2024年北京市朝陽(yáng)區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U={1,2,3,4}.A={XEU\X<2},，則CM=()

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在A4BC中,若Ca=26sin4,則NB=()

A1B公C.李吟D.3或：

A-3B.6

4.已知aeR,則“0<a<1”是“函數(shù)f(x)=（1-a）/在R上單調(diào)遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知直線(xiàn)可y+6=0和圓/+丫2=產(chǎn)0>0）相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=6,貝葉=（）

A.2B.273C.4D.3<2

6,已知等比數(shù)列{每}的前〃項(xiàng)和為先,且%+。2=1，a3+a4=4,則56=（）

A.9B.16C.21D.25

7.已知雙曲線(xiàn)C：3=1（。>0">。）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸作垂直于x軸的直線(xiàn)/,M,N分別是/

與雙曲線(xiàn)C及其漸近線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).若M是線(xiàn)段印的中點(diǎn)，則C的漸近線(xiàn)方程為（）

A.y=+xB.y=±^-xC.y=±-xD.y=±-^x

8.在△ABC中，AB=AC=2,BC=2g點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上.當(dāng)同?麗取得最小值時(shí)，24=（）

B-?D.j

A號(hào)4

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體48CD—A/iGDi中，E,F,G分別為棱BC,CG

的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)”在平面EPG內(nèi)，且D”=1,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在點(diǎn)”，使得直線(xiàn)。”與直線(xiàn)FG相交

B.存在點(diǎn)H,使得直線(xiàn)平面E/G

C.直線(xiàn)名”與平面EFG所成角的大小為與

D.平面斯G被正方體所截得的截面面積為苧

10.已知〃個(gè)大于2的實(shí)數(shù)久1，%2，…，Xn，對(duì)任意/0=12…，n),存在力22滿(mǎn)足％</，且%F=

yf,則使得%1+&+…+%九-1工15%成立的最大正整數(shù)幾為()

A.14B.16C.21D.23

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.在(口-1)6的展開(kāi)式中，1的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

12.已知拋物線(xiàn)％2=20丫(2>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=—l,則0=；設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)

M(&,yo)在拋物線(xiàn)上,若|OM|=|FM|,則y°=.

13.已知函數(shù)/(%)=｛1_若實(shí)數(shù)〃，b,c(aVb<c)滿(mǎn)足f(a)=/(b)=/(c),則a+

b=；a+b+c的取值范圍是.

14.已知函數(shù)/(%)=gsin2%.若曲線(xiàn)y=在點(diǎn)處的切線(xiàn)與其在點(diǎn)8(%2，/(%2))處的切線(xiàn)相互垂

直，則%1-冷的一個(gè)取值為.

15.設(shè)A,8為兩個(gè)非空有限集合，定義J(4B)=1-粵魯其中|S|表示集合S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、

|/iUo|

丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門(mén)高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目中自主

選擇3門(mén)參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為S],S2,S3,S4.已知S]=｛物理，化學(xué)，

生物｝,S2=｛地理，物理，化學(xué)｝,53=｛思想政治，歷史，地理｝,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若/(S2，S4)=1,則54=｛思想政治，歷史，生物｝;

②若/(S1，S2)=/(S1，S4),則54=｛地理，物理，化學(xué)｝;

③若54=｛思想政治，物理,生物｝,則/(Si，S4)</&2，S4)=/(S3，S4)；

④若/(Si,S。>/(S2，S4)=/(53"4),則S4=｛思想政治，地理,化學(xué)｝.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+s)(A>0,3>0,0<9</)的最小正周期為兀.

(I)若4=1,f(0)=苧，求9的值；

(II)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，確定f(x)的解析式，并求函數(shù)h(x)=

f(x)—2cos2%的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：/（久）的最大值為2；

條件②：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（震,0）中心對(duì)稱(chēng);

條件③：/⑴的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)給，、⑶.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.（本小題14分）

如圖，在三棱錐D—ABC中，側(cè)面DAC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

（I）求證：ACLBD；

（II）已知=AC=2,AD=72,尸是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，當(dāng)2尸18。時(shí)，求二面角F—4C—8的余

弦值.

18.（本小題13分）

為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向

全市高中學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)建模論文征文活動(dòng).對(duì)于參加征文活動(dòng)的每篇論文，由兩位評(píng)委獨(dú)立評(píng)分，取兩位評(píng)

委評(píng)分的平均數(shù)作為該篇論文的初評(píng)得分.從評(píng)委甲和評(píng)委乙負(fù)責(zé)評(píng)審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論

文的評(píng)分情況如下表所示.

序號(hào)評(píng)委甲評(píng)分評(píng)委乙評(píng)分初評(píng)得分

1678274.5

2808683

3617668.5

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

(I)從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率；

(II)從這10篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評(píng)委對(duì)同一篇論文的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的篇數(shù)記

為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(III)對(duì)于序號(hào)為i(i=1,2,…，10)的論文，設(shè)評(píng)委甲的評(píng)分為X”評(píng)委乙的評(píng)分為匕，分別記甲、乙兩位評(píng)

委對(duì)這10篇論文評(píng)分的平均數(shù)為夕，工標(biāo)準(zhǔn)差為s尹，Sz，以厘)作為序號(hào)為，的論文的標(biāo)準(zhǔn)化

zS甲S乙

得分.對(duì)這10篇論文按照初評(píng)得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號(hào)為2的論文的兩種排名

結(jié)果是否相同？(結(jié)論不要求證明)

19.(本小題15分)

已知橢圓E：盤(pán)+，=l(a>b>0)的離心率為苧，A,8分別是E的左、右頂點(diǎn)，P是E上異于A,8的

點(diǎn)，A4PB的面積的最大值為241

(1)求￡的方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線(xiàn)x=2上，N,P分別在x軸的兩側(cè)，且AAPB與ANBP的面積相等.

①求證：直線(xiàn)ON與直線(xiàn)AP的斜率之積為定值；

(ii)是否存在點(diǎn)尸使得AAPB絲ANBP,若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=(1—ax)ex(aER).

(I)討論/(%)的單調(diào)性；

(II)若關(guān)于x的不等式f(%)>a(l-%)無(wú)整數(shù)解，求a的取值范圍.

21.（本小題15分）

若有窮自然數(shù)數(shù)列A：的,。2，…，冊(cè)（幾之2）滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)A為當(dāng)數(shù)列：

①以之max｛cii+在_1，%+在一2,…，縱_1+。1｝（々=2,3,…，九），其中，max｛支?上，…，％｝表示％1，

牝，…，%,這S個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；

,>>

?ak<minfa-L+ak_lfa2+afc_2/*s以_1+%｝+l（/c=2,3,…，九），其中，max（x1/x2//｝表示》「

牝，…，%,這s個(gè)數(shù)中最小的數(shù).

（1）判斷4：2,4,6,7,10是否為反數(shù)列，說(shuō)明理由；

（II）若A：的,。2，…，生是%數(shù)列，且。1，。2，。3成等比數(shù)列，求。6；

（III）證明：對(duì)任意當(dāng)數(shù)列A：%,a2,…，an（n>2）,存在實(shí)數(shù)九使得以=/田a=1,2,…,九）.（印表

示不超過(guò)x的最大整數(shù)）

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)槿疷={1,2,3,4},A={xeU\x<2}={1},

則Q4={2,3,4).

故選：D.

先求出集合A,然后結(jié)合集合補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

本題主要考查了集合補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解.上=M3F=犯!=工+乙,

UflTVI13+;(3+0(3-i)9+11010

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為舄高)位于第一象限，

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】【分析】

通過(guò)正弦定理求與題設(shè)的條件求出sinB的值，進(jìn)而求出B.

本題主要考查正弦定理的運(yùn)用.在三角形邊、角問(wèn)題中常與面積公式、余弦定理等一塊考查，應(yīng)注意靈活

運(yùn)用.

【解答】

解：V~3a=2bsinZ

ab

sinZ一0

???根據(jù)正弦定理輸=白

b_b

"sinB—/3

~T

73

???sinB=

?'B=

故選C.

4.【答案】A

【解析】解:若函數(shù)"%）=（1-a）/在R上單調(diào)遞增，

則1-a>0,即a<1,

因?yàn)閧a[0<a<1}<{a\a<1},

所以"0<a<1”是“函數(shù)/（久）=（1一a）/在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

若函數(shù)f（x）=（1-。）乂3在R上單調(diào)遞增，貝打-a>0,求得a<l,再利用集合間的包含關(guān)系判斷即可.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：圓/+*=/T>0）的圓心為（0,0）,半徑為廠，

圓心到直線(xiàn)的距離d=9=3,

所以|4B|=2A/r2—d2,即6=2Vr2—9,

解得：r=3/2.

故選：D.

由圓的弦長(zhǎng)公式建立方程，求解即可.

本題考查圓的弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{即}中，a1+a2-1,a3+a4-4,

則q2=號(hào)1=4,

所以+。6=4（。3+。4）=16,

則56—+0,2+++Qg+=1+4+16=21.

故選：C.

由己知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出+。6,進(jìn)而可求.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)在求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意得，F(xiàn)(c,O),M(c,[),N(c,號(hào),

因M為線(xiàn)段FN的中點(diǎn)，

故如=空,

CLCL

所以c=2b,a2=c2—b2=3b2,即a=

故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±3久=±?久-

故選：C.

由題意先表示FN,M,然后結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得a,b關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)樵贏ABC中，AB=AC=2,BC=24，點(diǎn)P

在線(xiàn)段8C上，

所以以BC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為無(wú)軸，BC的中

垂線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則8(—C,。)，C(73,0),4(0,1),

設(shè)P20)(-<3<A<73),

則刀=(-尢1),pg=(_/3-2,0).

所以P2,PB=—A(—V-3—A)+1x0=下+——>

所以當(dāng)4=—苧時(shí)，PA,而取得最小值，

此時(shí)方=(苧,1)，所以|西=|1匚=3.

故選：B.

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)p(2,o)(-V^w2W，可)，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得麗?麗=(4+

亨)2_|,從而求得4=一亨，再求|兩|即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積與模，涉及二次函數(shù)的最值，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：連接。憶DG,所以|0F|=|DG|=字,|FG|=苧，取EG的中點(diǎn)M,連接。M,

所以|DM|=苧>1，點(diǎn)。到線(xiàn)段尸G的最短距離大于1,所以不存在點(diǎn)

H,使得直線(xiàn)。H與直線(xiàn)FG相交，

故A不正確；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,DA所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，

則E(1,O,》-1，F(xiàn)&1,O),G(O,1,》1，￡>(0,0,0),

所以前=(―：,1,一》，EG=(-1,1,0)，屁=(l,0[),

設(shè)平面EFG的法向量為元=(x,y,z),

所以回？=0,即卜”〉-*0,

^EG-n=0I—%+y=0

令久=1,則y=l,z=1,所以祠=(1,1,1),

所以點(diǎn)。到平面跖G的距離為塔空=義=￥<1,而DH=1,所以不存在點(diǎn)X,使得直線(xiàn)。H1平面

\n\2V32

EFG,故8不正確；

因?yàn)槲?(1,1,1),所以DBi，平面跖G,連接交EG于點(diǎn)。，所以。為的中點(diǎn)，DO=BrO=

--,

2

所以立當(dāng)”。為直線(xiàn)當(dāng)“與平面MG所成角，

因?yàn)椤！?1,在RtZk。。“中，sinNDH。=岑=歲，

DH2

所以4//。=會(huì)因?yàn)镽%OBi”與RM。。“全等，所以乙當(dāng)”。=ADH。=(故C正確；

延長(zhǎng)G尸交的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,連接EN交AB于尸，連接PR取的中點(diǎn)K,AA的中點(diǎn)J,連接

KG,EJ,KJ,

則KG〃EP,EJGF,KJ////PF,平面斯G被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長(zhǎng)為苧,

所以截面面積為6義段乂，義苧=孚，故。不正確.

2244

故選：C.

取FG的中點(diǎn)連接。可求得國(guó)叼=竿>1，可知不存在點(diǎn)”，使得直線(xiàn)。"與直線(xiàn)EG相交，進(jìn)

而可判斷A,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,DA所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量知識(shí)可判斷CD,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可判斷。.

本題主要考查了利用空間向量證明線(xiàn)面垂直，以及求直線(xiàn)與平面所成的角，考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬

于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：由且%22,>2,故%In%=々In%即“也=也,

xi%

令/0）=華（久22）,，（久）=審

故當(dāng)％E(2,e)時(shí)，/'(%)>0,當(dāng)％W(e,+8)時(shí),/'(%)<0,

即/(%)在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

由粵=字即/(%)=/(%)，故比i>e,2<yt<e,

又/'(2)=警=學(xué)=/⑷,故/<4,即e<Xj<4,

Z4

若尤1+x2+-+xn_j<15xn,則有15>YE…+—>生押,

xn4

即nW絲+1,由e=2.72,+1-22.06+1=23.06,

ee

故最大正整數(shù)〃為23.

故選：D.

構(gòu)造函數(shù)/（乃=竽022）,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得e<%W4,則有152巧+犯：+赤-1甘匕即可得

解.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了同構(gòu)的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

11.【答案】15

1cl

【解析】解：在（口―1）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：.+1=1式松尸CR=%（-1）33一尹,

1,

令3-5r=1,解得r=4,

故尤的系數(shù)為程（一1）4=15.

故答案為：15.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可求解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】22

【解析】解:因?yàn)橛?=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F,

所以F（O-）,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-,

又準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1,

所以％1,

解得P=2,

所以％2=4y,

M（&,yo）在拋物線(xiàn)上，

所以詔=4y0,

即也心苧），

所以|。叼2=/+（務(wù)=詔+竟

根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知：\FM\=d,（d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)y=-1的距離），

所以=（鳥(niǎo)+1）2=理+3+1,

因?yàn)閨OM|=\FM\,

所以￡=1,

解得以=2,

所以=守=宏

1

故答案為：2；2-

利用拋物線(xiàn)方程結(jié)合準(zhǔn)線(xiàn)方程即可求得p的值，再利用拋物線(xiàn)的定義即可求得y0.

本題考查拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】2[6,7)

【解析】解：畫(huà)出f(x)的圖象，如圖所示：

令5—x=1,得x=4,

所以4<c<5,

所以6Wa+b+c<7,

即a+6+c的取值范圍是[6,7).

故答案為：2；[6,7).

畫(huà)出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

14.【答案】-其答案不唯一)

【解析】解：f(x)=|sin2x.

則f'(x)=cos2x,

曲線(xiàn)y=/(久)在點(diǎn)aOi.fOi))處的切線(xiàn)的斜率的=C0S2%!，

曲線(xiàn)y=/(X)在點(diǎn)8(刀2，/(%2))處的切線(xiàn)上2=cos2x2,

由題意可知，ki-k2=—1,

貝！|cos2X1?COS2X2=—1>

不妨取X1=0,x2=I，滿(mǎn)足上式，

故修-久2的一個(gè)取值為-I(答案不唯一).

故答案為：-p答案不唯一).

根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】①③

【解析】解：對(duì)于①：/(52，54)=1—曾黜=1,

l^2U54l

所以|S2cs41=0,所以s2ns4=0,

又52=｛地理，物理，化學(xué)｝,所以54=｛思想政治，歷史，生物｝,①正確；

對(duì)于②：m1應(yīng))=雁1國(guó))，即螺喘4=3=今

|31*21P1U34I4，

所以2|S1ns/=島USJ所以|S1US4I必為偶數(shù)，又3W區(qū)US4IW6,

當(dāng)|S1US4|=6時(shí),|S1CSU=[0[=0,不符合2|S1CSj=|S1USJ

所以|S1US4I=4且電nsq=2,此時(shí)S4情況較多，比如54=｛物理，地理，生物｝,②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：若54=｛思想政治，物理，生物｝,貝U(S1,S4)=1-^=1，J(S2,S4)=1-^=1，J(S3,S4)=1-

1_4

5=5f

所以/(SLSD<J(S2fS4)=J(S3fS4)f③正確；

對(duì)于④：當(dāng)$4=｛物理，地理，歷史｝時(shí)，

142121

/⑸國(guó))=1十強(qiáng)廢2島)=1-2,嶼島)=l-^=p

滿(mǎn)足J(S1，S4)>/(S2,S4)=/(S3,S4),但不是S4=｛思想政治，地理，化學(xué)｝,④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

對(duì)于①③：直接根據(jù)定義計(jì)算即可；對(duì)于②：通過(guò)定義計(jì)算得到IS1US4I必為偶數(shù)，討論|S1US41=6和

IS1US4I=4兩種情況下的求解即可；對(duì)于④：通過(guò)舉例54=｛物理，地理，歷史｝來(lái)說(shuō)明.

本題屬于新定義試題，考查對(duì)于新定義的理解以及運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：由題意得，6J=-=2,

71

故/(%)=i4sin(2x+cp),

(1)若4=1,則f(x)=sin(2x+<jp)>f(0)=sin?=苧,

因?yàn)?<0<》

所以0=%

(II)因?yàn)閒(%)=i4sin(2x+cp),

若選①②，由①得，/(%)=2sin(2x+0),

q7r

由②得2X適+0=/CTT,fcGZ,

因?yàn)?<(pW，

所以以0屋，/(%)=2sin(2x4-^),

h(x)=/(%)—2cos2x=V_3sin2x—cos2x=2sin(2x—*),

令一［+2/CTT<2x—gg+2/CTT，kE.Z

解得，—B+kjiWxW^+kTT,kEZ,

o3

故函數(shù)以%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［一卷+?譚+時(shí)，kez；

若選①③，由①得，/(%)=2sin(2x+(p),

由③得'f(y1)=2sin/+9)=C且0V0<宏

所以9屋，/(%)=2sin(2%+9

h(x)=/(%)—2cos2x=V_3sin2x—cos2x=2sin(2x—*),

令——+2kli42.x——+2/C7T，kEZ,

zoz

解得，一g+/CTT<%<J+k",k￡Z,

O3

故函數(shù)h(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［—F+而(+"］，kez；

若選②③，/(%)=i4sin(2x+cp),

q

由②得，2x—7r+(p=k7T,kEZ,

因?yàn)?<(p<^9

所以以9=看/(%)=i4sin(2x+

由/位)=Asin號(hào)=V-3,可得Z=2,

所以/(%)=2sin(2x+^),

/i(x)=/(%)—2cos2%=V_3sin2x—cos2x=2sin(2x—》

令——+2/CTT<2x-gg+2/CTT，kCZ,

LoL

解得，—T4~kir<%Wj+kji，kE.Zf

OD

故函數(shù)九(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［弋+々植+時(shí)，kEZ.

【解析】(I)由已知結(jié)合周期公式可求3,結(jié)合力=1及〃0)=苧可求9；

(II)結(jié)合所選條件，結(jié)合最值與A的關(guān)系，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可分別求出

/(%),然后結(jié)合和差角公式及輔助角公式求出h(x),再由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】(I)證明：取AC的中點(diǎn)O,連接OB,

因?yàn)锳D=DC,AB=BC,

所以。D1AC,OBLAC,

又。。dOB=0,OD、OBu平面OBD,所以AC1平面OBD,

因?yàn)锽Du平面OBD,所以AC1BD.

A

(II)解：由(I)知，ACOBD,

因?yàn)椤u平面OBD,

所以力C1OF,

又OBIAC,所以NBOF即為二面角F—NC—B的平面角,

因?yàn)榱=AC=2,AD-yTi,

所以。A=1,OD=1,OB=2,

由（I）知，AC1BD,

因?yàn)?F1BD,ACQAF=A,AC,4Fu平面ACF

所以BD1平面AC尸，

又。Fu平面ACF,所以BD1OF,

因?yàn)閭?cè)面DHC1底面ABC,側(cè)面C底面4BC=4C,ODLAC,。。u平面AC。,

所以。。1平面ABC,

因?yàn)椤u平面ABC,

所以。D1OB,BD=VOD2+OB2=VI2+22=<5，

所以SABOD=^OD-OB=^BD?OF,

在RtABO尸中，c°sNBOF=^=子=￥，

OB25

故二面角尸-AC-8的余弦值為g.

【解析】(I)取AC的中點(diǎn)。，連接。。，OB,易知。。INC,OBLAC,再由線(xiàn)面垂直的的判定定理與性

質(zhì)定理，即可得證；

(H)由二面角的定義知NBOF即為所求，再結(jié)合線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定理證明。D1

OB,OFLBD,然后由等面積法及三角函數(shù)的知識(shí)求解即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線(xiàn)面平行的判定定理，線(xiàn)面垂直的判定、性質(zhì)定理，以及利用向

量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)設(shè)事件A為“從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)

值不超過(guò)5”，

在這10篇論文中，甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的有2篇，

所以PQ4)=^="；

(II)依題意，X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=m=3P(X=1)=冬=3P(X=2)=魯=白

5。13「io135o

所以X的分布列為

X012

771

P

151515

X的數(shù)學(xué)期望為EX=0x^+lx^+2x^=|：

（III）相同.

【解析】（/）直接利用古典概率公式即可求解；

（n）x的可能取值為o,1,2,利用超幾何分布分別求出概率，然后求解期望即可；

（III）結(jié)合序號(hào)為2的論文和3的論文的標(biāo)準(zhǔn)化排名即可求解.

本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，還考查了離散型隨機(jī)變量的期望及分布列的求解，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）由題知又初/5的最大值為3*2。*6=￡16,

ab=2V-2

e=-=—，解得。=2,b=V-2,

a2

a2=h2+c2

所以E的方程為：9+q=1；

（II）設(shè)N（2,t）,pGo,yo）*±2），則

證明：（i）由題知=SANBP，

所以抑8|%|=1|BN|（2一死）,

一仇

即罔=熱所以"

2ro'

設(shè)直線(xiàn)ON的斜率為女以，直線(xiàn)AP的斜率為％p,

所以k°N題P=g?算為=昌.癮=晶=沿=—1；

所以直線(xiàn)ON與直線(xiàn)AP的斜率之積為定值-1；

（譏）假設(shè)存在點(diǎn)p使得AAPB竺ANSP,因?yàn)閨4B|,|4P|,\NP\>\NB\,\BP\=\BP\,所以|4P|=|NB|,

由①可知t=蕓=磬&，所以J（x0+2）2+%=2|等I，即（軟+2）2+據(jù)=*產(chǎn)，

所以（久。+2/=/，又據(jù)=2—壬

所以8+2T=端,所以a+2尸=鼻嚴(yán),

整理得空算=0,解得x0=—2,與右力-2矛盾，

-

onZ%Q

所以不存在點(diǎn)P使得△APB=ANBP.

【解析】（I）由APAB的面積的最大值可得"的值，再由離心率的值，可得a,b的關(guān)系，進(jìn)而求出a,b

的值，即求出橢圓的方程；

設(shè)N,尸的坐標(biāo)，由A4PB與ANBP的面積相等，可得N的縱坐標(biāo)與P的坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線(xiàn)

ON,AP的斜率之積，整理可證得ON,AP的斜率之積為定值；

(ii)存在點(diǎn)P使得AAPB名ANBP,由①可得點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-2,由題意可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)不等于-2,可

得假設(shè)不成立.

本題考查橢圓的方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解:函數(shù)的定義域?yàn)?-%+8).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，f(x)-ex,則函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a豐0時(shí)，f'(x)=(1—a—ax)ex=-a(x—~p)eX>

①若a>0,當(dāng)平時(shí)，fz(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(?,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,平)上單調(diào)遞增.

②若a<0,當(dāng)萬(wàn)〉平時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(寧,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<十時(shí)，f(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,平)上單調(diào)遞減.

(H)由/'(x)>a(l—x)可得a(x—靛-)<1,

設(shè)函數(shù)八(久)=》一3。6/?)，則"(久)=勺匚，

令t(x)=ex+x—2,則t'(x)=ex+1>0,

所以函數(shù)t(x)在區(qū)間(-00,+8)上單調(diào)遞增.

又t(0)=-1<0,t(l)=e-1>0,

所以函數(shù)t(x)在區(qū)間(一8,+8)上存在唯一零點(diǎn)6(0,1),

所以函數(shù)何式)在區(qū)間(-OO,&)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(%0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)久W0時(shí)，h(x)>h(0)=1,當(dāng)x21時(shí)，h(x)>h(l)=1.

①若aW0,當(dāng)xW0時(shí)，a,h(x)W0<l,

此時(shí)a?h(久)<1有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解，不符合題意.

②若aNL因?yàn)楹瘮?shù)旗久)在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xeZ時(shí)，旗久)>min{h(0),h(l)}=1>

所以ad(x)<1無(wú)整數(shù)解，符合題意.

③若0<a<1,因?yàn)閔(0)=/i(l)=1<：,

所以0,1是a?%(%)<1的兩個(gè)整數(shù)解，不符合題意.

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

【解析】(I)對(duì)。分類(lèi)討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(II)由/(久)>a(l-x)可得a(x-J)<1,設(shè)函數(shù)九(無(wú))=x一3(%eR),利用導(dǎo)數(shù)判斷拉(乂)的單調(diào)性及

大小，再對(duì)。分類(lèi)討論，求出符合題意的。的取值范圍.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

21.【答案】解：(1)42,4,6,7,10不是殳數(shù)列.理由如下：

因?yàn)?8,=8,

所以max?1+a3,a2+a2]=8.

但*=7<8,所以A不滿(mǎn)足性質(zhì)①，故不是為數(shù)列.

(H)根據(jù)舔數(shù)列的定義，可知A：。1，。2，…，。6滿(mǎn)足：

。2=~+Q]+1，。3=+。2+1，

(1)若。2=+。1，因?yàn)榈模模?成等比數(shù)列，所以。3=%=4。1，

al

又因?yàn)榈腤0,所以的W%.+

當(dāng)。3=%+劭+1時(shí)，由。3=3al+1=4al得的=1,

(2)若+1，因?yàn)椤?，。2，。3成等比數(shù)列，所以。3="=+

當(dāng)。3=%+。2時(shí)，由。3=3al+1=+得%=

與由是自然數(shù)矛盾，舍去；

當(dāng)?shù)?%+劭+1時(shí)，由的=3al+2=(2%+1)得%——1,

與的是自然數(shù)矛盾，舍去；

所以Qi=1,a2—2,a3=4,

由的+%=5,。2+。2=4,以及max