6.3.3空間角的計(jì)算教學(xué)目標(biāo)：能用向量方法解決線線、線面、二面角的夾角的計(jì)算問題．教學(xué)重點(diǎn)：能用向量方法解決線線、線面、二面角的夾角的計(jì)算問題．教學(xué)難點(diǎn)：線面角與二面角的計(jì)算．教學(xué)過程：一、問題情境復(fù)習(xí)：空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角；斜線與平面所成的角是指斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角；兩個(gè)平面所成的角是用二面角的平面角來(lái)度量．這就是說(shuō)，空間的角最終都可以通過轉(zhuǎn)化，用兩條相交直線所成的角來(lái)度量．問題：如何用向量的方法來(lái)求空間的角的大小呢？二、學(xué)生活動(dòng)（1）畫個(gè)正方體，視察正方體內(nèi)異面直線所成的角；（2）畫一個(gè)線面角，并作出它的平面角，思索如何用向量來(lái)表示它；（3）畫一個(gè)銳二面角、一個(gè)鈍二面角，并作出平面角，思索怎么用向量表示二面角的平面角．三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1．兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角；2．直線的方向向量與平面的法向量的夾角為銳角時(shí)，直線與平面所成的角與這個(gè)夾角互余；3．一個(gè)二面角的平面角與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角相等或互補(bǔ)．四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E1，F(xiàn)1分別在A1B1，C1D1上，且E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1與DF1所成的角的大小．解1：（幾何法）作平行線構(gòu)造兩條異面直線BE1與DF1所成的角∠AHG，通過解三角形學(xué)問，由余弦定理可得．解2：（向量法）設(shè)，，則且．，，．z解3：（坐標(biāo)法）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4，以｛，，｝為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系D-xyz．z＝（0，－1，4），＝（0，1，4），y＝15，y．xx例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E1在D1C1上,且＝D1C1，試求直線E1F與平面D1AC所成角的大小．解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以｛，，｝為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，為D1AC平面的法向量，＝（1，1，1）．＝（，，－1），．所以直線E1F與平面D1AC所成角的正弦值為．例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大小．解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以｛，，｝為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則＝（1，1，0），＝（0，1，1）．設(shè)平面C1BD的法向量為＝（x，y，z）．由，，得：x＋y＝0，y＋z＝0．令x＝1，則y＝－1，z＝1，故＝（1，－1，1），同理，平面A1BD的法向量為＝（－1，1，1）．所以．依據(jù)圖形可知，二面角A1-BD-C1的大小約為70．53°．五、課堂小