2019-2020學年江蘇省南京市玄武區八年級第二學期期末數學試

卷

一、選擇題（共6小題）.

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.在一個不透明的盒子里裝有3個紅球和2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸

出3個球，下列事件中，不可能事件是（

A.摸出的3個球都是紅球

B.摸出的3個球都是白球

C.摸出的3個球中有2個紅球1個白球

D.摸出的3個球中有2個白球1個紅球

3.下列運算中，正確的是（）

113x+y=3

A------------?--------------

,-x-yx-y2x+y—2

x+y

4.下列說法正確的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.每一條對角線都平分一組對角的四邊形是菱形

D,對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

k

5.如圖，點A在反比例函數y=—（x>0）的圖象上，C是y軸上一點，過點A作AB_Lx

x

軸，垂足為5,連接AC、BC.若△ABC的面積為3,則#的值為（）

A.9B.6C.3D.1.5

6.如圖，在矩形48c。中，A8=5,BC=6,點E在3c邊上，且3E=2,尸為A5邊上

的一個動點，連接EF,以EF為邊作等邊△E/G,且點G在矩形ABCD內，連接CG,

則CG的最小值為（）

A.3B.2.5C.4D.2日

二.填空題（共10小題）

7.代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是.

8.若分式三二支的值為0,則x的值為_____.

x-2

9.計算^V8a（”》0）=.

10.一個不透明的袋子中裝有若干個除顏色外都相同的小球，小明每次從袋子中隨機摸出

一個球，記錄下顏色，然后放回，重復這樣的試驗3000次，記錄結果如下：

實驗次數”100200300500800100020003000

摸到紅球次數利6512417830248162012401845

摸到紅球頻率也0.650.620.5930.6040.6010.6200.6200.615

n

估計從袋子中隨機摸出一個球恰好是紅球的概率約為.（精確到0.1）

11.用配方法解一元二次方程好+6*+1=0時，配方后方程可化為：.

12.已知點A（-1,ji）、B（2,j2）在反比例函數7="e■的圖象上，且山＞?2,則in

x

的取值范圍是.

13.如圖，順次連接菱形A5C￡＞的各邊中點E、RG、H.若AC=a,BD=b,則四邊形

EFGH的面積是

kn

14.已知一次函數（.ki,為常數）與反比例函數%=—2（上為常數），函數以、

x

力與自變量x的部分對應值分別如表1、表2所示：

表1:

X???-203???

???

J1-3-12…

表2:

X???-136???

???-621???

kn

則關于上的不等式芯X+BV=的解集是.

X

15.如圖，菱形紙片ABCD,AB=4,ZB=60°,將該菱形紙片折疊，使點B恰好落在

CZ）邊的中點5'處，折痕與邊8C、R4分別交于點M、N,則8M的長為.

16.如圖，符邊長為2的正方形繞點A按逆時針方向旋轉，得到正方形AB'CD,,

連接8萬、BC,在旋轉角從0°到180°的整個旋轉過程中，當BB'=BCr時，4BB，

C的面積為.

三、解答題（本大題共11小題，共88分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

17.計算:

⑴^-+3^/12-748；

(2)

18.解分式方程:

5x+23

x2+xx+1*

（2）

x-l2x~2

19.解一元二次方程:

(1)x2+2x-1=0;

（2）（x-3）2=2X-6.

20.先化簡，再求值：（x+-^―）4-（1+」77），其中x=-2.

x-2x-22

21.某中學圖書館將全部圖書分為自然科學、文學藝術、社會百科、哲學等四個類別，為

了了解圖書的借閱情況，圖書管理員隨機抽取了某月圖書的借閱情況進行統計，并繪制

成如下尚不完整的統計表和統計圖.

（1）該月四類圖書的借閱冊數一共是冊，其中“自然科學”類所占的百分比

是;

（2）補全條形統計圖，并算出扇形統計圖中“哲學”對應扇形的圓心角度數為°;

（3）若該中學打算購買四類圖書共10000冊，根據上述信息，請你估算“哲學”類圖書

應購買多少冊？

某中學圖書館某月各類圖書某中學圖書館某月各類圖書的

借閱冊數分布扇形統計圖

22.一輛貨車和一輛轎車從南京出發，均沿滬寧高速公路勻速駛向目的地上海，已知滬寧

高速公路全長約300hm設貨車的速度是到達上海所用的時間為y/z.

(1)寫出y關于x的函數表達式；

(2)滬寧高速公路規定：貨車的速度不得超過90km/h,求貨車到達上海所需的最短時

間；

(3)若轎車的速度是貨車的1.5倍，轎車到達上海所用的時間比貨車少1小時15分鐘，

求轎車的速度.

23.如圖，在口4BC。中，將對角線30分別向兩個方向延長至點E、尸，JLBE=DF.連

接A尸、CF.CE、AE.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若40=4,BE=3,NADB=NCBD=90°,當四邊形AECF是矩形時，貝寸BD

的長為.

24.已知關于x的一■元二次方程(x-m)2+2(x-m)=0(，”為常數).

(1)求證：不論機為何值，該方程總有兩個不相等的實數根.

(2)若該方程有一個根為4,求m的值.

25.如圖，在下列方格紙中，4、B是兩個格點，請用無刻度的直尺在方格紙中完成下列畫

圖.(不寫畫法，保留畫圖痕跡)

(1)畫出一個NA3C,使得NA8C=45°;

(2)畫出線段AB的垂直平分線.

26.（1）如圖①，在菱形A5C￡）中，P、。分別是邊5C、CD上的點，連接AP、AQ,且

ZPAQ=ZB.求證：AP=AQ.

下面是小文對這道試題的思考，先研究特殊情況，再證明一般情況.

（I）如圖②，當AP_L5C于點尸時，請在下列框圖中補全他的證明思路.

小文的證明思路

要證AP=A0,只要證由己如條件知四邊形A5CD是菱形，可得A3

=AD,,故只要證NAP5=NAQ。.由,得NAP5=NAPC=90°,故

只要證NAQZ＞=90°.即證NAQC=90°,易證NPAQ+NAPC+NC+NAQC=360°,

故只要證.由已知條件知NP4Q=N5,易證N5+NC=180°,即可得證.

（II）如圖①，當AP與不垂直時，……請你完成證明.

小文完成證明后，又進一步思考，提出下列問題，請你完成解答.

（2）如圖③，在菱形A5CZ＞中，P、。分別是5C、CZ＞延長線上的點，且NPAQ=N5.若

AB=4,ZB=60°,ZAPB=45°,則四邊形ABC0的面積是.

圖①圖②圖③

27.在平面直角坐標系中，尸是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點尸分別作x

軸，y軸的垂線，如果由點P,原點，兩個垂足這4個點為頂點的矩形的周長與面積相等，

那么稱這個點P是平面直角坐標系中的“奇點”，例如：如圖①，過點尸（4,4）分別

作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,矩形。4P5的周長為16,面積也為16,周長

與面積相等，所有點P是奇點，請根據以上材料回答下列問題：

（1）已知點C（2,2）,O（-4,-4）,E（當，-5）,其中是平面直角坐標系中

O

的奇點的有;（填字母代號）

（2）我們可以從函數的角度研究奇點，已知點尸（x,y）是第一象限內的奇點.

I.求y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

II.借鑒研究一次函數和反比例函數的經驗，類似地可以對I中所求出的圖象和性質進

行探索，下列結論正確的是（填寫所有正確的序號）；

①圖象與坐標軸沒有交點；

②在第一象限內，y隨著x的增大而減小；

③對于圖象上任意一點（x,y）,（x-2）?（j-2）是一個定值.

（3）在第一象限內，直線7=h+8a為常數）上奇點的個數隨著上的值變化而變化，

直接寫出奇點的個數及對應的k的取值范

1010

88

66

?

乃TR4,4)4

2

?,i??.

246810.v246810x

備用圖

參考答案

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰

有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

5、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

2.在一個不透明的盒子里裝有3個紅球和2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸

出3個球，下列事件中，不可能事件是（）

A.摸出的3個球都是紅球

B.摸出的3個球都是白球

C.摸出的3個球中有2個紅球1個白球

D.摸出的3個球中有2個白球1個紅球

【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可區別各類事件.

解：4、摸出的3個球都是紅球是隨機事件，故4錯誤；

5、只有2個白球，摸出的3個球都是白球是不可能事件，故5選項正確；

C、摸出的3個球中有2個紅球1個白球是隨機事件，故C錯誤；

。、摸出的3個球中有2個白球1個紅球是隨機事件，故。錯誤;

故選：B.

3.下列運算中，正確的是()

3xjy_=3_

2x+y—2

y-x1

22="

x-yxv++yv

【分析】根據分式的基本性質逐個判斷即可.

解：A、=z1.=--,故本選項不符合題意;

-x-y-kx+yjx+y

譽工==，衿1琦，故本選項不符合題意;

8、

2(x+y)22x+y2

222

H')—=x+y,%-+'一于x+y,故本選項不符合題意;

x+yx+y

y-x_-(x-y)_

故本選項符合題意;

、x2-y2(x+y)(x-y)x+y

故選：D.

4.下列說法正確的是()

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.每一條對角線都平分一組對角的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【分析】根據平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定逐個判斷即可.

解：4、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，故本選項不符合題

意；

8、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項不符合題意；

,在△AO5和△CDB中

'N1=N2

<BD=BD,

23=N4

:AADB冬4CDB(ASA),

：.AD=CD,AB=CB,

同理△AC。義△AC5,

：.AB=AD,BC=DC,

即AB=BC=CD=AD,

四邊形ABC。是菱形，故本選項符合題意；

。、對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，故本選項不符合題意；

故選：C.

k

5.如圖，點A在反比例函數y=，（x>0）的圖象上，C是y軸上一點，過點A作

x

A.9B.6C.3D.1.5

【分析】連結04,如圖，利用三角形面積公式得到SaoAB=SAAsc=3,再根據反比例函

數的比例系數"的幾何意義得到寺固=3,然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值.

解：連結。4,如圖，

軸,

:.0C//AB,

：?S^OAB—S^ABC—3,

而S^OAB=-^\k\,

弓|川=3,

VJt>0,

:?k=6?

故選：B.

6.如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=6,點E在BC邊上，且5E=2,尸為48邊上

的一個動點，連接EF,以EF為邊作等邊尸G,且點G在矩形A5C。內，連接CG,

則CG的最小值為（）

A.3B.2.5C.4D.2M

【分析】由題意分析可知，點廠為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全

等關系，得到點G的運動軌跡，再通過垂線段最短構造直角三角形獲得CG最小值.

解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在

直線軌跡上運動,

將尸5繞點E旋轉60°,使E尸與EG重合，得到△EFBgAEHG,

從而可知△E577為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上,

作CMLHN,則CM即為CG的最小值，

作EP±CM,可知四邊形HEPM為矩形,

則CM=MP+CP=HE+^EC=2+2=4,

故選：c.

二.填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫出解答過程，請把答案直接

填寫在答題卡相應位置上）

7.代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是.

【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

解：^?^^/n在實數范圍內有意義，

Ax-1^0,

解得

故答案為：x^l.

2_.

8.若分式三二支的值為0,則x的值為-2.

x-2

【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零，且分母不為零，進而得出答案.

解：由題意，得

x2-4=0且x-2于0,

解得x=-2,

故答案為：-2.

9.計算V8a（a，0）=4a.

【分析】直接利用二次根式乘法運算計算，進而化簡即可.

解：V2a*V8a（”20）=716a2=4a-

故答案為：4a.

10.一個不透明的袋子中裝有若干個除顏色外都相同的小球，小明每次從袋子中隨機摸出

一個球，記錄下顏色，然后放回，重復這樣的試驗3000次，記錄結果如下：

實驗次數〃100200300500800100020003000

摸到紅球次數加6512417830248162012401845

摸到紅球頻率也0.650.620.5930.6040.6010.6200.6200.615

,一'n

估計從袋子中隨機摸出一個球恰好是紅球的概率約為(精確到0.1)

【分析】根據表格中的數據，可以估計從袋子中隨機摸出一個球恰好是紅球的概率，本

題得以解決.

解：由表格中的數據可得，

從袋子中隨機摸出一個球恰好是紅球的概率約為0.6,

故答案為：0.6.

11.用配方法解一元二次方程廣+6*+1=0時，配方后方程可化為：(x+3)2=8.

【分析】移項，配方，再根據完全平方公式進行變形，即可得出答案.

解：?.?x2+6x+l=0,

/.X2+6X=-1,

.,.x2+6x+9=-1+9,

/?(x+3)2=8,

故答案為：(x+3)2=8.

12.已知點A(-1,ji)>B(2,j2)在反比例函數y=3■工的圖象上，且貝寸m

x

的取值范圍是7"V1.

【分析】根據點A、5的坐標和以>刈可以判定該雙曲線在第二、四象限，則m-l<0.由

此可以求得m的取值范圍.

解：(-1,%)、5(2,J2)是反比例函數7=工二1的圖象上的兩點，且力>72,

X

...反比例函數y=QL的圖象在第二、四象限，

X

:?m-1<0,

解得m<l

故答案為：m<l.

13.如圖，順次連接菱形A5CD的各邊中點E、F、G、H.若AC=〃，BD=b,則四邊形

的面積是—ab.

-4------

【分析】根據菱形的性質、矩形的判定定理可以證得四邊形E尸GH是矩形.由三角形中

位線定理和矩形的面積公式進行填空.

解：?.?點E、尸分別是菱形A3、邊上的中點，

.?.E尸是△ABC的中位線，

：.EF=^AC,JLEF//AC.

同理，HG=^AC,且HG〃AC,

：.EF=HG,JLEF//HG.

：.四邊形EFGH是平行四邊形.

：.EH//FG,EH=FG=^BD.

又；四邊形A5CZ）是菱形，

：.AC±BD,

：.EF±EH,

二四邊形EFGH的面積=EREH=^-a*

故答案是：^ab.

4

kn

14.已知一次函數（ki98為常數）與反比例函數（超為常數），函數以、

x

,2與自變量X的部分對應值分別如表1、表2所示:

表1:

X???-203???

??????

J1-3-12

表2:

X???-136???

J2???-621???

kn

則關于x的不等式歸X+5V，■的解集是xV-2或0VxV3.

x

【分析】用待定系數法求出兩個函數的解析式，再畫出草圖，根據函數圖象的位置關系

求得不等式的解集.

解：把x=-2,7=-3和匯=0,y=-1代入一次函數的解析式）1=紅什）得，

（-2k1+b=~3

lb=-l'

工戶

解得，1，

lb=-l

???一次函數的解析式為：yi=x-1；

、ko.

把x=3,y=2代入反比例函數的解析式”=—土中得,

x

k=6,

二反比例函數的解析式為：丫24，

y=x-l

聯立方程組、6

y=-

x

x=-2x=3

解得,y=-3'或

y=2'

二直線…-1與雙曲線々號的交點為:

(-2,-3)或(3,2),

由函數圖象可知，當雙曲線在直線上方時，xV-2或0Vx<3,

kn

???關于x的不等式右X+5V上的解集是XV-2或0VxV3,

x

故答案為：xV-2或0VxV3.

15.如圖，菱形紙片ABCD,AB=4,ZB=60°,將該菱形紙片折疊，使點B恰好落在

CZ）邊的中點3'處，折痕與邊5C、R4分別交于點M、N,則5M的長為2.8.

【分析】過點加作3'E_LBC,與BC的延長線交于點E,解直角三角形3'CE得B，

E,CE,設5M=x,用x表示ME,MB',再用勾股定理列出x的方程進行解答.

解：過點8'作3'EJ.BC,與BC的延長線交于點E,

?四邊形A8CD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=4,AB//CD,

'：B'是CD的中點，

：.B'C=2,

"：ZB=60",

AZB'CE=ZB=60°,

.*.CE=yBzC=l,BrE=B'C*sin60°=?,

設BM=x,貝寸ME=BC+CE-BM=4+1-x=5-x,

由折疊性質知，B'M=BM=x,

,：BrM2-ME2=B,E2,

***X2-（5-X產=（百）°，

故答案為：2.8.

16.如圖，將邊長為2的正方形4BC￡）繞點4按逆時針方向旋轉，得到正方形A5'CD',

連接3戌、3C',在旋轉角從0°到180°的整個旋轉過程中，當時，ABB'

【分析】當點）在直線A5右側時，如圖，過點3作BEJ?方。于E,延長E5交AZT

于歹，由旋轉的可得A3=A"=5'C'=AZ>'=2,ZBAD=ZB'AD'=90°=ZC'B'A,由

等腰三角形的性質可求5'E=CE=1,通過證明四邊形3'E尸4是矩形，可得AF=9E

=1,EF=AB'=2,

由勾股定理可求5F的長，可得5E的長，由三角形面積公式可求解；若點"在直線48

的左側時，過點3作5M于M,交⑷少于N,相同的方法可求解.

解：當點少在直線45右側時，如圖，過點5作3E_L￡C于E,延長E3交于尸，

.C

\?將邊長為2的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉,

：.AB=AB'=B'C'=AD'=2,ZBAD=ZB'AD'=90°=ZC'B'A,

'：BB'=BC,BE±B'C',

；.B'E=C'E=1,

,：BEA.B'C',ZB'AD'=ZAB'C'=9Q°,

二四邊形B'EFA是矩形,

：.AF=B'E=1,EF=AB'=2,

：.BF=yjAB2-AF2=V4-l=V3?

:.BE=2-M，

:ABB，C的面積—BCXBE忖X2X(2-而=2-、怎

若點少在直線A5的左側時，過點3作5MJ■9。于M,交4少于N,

同理可求5N=J5,

:.BM=MN+BN=2+V3,

C的面積=/3'C'XBAf=￡x2X(2+5/3)=2+73；

綜上所述：ABB，C的面積為2+、/§或2-

三、解答題(本大題共11小題，共88分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

17.計算：

⑴748；

⑵整文得值

【分析】(D直接化簡二次根式進而合并得出答案;

(2)利用二次根式混合運算計算得出答案.

解：(1)V12-V48

=^~+6遮-473

O

-7V3.

3，

⑵宇5

煙娓

+2品12

V5

=3-2

=1.

18.解分式方程：

小5x+23

x+xx+l

【分析】(D方程兩邊都乘以x(x+l)得出5x+2=3x,求出方程的解，再進行檢驗即

可；

(2)方程兩邊都乘以2(x-1)得出2x=3-4(x-1),求出方程的解，再進行檢驗即

可.

解：(1)方程兩邊都乘以x(x+l)得：5x+2=3x,

解得：x=-l,

檢驗：當x=-1時，x(x+l)=0,

所以x=-l是增根，

即原方程無解；

(2)方程兩邊都乘以2(x-1)得：2x=3-4(x-1),

解得：x=?7，

6

7

檢驗：當》=:時，2(x-1)豐0,

6

7

所以是原方程的解，

7

即原方程的解是：*=3.

6

19.解一■元二次方程：

(1)x2+2x-1=0;

(2)(x-3)』2x-6.

【分析】(D移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;

(2)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解(1)Vx2+2x-l=0,

/.x2+2x=l,

/.X2+2X+1=1+1,

/.(x+1)2=2,

.*.x+l=士

/?Xl=-1+^/2,X2=-1i叵;

(2)?:(x-3)』2x-6,

:.(x-3)-2(x-3)=0,

???(x-3)(x-3-2)=0,

?\x-3=0,x-3—2=0,

/?Xi=3,X2=5.

20.先化簡，再求值：(x+-^-)-r(l+」77),其中x=-3.

x-2x-22

【分析】利用分式的加減乘除法則，先化簡分式，再代入求值即可.

解：原式=2.%2X+1-X-2；1

x-2x-2

=(x7/：x-l

x-2'x-2

X-1

=x-1.

當X=■時，

原式=1

=_3_

__7-

21.某中學圖書館將全部圖書分為自然科學、文學藝術、社會百科、哲學等四個類別，為

了了解圖書的借閱情況，圖書管理員隨機抽取了某月圖書的借閱情況進行統計，并繪制

成如下尚不完整的統計表和統計圖.

(1)該月四類圖書的借閱冊數一共是，冊，其中“自然科學”類所占的百分比是

20%;

(2)補全條形統計圖，并算出扇形統計圖中“哲學”對應扇形的圓心角度數為;

（3）若該中學打算購買四類圖書共10000冊，根據上述信息，請你估算“哲學”類圖書

應購買多少冊？

某中學圖書館某月各類圖書某中學圖書館某月各類圖書的

借閱冊數分布扇形統計圖

【分析】（1）根據社會百科的人數和所占的百分比求出總冊數，再用“自然科學”的冊

數除以總冊數即可得出“自然科學”類所占的百分比;

（2）用360°乘以“哲學”所占的百分比即可；

（3）用總本數乘以哲學”所占的百分比即可.

解：（1）該月四類圖書的借閱冊數一共是：5004-25%=2000（冊）；

其中“自然科學”類所占的百分比是：黑;X100%=20%;

（2）在扇形統計圖中“哲學”對應扇形的圓心角度數為：360°義―?。?；；：｝U-5UU

=18°;

故答案為：18;

（3）根據題意得：

10000X200°Y*港°-500=500（冊），

答：“哲學”類圖書應購買500冊.

22.一輛貨車和一輛轎車從南京出發，均沿滬寧高速公路勻速駛向目的地上海，已知滬寧

高速公路全長約300hn.設貨車的速度是xhn/7i,到達上海所用的時間為y/z.

（1）寫出y關于x的函數表達式；

（2）滬寧高速公路規定：貨車的速度不得超過90km/h,求貨車到達上海所需的最短時

間；

（3）若轎車的速度是貨車的1.5倍，轎車到達上海所用的時間比貨車少1小時15分鐘,

求轎車的速度.

【分析】（1）直接利用行駛時間=總路程+速度得出函數關系式；

（2）求出x=90時得出y的值，再利用反比例函數的增減性得出答案；

（3）根據已知表示出兩種車的速度，再利用轎車到達上海所用的時間比貨車少1小時

15分鐘，進而得出答案.

解：（1）設貨車的速度是蓊7〃/瓦到達上海所用的時間為訕，根據題意可得：

xj=300,

小、3g小、300p30030010

（2）把x=90代入y=——，得>=——=-TT-=—,

xx903

根據反比例函數的性質，當x>0時，y隨X的增大而減小，

所以當xW90km/h時，貨車到達上海所需的最短時間為羋小時；

O

（3）根據題意可得：-

x1.5x4

解方程得：x=80,

經檢驗得：x=80是原方程的解，且符合題意，

1.5x=120,

答：轎車的速度為120km/h.

23.如圖，在中，將對角線30分別向兩個方向延長至點E、尸，J.BE=DF.連

接A尸、"、CE、AE.

（1）求證：四邊形AEC尸是平行四邊形；

（2）若AO=4,BE=3,ZADB=ZCBD=90°,當四邊形AECF是矩形時，貝寸BD

7

的長為_?

【分析】（1）連結AC,由平行四邊形的性質得出O4=OC,OB=OD,證出OE=OF,

即可得出四邊形AEC歹是平行四邊形.

（2）根據題意可得3E=OF=3,根據勾股定理可求A尸，AA可證△MLOSAFEA,根

據相似三角形的性質可求EF,從而求得30的長.

【解答】（1）證明：連結AC,

；四邊形A3C。是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

'：BE=DF,

：.OE=OF,

：.四邊形AECF是平行四邊形.

（2）解：BE=DF=3>,

；NADB=NCBD=9Q°,

.,.AF=7AD2+DF2=5,

...四邊形AECb是矩形，

AZFAE=90°,

：.ZFAE=ZADF,

"：ZAFD=ZEFA,

：./^FAD^AFEA(AA),

.FE=ZABPFE=1

**FAFD*53'

9R

解得FE=弩,

o

?nn一一25-7

??BD=~——3―3".

24.已知關于x的一■元二次方程（x-?i）2+2（x-m）=0（機為常數）.

（1）求證：不論機為何值，該方程總有兩個不相等的實數根.

（2）若該方程有一個根為4,求m的值.

【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=4>0,由此即可證出：不

論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）將x=4代入原方程，即可得出關于機的一元二次方程，解之即可得出結論.

【解答】（1）證明：（x-?z）42（x-m）=0,

原方程可化為丫2-（2m-2）x+m2-2m=0,

"."a=l,b=-（2m-2）,c=m2-2m,

4ac=[-（,2m-2）]2-4（m2-Ini'）=4>0,

...不論"為何值，該方程總有兩個不相等的實數根.

（2）解：將x=4代入原方程，得：（4-機）2+2（4-/?）=0,m2-10/n+24=0,

解得：mi=4,mi=6.

故m的值為4或6.

25.如圖，在下列方格紙中，4、5是兩個格點，請用無刻度的直尺在方格紙中完成下列畫

圖.（不寫畫法，保留畫圖痕跡）

（1）畫出一個NA5C,使得NA5C=45°;

（2）畫出線段A3的垂直平分線.

【分析】（D根據網格即可畫出一個NA5C,使得NABC=45°;

（2）根據網格即可畫出線段A8的垂直平分線.

解：（1）如圖，NA3C即為所求：

（2）如圖，直線/即為所求.

26.（1）如圖①，在菱形中，尸、。分別是邊BC、C￡）上的點，連接AP、AQ,且

ZPAQ=ZB.求證：AP=AQ.

下面是小文對這道試題的思考，先研究特殊情況，再證明一般情況.

（I）如圖②，當AP_L3C于點尸時，請在下列框圖中補全他的證明思路.

小文的證明思路

要證AP=A。，只要證△ABPgZkAOQ.由己如條件知四邊形A3C。是菱形，可得A5

=AD,NB=ZD,故只要證NAPB=NAQD由4PL3C,得NAPB=NAPC

=90",故只要證NAQ0=9O°.即證NA0C=9O°,易證NPA0+NAPC+NC+NAQC

=360°,故只要證NPAO+NC=180°.由已知條件知NPAQ=N5,易證NB+N

C=180°,即可得證.

(II)如圖①，當A尸與8c不垂直時，……請你完成證明.

小文完成證明后，又進一步思考，提出下列問題，請你完成解答.

(2)如圖③，在菱形48。中，P、。分另4是5C、CD延長線上的點，且NPAQ=N5.若

A8=4,ZB=60°,ZAPB=45°,則四邊形ABC。的面積是6+6?.

圖①圖②圖③

【分析】(D(I)根據全等三角形的判定即可解決問題.

(II)如圖①中，過點A作AM±BC于M,ANLCD于N.證明注△AN0(AAS)

即可解決問題.

(2)如圖③中，過點A作AAf_L3C于M,ANLCD于N.利用全等三角形的性質證明

ZAQC=45°,解直角三角形求出AN,CQ,利用梯形的面積公式求解即可.

解：(1):(I)票證AP=A0,

只要證△AAPgZkA。。，

由己如條件知四邊形A5CZ)是菱形，可得AB=A。，ZB=ZD,

故只要證NAP5=ZAQD,

由AP_L8C,得NAP3=NAPC=90°,

故只要證NA2O=90°.即證NAQC=90°,

因為NPA0+NAPC+NC+NA0c=360°,

故只要證NAPQ+NC=180°.由已知條件知NPAQ=N8,

可得NB+NC=180°,即可得證.

故答案為：NB=ND,AP±BCfNAP0+NC=180°.

(II)如圖①中，過點A作AMLL3C于M,AN_LCD于N.

：.AM=AN9ZAMP=ZANQ=9Q°,AB//CD,

AZB+ZC=180°,

?：NPA?=NB,

???NPA0+NC=18O°,

：.ZAPC+ZAQC=180°,

VZAPM+ZAPC=180°,

AZAPM=ZAQN9

：.AAMP^AANQ(AAS),

：.AP=AQ.

(2)如圖③中，過點A作AM_L5C于M,AN工CD于N.

圖③

同法可證，△AMPg/kAN。(AAS),

AZAPM=ZAQN=45°,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AD=AB=CD=4fZB=ZADC=60°,

VZANQ=9Q°,ZAQN=45°

：.AN=NQ=AD-sin60°=2愿，DN=AD,cos60°=2,

：.CN=DN=2CQ=CN+NQ=2+2

9。

???S四邊形ABC?一；?（.AB+CQ）?AN=/?（4+2+2代）?2?=6+6愿，

故答案為6+6*y§.

27.在平面直角坐標系中，P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x

軸，y軸的垂線，如果由點P,原點，兩個垂足這4個點為頂點的矩形的周長與面積相等，

那么稱這個點尸是平面直角坐標系中的“奇點”，例如：如圖①，過點尸（4,4）分別

作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,矩形Q4P5的周長為16,面積也為16,周長

與面積相等，所有點尸是奇點，請根據以上材料回答下列問題：

（1）已知點C（2,2）,O（-4,-4）,E（當，-5）,其中是平面直角坐標系中

O

的奇點的有D,E;（填字母代號）

（2）我們可以從函數的角度研究奇點，已知點P（x,y）是第一象限內的奇點.

I.求y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍;

II.借鑒研究一次函數和反比例函數的經驗，類似地可以對I中所求出的圖象和性質進

行探索，下列結論正確的是①②③（填寫所有正確的序號）；

①圖象與坐標軸沒有交點；

②在第一象限內，y隨著x的增大而減小；

③對于圖象上任意一點G,j）,（x-2）?（j-2）是一個定值.

（3）在第一象限內，直線）=丘+8（左為常數）上奇點的個數隨著后的值變化而變化，

直接寫出奇點的個數及對應的k的取值范

■

10-

8-

6-

圍.4-

2-

246810x

①備用圖

【分析】（1）根據新定義進行判斷便可;

（2）I.根