Page92024-2025學年度上學期高三年級12月聯考數學試卷 試卷滿分：150分★祝考試順當★留意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條形碼區”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必需用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準運用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必需保持答題卡的整齊．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數z滿意，則A．2 B．4 C．8 D．162．下列函數是R上的單調遞增函數且為奇函數的是A． B． C． D．3．已知，，則A． B． C． D．4．如圖，“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現，比歐洲發覺早500年左右．現從楊輝三角第20行隨機取一個數，該數大于2024的概率為A． B． C． D．5．在△ABC中，“”是“△ABC為直角三角形”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為數列的前n項和，，下列說法正確的是A．B．C．當數列的前n項積最大時，或者D．數列的前n項和為7．已知某正四棱錐P-ABCD高為h，底面ABCD邊長為a，內切球半徑為r，外接球半徑為R，下列說法中不正確的是A．得到a，h的值，可以確定唯一的R B．得到a，h的值，可以確定唯一的rC．得到a，R的值，可以確定唯一的h D．得到a，r的值，可以確定唯一的h8．橢圓C：（）的左右焦點分別為，，B為橢圓C的下頂點，延長交橢圓C于另一點A，若，則橢圓C的離心率為A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知A，B是全集U的兩個非空真子集，下列說法中確定正確的是A． B．C． D．10．已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿意，，，，則下列說法中正確的是A． B．C．若，則 D．11．已知數列滿意，，下列說法中正確的是A． B．，且，滿意C．（） D．記的前n項積為，則12．函數的圖象稱為牛頓三叉戟曲線．若關于x的方程有3個實根，，，，且，則下列說法中正確的是A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數在點處的切線方程為．14．2024年10月5日晚，杭州亞運會女籃決賽在杭州奧體中心體育館打響，中國女籃戰勝日本女籃，以6戰全勝的戰績強勢奪冠，第7次獲得亞運會金牌。中國隊6場競賽得分依次為101，101，111，104，100，74，則中國隊6場競賽得分的第75百分位數是．15．（），若存在，使得，則正實數的取值范圍為．16．MN是棱長為2的正方體的內切球的一條直徑，點E為的中點，若空間內動點Р滿意AP⊥CE，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，，，，AD為∠BAC的平分線．（1）求△ABC的面積；（2）求．18．（12分）如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的全部枝長均為2．（1）設平面PAB與平面PCD的交線為l，證明：l∥平面QAB；（2）求直線PA與平面QAB所成角的正弦值．19．（12分）甲，乙兩學校進行體育競賽，競賽共設兩個項目，每個項目勝方得5分，負方得0分，平局各得2分．兩個項目競賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在兩個項目中獲勝的概率分別為0.4，0.6，甲學校在兩個項目中平局的概率分別為0.1，0.2．各項目的競賽結果相互獨立．（1）求甲學校兩場競賽后獲得冠軍的概率；（2）用X表示甲學校兩場競賽的總得分，求X的分布列與期望．20．（12分）記數列的前n項和為，滿意，且．（1）求的通項公式：（2）記，求數列的前n項和．21．（12分）已知．（1）若恒成立，求實數a的取值范同：（2）設表示不超過x的最大整數，已知的解集為，求．（參考數據：，，）22．（12分）已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．（1）求拋物線C的方程：（2）當△OMN面積的最大值時，求點P的坐標．（O為坐標原點）數學參考答案一、單選題1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B二、多選題9．BCD 10．AC 11．AD 12．AD三、填空題13． 14．104 15． 16．選填題部分解析：11．由可得，若，則，以此類推，，…，，與已知條件沖突．故，又，所以A正確．由可得，因為，若，則，以此類推，，…，，與已知條件沖突．故，又，所以恒成立．則，是遞減數列，所以B錯．代入中可知C不成立（或者取驗證可知C不成立），所以C錯．由，，利用累乘法可得：，因為，所以，則．所以D正確．另解：由，左右兩邊同時取對數，，令，利用待定系數法可以求得，代入，則．可依據的通項公式來推斷B、C均錯．12．，則在和單調遞減，單調遞增，因為，由函數圖象可知時符合題意，故A正確．由圖可知，則，，因為在上單調遞增，由可得，故B錯．由可得，由圖象可知，即，解得，故C錯．由，令，則（），構造（），通過求導可知．故D正確．四、解答題17．（1）在△ABC中用余弦定理，，，所以．（2）因為，解得，因為AD為∠BAC的平分線，在△ABD和△ADC中分別用正弦定理可得①，②，①÷②可得（角平分線的性質不證明不扣分），又，所以．在△ADC中用正弦定理，，解得．18．解：（1）由正四棱錐P-ABCD可知AB∥CD，面PCD，所以AB∥面PCD，由線面平行的性質定理，面PAB與面PCD的交線l∥AB．又因為面QAB且平面QAB，由線面平行的判定定理，l∥面QAB．（2）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．由正四棱錐的性質，PQ⊥平面ABCD，取ABCD中心為O，故可以分別以直線OA、OB、OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設條件，相關各點的坐標分別是，，，，所以，，，設平面QAB的法向量為，由，取．設PA與平面QAB所成角為，則．所以PA與平面QAB所成角的正弦值為．19．（1）甲獲勝分三種狀況：勝勝，勝平，平勝．則甲獲勝的概率為．（2）X全部可能取值為0，2，4，5，7，10．，，，，，．P0245710X0.10.120.020.380.140.2420．（1）因為，用代替n可得（），兩式相減：，整理得：（），即（），則（），解得（），因為，所以，也滿意上式，故對于隨意的，．（通過不完全歸納法猜出通項的只得3分）（2），當時，，當時，．記前n項和為，當時，，化簡得，當時，．綜上所述，．21．（1），令得，當時，，當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為恒成立，所以，即，解得．（2），則，因為，當時，由（1）知在單調遞增，成立，此時且時，不等式中等號不成立）；當時，由（1）知在單調遞減，，不符合題意，此時；當時，易知有解；因為的解集為，