類型四直角三角形問題(含矩形問題)函數微技能——分類討論思想確定動點位置一階例8如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，連接AC.探究1：在拋物線對稱軸上找一點P，使得△ACP為直角三角形；例8題圖①解：①若AC為Rt△ACP的直角邊時，在圖①中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡);①滿足條件的點P如解圖①所示，即P1，P2；例8題圖①例8題解圖①【方法總結】二次函數中直角三角形的存在性一般要分情況討論；以探究1為例，若AC為Rt△ACP的直角邊，作圖方法：___________________________________________________，所找點P為____________________________；若AC為Rt△ACP的斜邊，作圖方法：_____________________，所找點P為_____________________________．分別過點A、C作AC的垂線，垂線與拋物線對稱軸的交點以AC的中點D為圓心AC長為直徑作圓對稱軸與⊙D的交點②若AC為Rt△ACP的斜邊，在圖②中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡)；例8題圖②②滿足條件的點P如解圖②所示，即P3，P4；例8題解圖②探究2：在拋物線上找一點E，使得△BCE為直角三角形．在圖③中畫出所有滿足條件的點E的示意圖(保留作圖痕跡)；例8題圖③滿足條件的點E如解圖③所示即E1,E2；例8題解圖③探究3:在拋物線上找一點E，平面內找一點Q，使得以E、Q、B、C為頂點的四邊形為矩形．在圖④中畫出所有滿足條件的點E、Q的示意圖(保留作圖痕跡)．例8題圖④滿足條件的點E、Q如解圖④所示，即E3、E4、Q1、Q2.例8題解圖④【方法總結】二次函數中矩形的存在性問題可考慮將其轉化為直角三角形的問題，如探究3中，只需先畫出△BCE為直角三角形的點E，再確定Rt△BCE斜邊的中點，然后利用矩形對角線互相平分的性質確定點Q的位置．設問突破二階例9

拋物線y＝

x2－x－4與x軸交于點A、B(點A在點B左側)，與y軸交于點C.一題多設問(1)若點F是x軸上的一點，點D為拋物線的頂點，是否存在點F，使得△FBD為直角三角形，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；例9題圖①【思維教練】要使△FBD為直角三角形，可分兩種情況：①BD為Rt△FBD的直角邊，利用兩垂直直線解析式中k的關系求出直線DF的解析式，進而求得點F的坐標；②BD為Rt△FBD的斜邊，利用垂直的性質即可求解；(1)解：存在．分以下兩種情況：①當BD為Rt△FBD的直角邊時，如解圖①，過點B作BD的垂線，與x軸無其他交點，故此情況不存在點F.過點D作BD的垂線交x軸于點F1，例9題解圖①∵拋物線的解析式為y＝

x2－x－4，∴B(4，0)，D(1，－

)，∴直線BD的解析式為y＝

x－6，∵DF1⊥BD1，∴可設直線DF1的解析式為y＝－

x＋b，將D(1，－

)代入y＝－

x＋b，得b＝－

，∴直線DF1的解析式為y＝－

x－

，當y＝0時，－

x－

＝0，

解得x＝－

，

∴點F1的坐標為(－

，0)；例9題解圖①②當BD為Rt△FBD的斜邊時，如解圖①，以BD的中點E為圓心，BE長為半徑畫圓，圓與x軸交于點F2，∵點B在x軸上，∴DF2⊥OB，∴點F2的坐標為(1，0)．綜上所述，點F的坐標為(－

，0)或(1，0)；例9題解圖①【思維教練】要使△PAC為直角三角形，可分兩種情況：①AC為Rt△PAC的直角邊，利用兩垂直直線解析式中k的關系求出直線AP的解析式，與拋物線解析式聯立即可求得點P的坐標；②AC為Rt△PAC的斜邊，通過輔助圓來判斷是否存在點P即可；(2)若點P是拋物線上的一點，是否存在點P，使得△PAC為直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；例9題圖②(2)解：存在．分以下兩種情況：∵拋物線的解析式為y＝

x2－x－4，∴A(－2，0)，C(0，－4)，∴直線AC的解析式為y＝－2x－4，設直線AP1的解析式為y＝

x＋d，將A(－2，0)代入y＝

x＋d，得d＝1，∴直線AP1的解析式為y＝

x＋1，例9題圖②①當AC為Rt△PAC的直角邊時，如解圖②，過點A作AC的垂線交拋物線于點P1，連接P1C，過點C作AC的垂線交拋物線于點P2，連接P2A，P1P2聯立得

，解得

或

(舍去)，

∴點P1的坐標為(5，

)，同理點P2的坐標為(3，－

)；②當AC為Rt△PAC的斜邊時，如解圖③，以AC的中點M為圓心，AM長為半徑畫圓，圓與拋物線無其他交點，故此情況不存在點P.綜上所述，點P的坐標為(5，

)或(3，－

)；解圖③【思維教練】要使△QBC為直角三角形，可分兩種情況：BC為Rt△QBC的直角邊或斜邊，通過勾股定理求解即可．(3)若點Q是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點Q，使得△QBC為直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；例9題圖③(3)解：存在．∵拋物線的解析式為y＝

x2－x－4，∴B(4，0)，C(0，－4)，拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴BC2＝32，設點Q的坐標為(1，m)，∵Q(1，m)，B(4，0)，C(0，－4)，∴＝32＋m2，

＝12＋(m＋4)2，∵Q1B⊥BC，∴由勾股定理得

＝

＋BC2，12＋(m＋4)2＝32＋m2＋32，

解得m＝3，∴點Q1的坐標為(1，3)，例9題圖③Q2分以下兩種情況：①當BC為Rt△QBC的直角邊時，如解圖④，過點B作BC的垂線交拋物線的對稱軸于點Q1，連接Q1C，過點C作BC的垂線交拋物線的對稱軸于點Q2，連接Q2B，Q1同理

＝32＋m2，

＝12＋(－4－m)2，∵Q2C⊥BC，∴由勾股定理得

＝

＋BC2，32＋m2＝12＋(－4－m)2＋32，解得m＝－5，∴點Q2的坐標為(1，－5)；例9題圖③Q2Q1②當BC為Rt△QBC的斜邊時，如解圖⑤，以BC的中點N為圓心，BN長為半徑畫圓，圓與拋物線的對稱軸交于點Q3、Q4，連接Q3C、Q3B、Q4C、Q4B.同理BQ2＝32＋m2，CQ2＝12＋(m＋4)2，∵QC⊥BQ，∴由勾股定理得BC2＝CQ2＋BQ2，32＝12＋(m＋4)2＋32＋m2，解得m1＝－2－

，m2＝－2＋

，∴點Q3的坐標為(1，－2＋

)，點Q4的坐標為(1，－2－

)．綜上所述，點Q的坐標為(1，3)或(1，－5)或(1，－2＋

)或(1，－2－

)；解圖⑤【思維教練】要求以點Q、G、B、C為頂點的四邊形是矩形時點Q、G的坐標，結合題意只需滿足△QBC是直角三角形，可分BC為Rt△QBC的直角邊和斜邊兩種情況，利用勾股定理列方程求解，再利用平移的性質即可．(4)若點Q是拋物線對稱軸上的一點，點G是平面內一點，是否存在點Q、G，使得以Q、G、B、C為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出點Q、G的坐標；若不存在，請說明理由．例9題圖④(4)解：存在．如解圖⑥⑦，∵以Q、G、B、C為頂點的四邊形為矩形，∴△QBC為直角三角形，由(3)可知Q1(1，3)，Q2(1，－5)，Q3(1，－2＋

)，Q4(1，－2－

)，∵將點B向左平移3個單位，向上平移3個單位，即可得到點Q1，∴將點C向左平移3個單位，向上平移3個單位，即可得到點G1，∴點G1的坐標為(－3，－1)；解圖⑥解圖⑦同理G2(5，－1)，G3(3，－2－

)，G4(3，

－2)，綜上所述，點Q的坐標為(1，3)或(1，－5)或(1，－2＋

)或(1，－2－

)，對應的點G的坐標為(－3，－1)或(5，－1)或(3，－2－

)或(3，

－2)．解圖⑥解圖⑦綜合訓練三階5.(2023黔南州26題12分)如圖，已知直角坐標系中，A、B、D三點的坐標分別為A(8，0)，B(0，4)，D(－1，0)，點C與點B關于x軸對稱，連接AB、AC.(1)求過A、B、D三點的拋物線的解析式；第5題圖解：(1)根據題意，設拋物線解析式為y＝a(x－8)(x＋1)，∵點B(0，4)在拋物線上，∴a(0－8)(0＋1)＝4，解得a＝－

.∴拋物線的解析式為y＝－

(x－8)(x＋1)，即y＝－

x2＋

x＋4；(3分)第5題圖(2)有一動點E從原點O出發，以每秒2個單位的速度向右運動，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點P，交線段CA于點M，連接PA、PB.設點E運動的時間為t(0<t<4)秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；(2)解：設直線AB的函數解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點A(8，0)，B(0，4)代入得

，解得

，

∴直線AB的函數解析式為y＝－

x＋4.

∵點C與點B關于x軸對稱，

∴點C的坐標為(0，－4)．第5題圖∴BC＝8，S△ABC＝

BC·OA＝

×8×8＝32.設點E的坐標為(2t，0)，∵EP⊥x軸于點E，點P在拋物線上，∴點P的坐標為(2t，－2t2＋7t＋4)．如解圖①，設PE與直線AB的交點為Q，則點Q的坐標為(2t，－t＋4)，∵點P在點Q的上方，∴PQ＝(－2t2＋7t＋4)－(－t＋4)＝－2t2＋8t.第5題解圖①∴S△PAB＝S△PBQ＋S△PAQ＝

PQ·xA＝

(－2t2＋8t)·8＝－8t2＋32t.∴S四邊形PBCA＝S△PAB＋S△ABC＝－8t2＋32t＋32＝－8(t－2)2＋64.∵－8<0，∴當t＝2時，S最大，最大值為64，∴四邊形PBCA的最大面積為64；

(8分)第5題解圖①(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．【解法提示】由拋物線y＝－

x2＋

x＋4得拋物線的對稱軸為直線x＝

，∵點H在對稱軸上，則設點H的坐標為(，h)，如解圖②，∴BH2＝()2＋(h－4)2，AH2＝(8－)2＋h2，AB2＝82＋42＝80，∴當∠ABH1＝90°時，則BH12＋AB2＝AH12