，點在軸的正半軸上，，，將繞點逆時針旋轉，點的對應點的坐標是（）A． B． C． D．6．對于二次函數,下列說法正確的是（）A．圖象開口方向向下； B．圖象與y軸的交點坐標是（0，-3）；C．圖象的頂點坐標為（1，-3）； D．拋物線在x＞-1的部分是上升的．7．如圖所示，拋物線的頂點為，與軸的交點在點和之間，以下結論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③8．如圖，在中，點，，分別在邊，，上，且，，若，則的值為（）A． B． C． D．9．一元二次方程x2-4x-1=0配方可化為（）A．(x+2)2=3 B．(x+2)2=5 C．(x-2)2=3 D．(x-2)2=510．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A=，則sin∠DCB的值為（）A． B． C． D．11．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．12．參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10

次，若共有

x

人參加聚會，則根據題意，可列方程（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．比較sin30°、sin45°的大小，并用“＜”連接為_____．14．已知扇形的圓心角為90°，弧長等于一個半徑為5cm的圓的周長，用這個扇形恰好圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計）．則該圓錐的高為__________cm．15．如圖，面積為6的矩形的頂點在反比例函數的圖像上，則__________．16．如圖，在平面直角坐標系中，,P是經過O,A,B三點的圓上的一個動點（P與O,B兩點不重合），則__________°，__________°.17．如圖，兩個同心圓，大圓半徑，，則圖中陰影部分的面積是__________．18．如圖一次函數的圖象分別交x軸、y軸于A、B，P為AB上一點且PC為△AOB的中位線，PC的延長線交反比例函數的圖象于Q，，則Q點的坐標為_____________三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（，3），B（，2），C（0，）．（1）以y軸為對稱軸，把△ABC沿y軸翻折，畫出翻折后的△；（2）在（1）的基礎上，①以點C為旋轉中心，把△順時針旋轉90°，畫出旋轉后的△；②點的坐標為，在旋轉過程中點經過的路徑的長度為_____（結果保留π）．20．（8分）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．(1)求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△OBC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點M為拋物線上一點，點N為對稱軸上一點，是否存在點M、N使得A、O、M、N構成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．21．（8分）已知關于的方程.（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；（2）若該方程的一個根為1，求的值及該方程的另一根．22．（10分）如圖，已知直線與軸、軸分別交于點與雙曲線分別交于點，且點的坐標為．（1）分別求出直線、雙曲線的函數表達式；（2）求出點的坐標；（3）利用函數圖像直接寫出：當在什么范圍內取值時．23．（10分）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在⊙O上，點D，E分別在AB，AC的延長線上，DE⊥AE，垂足為E，∠A＝∠CDE．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的長．24．（10分）若矩形的長為，寬為，面積保持不變，下表給出了與的一些值求矩形面積.(1)請你根據表格信息寫出與之間的函數關系式;(2)根據函數關系式完成下表184225．（12分）如圖，在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，是對角線，過點作交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形是菱形．26．解方程：(1)(2)

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】只要證明，即可解決問題．【詳解】解:A.，可得AE：AC=1：1，與已知不成比例，故不能判定B.，可得AC：AE=1：1，與已知不成比例，故不能判定；C選項與已知的，可得兩組邊對應成比例，但夾角不知是否相等，因此不一定能判定；D.，可得DE//BC，故選D.【點睛】本題考查平行線的判定，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．2、A【分析】根據直角三角形的性質得到AC=BC=2，∠B=60°，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴AC=BC=2，∠B=60°，∴陰影部分的面積=S△ACB-S扇形BCD=×2×2-=故選：A．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，含30°角的直角三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．3、A【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球；摸到白球與摸到紅球的次數之比為1：9，由此可估計口袋中白球和紅球個數之比為1：9；即可計算出紅球數．【詳解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球，∴白球與紅球的數量之比為1：9，∵白球有5個，∴紅球有9×5=45（個），故選A．4、A【分析】根據概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現進行解答即可．【詳解】解：根據概率的意義可得“抽到一等獎的概率為為0.01”就是說抽100次可能抽到一等獎，也可能沒有抽到一等獎，抽一次也可能抽到一等獎，抽101次也可能沒有抽到一等獎．故選：A．【點睛】本題考查概率的意義，概率是對事件發生可能性大小的量的表現．5、D【分析】過點作x軸的垂線，垂足為M，通過條件求出，MO的長即可得到的坐標.【詳解】解：過點作x軸的垂線，垂足為M，∵，，∴，，∴，在直角△中，，，∴，，∴OM=2+1=3，∴的坐標為.故選：D.【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．6、D【解析】二次函數y=2（x+1）2-3的圖象開口向上，頂點坐標為（-1，-3），對稱軸為直線x=-1；當x=0時，y=-2，所以圖像與y軸的交點坐標是（0，-2）；當x＞-1時，y隨x的增大而增大，即拋物線在x＞-1的部分是上升的，故選D.7、B【分析】根據二次函數的圖象可逐項判斷求解即可.【詳解】解：拋物線與x軸有兩個交點，

∴△>0，

∴b2?4ac>0，故①錯誤；

由于對稱軸為x=?1，

∴x=?3與x=1關于x=?1對稱，

∵x=?3，y<0，

∴x=1時，y=a+b+c<0，故②錯誤；

∵對稱軸為x=?=?1，

∴2a?b=0，故③正確；

∵頂點為B(?1,3)，

∴y=a?b+c=3，

∴y=a?2a+c=3，

即c?a=3，故④正確,

故選B．【點睛】本題考查拋物線的圖象與性質，解題的關鍵是熟練運用拋物線的圖象與性質，本題屬于中等題型．8、A【分析】根據，得到AC=3EC，則AE=2EC，再根據，得到△ADE∽△EFC，再根據面積之比等于相似比的平方即可求解.【詳解】∵，∴AB：BD=AC：EC，又∵∴AC=3EC，∴AE=2EC，∵，∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B=∠EFC，∴△ADE∽△EFC又AE=2EC∴=（2：1）2=4:1故選A.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．9、D【分析】移項，配方，即可得出選項．【詳解】x2?4x?1＝0，x2?4x＝1，x2?4x＋4＝1＋4，（x?2）2＝5，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程的應用，能正確配方是解此題的關鍵．10、C【分析】設，根據三角函數的定義結合已知條件可以求出AC、CD，利用∠BCD=∠A，即可求得答案．【詳解】∵，

∴，

∵，

∴設，則，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．故選：C．【點睛】本題考查直角三角形的性質、三角函數的定義、勾股定理、同角的余角相等等知識，熟記性質是解題的關鍵．11、A【分析】根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故答案為A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念,理解這兩個概念是解答本題的關鍵.12、C【分析】如果人參加了這次聚會，則每個人需握手次，人共需握手次；而每兩個人都握了一次手，因此一共握手次.【詳解】設人參加了這次聚會，則每個人需握手次，依題意，可列方程.故選C.【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用.二、填空題（每題4分，共24分）13、＜．【解析】直接利用特殊角的三角函數值代入求出答案．【詳解】解：∵sin30°=12、sin45°=22，

∴sin30°＜sin45°．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．14、【分析】利用弧長公式求該扇形的半徑，圓錐的軸截面為等腰三角形，其中底邊為10，腰為母線即扇形的半徑，根據勾股定理求圓錐的高.【詳解】解：設扇形半徑為R，根據弧長公式得，∴R=20，根據勾股定理得圓錐的高為：.故答案為：.【點睛】本題考查弧長公式，及圓錐的高與母線、底面半徑之間的關系，底面周長等于扇形的弧長這個等量關系和勾股定理是解答此題的關鍵.15、-1【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義可得|k|=1，再根據函數所在的象限確定k的值．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過面積為1的矩形OABC的頂點B，

∴|k|=1，k=±1，

∵反比例函數的圖象經過第二象限，

∴k=-1．

故答案為：-1．【點睛】主要考查了反比例函數中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．16、4545或135【分析】易證△OAB是等腰直角三角形，據此即可求得∠OAB的度數，然后分當P在弦OB所對的優弧上和在弦OB所對的劣弧上，兩種情況進行討論，利用圓周角定理求解．【詳解】解：∵O（0，0）、A（0，2）、B（2，0），

∴OA=2，OB=2，

∴△OAB是等腰直角三角形．

∴∠OAB=45°，

當P在弦OB所對的優弧上時，∠OPB=∠OAB=45°，

當P在弦OB所對的劣弧上時，∠OPB=180°-∠OAB=135°．

故答案是：45°，45°或135°．【點睛】本題考查了圓周角定理，正確理解應分兩種情況進行討論是關鍵．17、【分析】根據題意可知，陰影部分的面積等于半徑為4cm，圓心角為60°的扇形面積.【詳解】∵，，∴陰影部分的面積為扇形OBC的面積：，故答案為：.【點睛】本題主要考查了陰影部分面積的求法，熟練掌握扇形的面積公式是解決本題的關鍵.18、(2,)【解析】因為三角形OQC的面積是Q點的橫縱坐標乘積的一半，所以可求出k的值，PC為中位線，可求出C的橫坐標，也是Q的橫坐標，代入反比例函數可求出縱坐標【詳解】解：設A點的坐標為（a，0），B點坐標為（0，b），

分別代入，解方程得a=4，b=-2，

∴A（4，0），B（0，-2）∵PC是△AOB的中位線，

∴PC⊥x軸，即QC⊥OC，

又Q在反比例函數的圖象上，

∴2S△OQC=k，

∴k＝2×＝3，

∵PC是△AOB的中位線，

∴C（2，0），

可設Q（2，q）∵Q在反比例函數的圖象上，

∴q＝，

∴點Q的坐標為(2

，

)．點睛：本題考查反比例函數的綜合運用，關鍵是知道函數上面取點后所得的三角函數的面積和點的坐標之間的關系．三、解答題（共78分）19、（1）畫圖見解析；（2）①畫圖見解析；②（4，-2），.【分析】（1）根據軸稱圖形的性質作出圖形即可；（2）①根據旋轉的性質作出圖形即可；②在坐標系中直接讀取數值即可，第二空根據弧長計算公式進行計算即可.【詳解】解：（1）如圖所示：△為所求；（2）①如圖所示，△為所求；②由圖可知點的坐標為（4，-2）；∵==5在旋轉過程中點經過的路徑的長度為：=.故答案為：（4，-2），.【點睛】本題考查了軸對稱和旋轉作圖，以及弧長計算公式的應用.掌握弧長計算公式是解題的關鍵.20、（1）；（2）（－1，）；（3）M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．【解析】（1）先確定出點B坐標，再用待定系數法即可；（2）先判斷出使△BOC的周長最小的點C的位置，再求解即可；（3）分OA為對角線、為邊這兩種情況進行討論計算即可得出答案．【詳解】(1)如圖所示，過點B作BD⊥x軸于點D,∵點A的坐標為（-2，0），OB=OA，∴OB=OA=2，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，在Rt△OBD中,∠ODB=90°，∴∠OBD=30°，∴OD=1,DB=，∴點B的坐標是(1,)，設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由已知可得：，解得：∴所求拋物線解析式為；(2)存在.如圖所示，∵△BOC的周長=OB+BC+CO，又∵OB=2，∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，∵點O和點A關于對稱軸對稱，∴連接AB與對稱軸的交點即為點C，由對稱可知，OC=OA，此時△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+AC；點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點，設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A(?2,0),B(1,)分別代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y=x+，當x=?1時,y=，∴所求點C的坐標為(?1,)；(3)如圖所示，①當以OA為對角線時，∵OA與MN互相垂直且平分，∴點M1(?1,?)，②當以OA為邊時，∵OA=MN且OA∥MN，即MN=2,MN∥x軸，設N(?1,t)，則M(?3,t)或(1,t)將M點坐標代入，解得，t=，∴M2(?3,)，M3(1,)綜上：點M的坐標為：（－1，－），或（－3，）或（1，）．【點睛】本題是一道二次函數綜合題，主要考查了二次函數的性質、最短路徑、平行四邊形等知識.綜合運用所學知識，并進行分類討論是解題的關鍵.21、（1）；（2）的值是，該方程的另一根為．【解析】試題分析：（1）利用根的判別式列出不等式求解即可；（2）利用根與系數的關系列出有關的方程（組）求解即可.試題解析：（1）∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜1，∴a的取值范圍是a＜1；（2）設方程的另一根為x1，由根與系數的關系得：，解得：，則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣1．22、（1），；（2）D；（3）．【分析】（1）把代入得到的值，把代入雙曲線得到的值；（2）把一次函數和反比例函數的解析式聯立方程，解方程即可求得；（3）直線圖象在雙曲線上方的部分時的值，即為時的取值范圍．【詳解】解：（1）把點代入，得：，直線的解析式；把點代入，得：，雙曲線的解析式；（2）解得，，點的坐標為；（3），的坐標為，觀察圖形可知：當時，的取值范圍為：．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數圖象的交點問題：把兩函數的解析式聯立起來組成方程組，解方程組即可得到它們的交點坐標．也考查了數形結合的思想，利用數形結合解決取值范圍的問題，是非常有效的方法．23、（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，根據三角形的內角和得到，根據等腰三角形的性質得到，得到，于是得到結論；（2）根據已知條件得到，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∵點在上，∴是的切線（2）解