平面向量基本定理（1）小明從A到B，再從B到C，則他兩次的位移之和是：ABCD（2）向量共線定理：三角形法則平行四邊形法則首尾相連，連首尾起點相同連對角11六月2024OMNC即向量的分解AB

給定平面內兩個不共線的向量e1,e2,可表示平面內任一向量a嗎？探究：2．3.1平面向量基本定理學習導航預習目標重點難點

重點：平面向量的基本定理及其應用，兩向量的夾角及垂直．難點：平面向量基本定理的應用．新知初探思維啟動1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個__________向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝_______________．(2)我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組__________．不共線λ1e1＋λ2e2基底做一做1.下列關于基底的說法正確的是(

)①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底．②基底中的向量可以是零向量．③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①B．② C．①③ D．②③答案：C非零向量∠AOB①范圍：向量a與b的夾角范圍是____________________．②當θ＝0°時a與b_________．③當θ＝180°時a與b________．(2)垂直：如果a與b的夾角是_______，則稱a與b垂直，記作____________．[0°，180°]同向反向90°a⊥b做一做2.已知向量a與b的夾角為60°，則向量－a和－b的夾角為________．解析：如圖所示，可得－a與－b的夾角為60°.答案：60°想一想提示：不是．應該是∠BAC的補角．典題例證技法歸納題型探究例1

如果e1，e2是平面α內兩個不共線的向量,判斷下列說法是否正確？并說明理由.①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內的所有向量；對基底概念的理解②對于平面α內任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若實數λ,μ使得λe1＋μe2＝0,則λ＝μ＝0.【解】由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．對于③，當向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2均為零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，滿足條件的實數λ有無數個．【名師點評】兩個向量能否構成基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線．此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面內任意一個向量都可以由這組基底唯一表示．利用基底表示其他向量例2【名師點評】關于基底的一個結論：設e1,e2是平面內一組基底，當λ1e1＋λ2e2＝0時,恒有λ1＝λ2＝0.變式訓練

已知|a|＝|b|＝2,且a與b的夾角為60°,則a＋b與a的夾角是________，a－b與a的夾角是________．求兩向量夾角例3∴〈a＋b，a〉＝∠AOC＝30°〈a－b，a〉＝∠ABC＝60°.【答案】30°60°【名師點評】兩向量夾角的實質和求解(1)明確兩向量夾角的定義，實質是從同一起點出發的兩個非零向量構成的不大于平角的角，結合平面幾何知識加以解決．(2)求兩個向量的夾角關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合,作出兩個向量的夾角,按照“一作二證三算”的步驟求出．互動探究2.在本例中，若“a與b的夾角為90°”，其他條件不變，〈a＋b，a〉，〈a－b，a〉的夾角應分別為________，________．答案：45°45°平面向量基本定理與夾角的綜合應用例4名師微博

在同一組基底下，兩向量相等對應系數分別相等.【名師點評】平面向量基本定理中,實數λ1,λ2的唯一性是相對于基底e1，e2而言的.平面內任意兩個不共線的向量都可作為基底,一旦選定一組基底，則給定向量沿著基底的分解是唯一的．即若a是平面內的非零向量,且能表示為a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2.變式訓練備選例題2.設a，b為平面α內的一組基底，試確定實數k，使得ka＋b和a＋kb共線．解：∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實數λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，方法感悟方法技巧1.用基底表示平面向量，要充分利用向量加、減法的三角形法則或平行四邊形法則，同時結合實數與向量積的定義，解題時要注意解題途徑的優化與組合．2.應用平面向量基本定理來證明平面幾何問題的一般方法如下：一般先選取一組基底，再根據幾何圖形的特征應用向量的有關知識解題．失誤防范1.零向量不能作為基底，兩個非零向量共線時不能作為平面向量的一組基底．只有平面內兩個不共