寧夏回族自治區銀川一中2024屆高三下學期第一次模擬考

試數學(理)試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合人={尤eN|尤2_2x—3W0},B={xeR|log2023x<0),則AB=()

A.(0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

71

2.已知E=l—,則同=().

1+1111

A.J2B.克C.2D.1

-2

3.若直線/的一個方向向量“=(1,0,1),平面a的一個法向量〃=(0,-1,1),貝!]/與a所

成角為()

,71_7171_p,2兀71_p,571

A.—B.—C.一或——D.一或一

633366

4.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀

統計成績，得到如下所示的列聯表：

優秀非優秀總計

甲班10b

乙班C30

合計

A.列聯表中c的值為30,6的值為35

B.列聯表中c的值為15,6的值為50

C.根據列聯表中的數據，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”

D.根據列聯表中的數據，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”

5.已知向量a=(1,2),b=(-4,t),則()

A.若〃〃b，貝卜=8B.若儀_LA,則r=2

C.若|a+11=5,則1=2D.若〃與人的夾角為鈍角，貝卜<2

6.將頂點在原點，始邊為尤軸非負半軸的銳角a的終邊繞原點逆時針轉過;后，交單

4

位圓于點尸那么cosa的值為（）

A加RV2-70n972

A?D.C.U.

1051010

7.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態的發展.下圖1是番禺區

某風景優美的公園地圖，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形,

這個圖形可看作由兩個函數的圖象構成，則“心形”在無軸上方的圖象對應的函數解析式

可能為（）

C.y=J-x2+2國D?y=-X1+2x

8.已知A（—2,0）,5（2,0）,點尸滿足方程依土綺=0（帆且有|網—|尸理=2,

則二的取值范圍是（）

m

A.（0,1）B.（0,aC.（1,73）D.（后2）

9.若數列｛%｝滿足q=T,則“X/加，〃eN*,%+“=金。」是“｛凡｝為等比數列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

10.若經過點（a,6）可以且僅可以作曲線y=lnx的一條切線，則下列選項正確的是（）

A.a<0B.b=ln?C.a=\nbD.a<0或6=ln。

11.多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，有

選錯的得。分，部分選對的得3分.若選項中有i（其中，=2,3,4）個選項符合題目要

求，隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數為隨機變量。（其中，=2,3,4）,

試卷第2頁，共6頁

則有（）

A.E（4）+2E（芻）＜3E俗）B.E值）+2￡G）＞3石信）

C.2E（/+E（或）＜3E（芻）D.2E?）+E（或）＞3E（4）

二、多選題

12.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始

終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技

人員發明了轉子發動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱

長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體ABCD的棱長為2,

則下列說法正確的是（）

A.勒洛四面體ABCD被平面ABC截得的截面面積是8（無-

B.勒洛四面體ABCD內切球的半徑是4-幾

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為2兀-2君

D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-邁

2

三、填空題

13.記,,ABC的內角A,B,C的對邊分別為4c,若asinC=?ccosA,則角A=.

14.甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.

甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍“，對乙

說：“你當然不會是最差的"，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有種不同

的情況.（用數字作答）

15.斜率為左的直線/與拋物線曠=4元相交于A,8兩點，與圓（X-5）2+/=9相切于

點M,且M為線段42的中點，則左=.

16.已知函數/(%)=。5垣％+685%(或。0)的圖象關于冗=巴對稱，且/(%)=§〃，則

65

sin

四、解答題

17.已知數列｛%｝的首項q=2,且("+=。(?>2).

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵若數列的前”項和為T"，證明：?；<|.

18.已知菱形ABCD邊長為1,AC=5以8。為折痕把△ABD和△CfiD折起，使點

A到達點E的位置，點C到達點歹的位置，E,尸不重合.

(1)求證：BDJLEF；

3

⑵若EF=j,求點B到平面DEF的距離.

19.某公司研發了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能

讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習慣，很快找

到寶寶想聽的內容.同時提供快樂兒歌、國學經典、啟蒙英語等早期教育內容，且云端

內容可以持續更新.萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務廣大

家長，該公司研究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人(以下簡稱產品)，統計

其性能指數并繪制頻率分布直方圖(如圖1)：

試卷第4頁，共6頁

0.025

0.023

0.020

0.017

0.011

0.004

產品的性能指數在［50,70）的適合托班幼兒使用（簡稱A類產品），在［70,90）的適合小

班和中班幼兒使用（簡稱2類產品），在［90,110］的適合大班幼兒使用（簡稱C類產品），

A,B,C,三類產品的銷售利潤分別為每件1.5,3.5,5,5（單位：元）.以這100件產品

的性能指數位于各區間的頻率代替產品的性能指數位于該區間的概率.

（1）求每件產品的平均銷售利潤；

（2）該公司為了解年營銷費用X（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，

對近5年的年營銷費用X,,和年銷售量y（i=l,2,3,4,5）數據做了初步處理，得到的散點

圖（如圖2）及一些統計量的值.

55

”,

4=1i=lZ=1

16.3024.870.411.64

_]5_]5

表中％=lnx,,ui=In,u=-^Yui,=.

5i=i5i=i

根據散點圖判斷，y=可以作為年銷售量y（萬件）關于年營銷費用X（萬元）的

回歸方程.

（；）建立y關于x的回歸方程；

（為）用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產品一年的收益達

到最大？

（收益=銷售利潤-營銷費用，取e*59=64）.

參考公式：對于一組數據（如巳）,（4,%）,,（%%）,其回歸直線。=&+的的斜率和截

距的最小二乘估計分別為1=a=u-ffu.

20.已知。為坐標原點，橢圓C:2]=1(。>6>0)的上焦點F是拋物線x2=40y的

焦點，過焦點廠與拋物線對稱軸垂直的直線交橢圓C于",N兩點，且唱=坐，過

\OF\3

點P(2〃,0)的直線/交橢圓c于A,B兩點.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵若點E(-l,0),記VAPE的面積為HA8PE的面積為S2,求店三的取值范圍.

21.已知函數〃x)=：e'-3x,其中QHO.

(1)若/'(%)有兩個零點，求。的取值范圍；

⑵若“x)Na(l-2sinx),求。的取值范圍.

x=2+2cos。一

22.在平面直角坐標系尤Oy中，曲線Ci的參數方程為.一in。(。為參數),以原

4

點為極點,無軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為"=

l+3sin2tz

(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程;

(2)若直線/：與曲線C/、曲線C2在第一象限交于P、Q,且|。。|=P。|,點M

的直角坐標為(1,0),求APM。的面積.

23.不等式選講已知。，瓦c均為正實數，函數〃尤)=卜-例+|尤+%|+c的最小值為4.

⑴求證：ab+bc+ca>9aZ?c；

⑵求證：6y/ab+3y[bc+2y[ca<4.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.c

【分析】

根據一元二次不等式的解法和對數不等式的解法求解.

【詳解】由尤2一2X-3V0,解得一1VXV3,

又因為xeN,所以A={01,2,3},

又由10g2023尤4°，可得1鳴023》《1鳴0231，解得0<E,

所以8={xeR|0<xVl},

所以AB={1},

故選:C.

2.C

【分析】

先根據復數的乘法運算求出復數Z,再根據共輾復數的定義和復數的模的公司及即可得解.

【詳解】由三=l二=l+i,得z=(l+i『=2i,

則5=—2i,所以同=2.

故選：C.

3.A

【分析】

根據線面角的坐標計算公式求解即可.

【詳解】設/與0所成角為昔］,

因為直線/的一個方向向量”=(1,0,1),平面a的一個法向量〃=(0,T,l),

所以sin6=辰s(〃,“卜1,

因為0404：,所以。=：.

26

故選：A

4.C

【分析】

根據題中條件計算可判斷選項A、B；根據列聯表計算出K?的值，即可判斷選項C,D.

答案第1頁，共18頁

7

【詳解】由題意知，成績優秀的學生數是105x(=30,

成績非優秀的學生數是75,所以c=20,6=45,

選項A、B錯誤；

根據列聯表中的數據，

得至Uy_105x(10x30-20x45)"

''55x50x30x75-6.109>5.024

因此有97.5%的把握認為“成績與班級有關系”.

故C正確，D錯誤，

故選：C.

5.B

【分析】

根據向量平行、垂直的坐標表示以及模長公式一一判斷求解.

【詳解】對于A,若0〃人則有lxr=Tx2,所以r=-8,A錯誤；

對于B,若則有~4+2t=0,所以f=2,B正確；

對于C,a+b=(-3,t+T),所以|<?+6|="9+(r+2)2=5,

解得/=2或r=—6,C錯誤；

若a與b的夾角為鈍角，則a.〃=—4+2f<0，即f<2,

且a與6不能共線且反向，

由A選項可知，當/=-8時，b=-4a，

此時a與方共線且反向，

所以若“與6的夾角為鈍角，貝卜<2且fr-8,D錯誤，

故選:B.

6.A

【分析】

根據任意角三角函數的定義，求得1+：JT的正弦值與余弦值，利用余弦的差角公式，可得答

4

案.

【詳解】由點尸在單位圓上，則［-3+/=1,解得y=±g,

答案第2頁，共18頁

7171

AIMI口口f71371］.4

由銳角a"。,耳卜即貝nUy=1，

^cosf6z+—>1=-—,sinfcr+—=—,

I4j5I4；5

COSa=008f（7+—--^=cosf（7+—>Icos—+sinf6Z+—>Icos—=-2x^i-+—x^-=^?-.

I44jI4j4I4j4525210

故選：A.

7.C

【分析】

利用基本不等式可求得y=W6與W2,知A錯誤；由力4-2,0）時，丁=冗在二？<0可

知B錯誤；根據》=尸15阿41、圖象中的特殊點及函數的奇偶性、單調性可知C正確；

根據函數定義域可知D錯誤.

【詳解】對于A,y=慟7^7=正2（4_f卜（尤2+：f］=2（當且僅當/=4一封，

即關=±逝時取等號），

.?.y=W"二，在（-2,2）上的最大值為2,與圖象不符，A錯誤；

對于B,當xe（-2,0）時，丫=川4-透<0,與圖象不符，B錯誤；

對于C,.y=^2+2|%|=^-（|^|-1）2+1,...當彳=±1時，笫皿=1；

又y=卜+2區過點（-2,0）,（2,0）,（0,0）；

由一二+2國20得：國（|尤|-2）40,解得：—2VxV2,即函數定義域為［-2,2］；

又+2卜x|=y］-x2+2|.x|,

y=J-/+2同為定義在［-2,2］上的偶函數，圖象關于V軸對稱；

當xe［0,2］時，1*+2>，-"-球+1,則函數在（0』）上單調遞增，在（L2）上單調遞

減；

綜上所述：y=J-Y+2國與圖象相符,C正確；

對于D,由-d+2尤20得：0<x<2,...ynj-d+zx不存在2,0）部分的圖象,D錯

誤.

故選：C.

答案第3頁，共18頁

8.B

【分析】根據雙曲線的定義，得到點P的軌跡表示以A,8為焦點的雙曲線C的右支，進而求

得雙曲線的漸近線方程、=±6工，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.

【詳解】由題意，點A(-2,0),3(2,0)且滿足|心-|尸3|=2,

根據雙曲線的定義，可得點P的軌跡表示以A3為焦點的雙曲線C的右支，

其中2a=2,2c=4,可得a=l,c=2,則6=Jc,-/=6，

可得雙曲線C的漸近線方程為y=±-x=±y/3x,

a

ri

又因為點月滿足方程“土陽=。(相＞。，〃＞。)，即y=±—％,

m

結合雙曲線的幾何性質，可得0＜巴＜6,即二的取值范圍是(0,百).

mm

故選：B.

【分析】利用等比數列的定義通項公式即可判斷出結論.

5,

【詳解】解：“V加，〃eN*,am+n=aman,取m=1,則%=-0，

.?.&｝為等比數列.

反之不成立，｛4｝為等比數列，設公比為q(q/0),則4+,,=-/+1,

a1A=(-/T)x(_q"T"q*,只有4=一1時才能成立滿足am+n=aman.

，數列｛%｝滿足%=-1,貝廣V機，〃wN*,是"｛%｝為等比數歹廣的充分不必要

條件.

故選：A.

答案第4頁，共18頁

10.D

【分析】

設出切點尸（如11?0）,利用導數的幾何意義寫出切線，由切線經過（見。）可得出一個方程，

根據題意切線只有一條，也就是轉化成關于％的方程只有一個解的問題.

【詳解】設切點尸（%,1啄）.因為y=所以,

所以點P處的切線方程為>TnXo=—（x-x。），

玉）

又因為切線經過點（。4），所以b-1叫=-（〃-%）,gp+1=lnx0+—.

/x0

令〃%）=lnx+qQ>0）,則y=b+l與/（x）=lnx+@（%>0）有且僅有1個交點，

xx

,（尤2一9，

當。<0時，盟x）>。恒成立，所以“X）單調遞增，顯然X-+8時，/⑴一母，于是符合

題意；

當a>0時，當0<x<a時，y'（x）<0,/（x）遞減，當x>a時，f<^x）>0,/（X）遞增，所以

/W?（a）=lna+l,

貝!Jb+1=lna+1,即6=lna.

綜上，aWO或6=lna.

故選：D

11.B

【分析】分別求出i=2、i=3、i=4時E（《），再一一判斷即可；

【詳解】解：當i=2時，的可能情況為0,3,5

選擇的情況共有：C：+C：+C；+C：=15種；

仆5）$，嗚=3）<，喉=。）=11'考

711?11

所以石值）=3X—+5X—+0X—=—

v2715151515

當，=3時，芻的可能情況為0,3,5

選擇的情況共有：。：+。：+燒+。：=15種；

答案第5頁，共18頁

尸催尸（—）4+**尸信=。）》￡4T

所以盛）=3咯+5乂上+（^^

當i=4時,乙的可能情況為3,5

選擇的情況共有：C：+C：+C：+C：=15種；

產百=5）=g,P值=3）=1-g=/,

所以磯4）=5X±+3X彗=W

對于AB：E?）+2E值）=/+2*胃=%，3E值）=3x||=||,所以

E催）+2E?）＞3E侑），故A錯誤，B正確；

11476Q69

對于CD：2E（^2）+E（^4）=2x-+—=-,3E信）=3x話二百,所以

2E仁）+磯虞）=3萬倡），故CD錯誤;

故選：B

12.CD

【分析】對A選項結合勒洛三角形得到其截面圖，利用扇形面積和三角形面積公式即可得

到答案，而A選項的截面積為C選項的最大截面積，對B選項需要利用正四面體的高以及

外接球半徑與棱長的關系，得到外接球半徑為亞，再根據圖形得到勒洛四面體的內切球半

2

徑，而此半徑即為該勒洛四面體的能夠容納的最大球的半徑，即可判斷D選項.

【詳解】對于A,

22

S^=（S^ABC-SABC）-3+SABC=^x^x2-^x2^x3+^-x2=2n-2y/3

故A錯誤，截面示意圖如下：

對于B,由對稱性知，勒洛四面體ABCD內切球球心是正四面體A3CD的內切球、外接球球

答案第6頁，共18頁

心0,如圖:

正△BCD外接圓半徑QB=2-2?COS30=38,正四面體ABCD的高

133

AO,=7AB2-QB2=半，令正四面體ABCD的外接球半徑為R,

在此BOQ中，&2=1解得會

此時我們再次完整地抽取部分勒洛四面體如圖所示：

圖中取正四面體ABCD中心為。，連接8。交平面AC。于點E,交曲面ACD于點/，其中3。

即為正四面體外接球半徑R=逅，因為點ACDF均在以點8為球心的球面上，

2

所以6尸=A6=2,

設勒洛四面體內切球半徑為，則由圖得r=O尸=-BO=AB-20=2-巫，故B錯誤；

2

對于C,顯然勒洛四面體截面面積的最大值為經過正四面體某三個頂點的截面，由對A的

分析知（S截）111ax=2萬-2石，故C正確；

對于D,勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切，即為勒洛四面體內

切球，所以勒洛四面體A3C。能夠容納的最大球的半徑為2-包，故D正確.

2

故選：CD.

【點睛】本題實際上是勒洛三角形在三維層面的推廣，對計算能力，空間想象能力要求高,

記住正四面體的高，內切球半徑，外接球半徑與棱長關系的二級結論將會加快對本題的求解.

答案第7頁，共18頁

13.—/60

【分析】

根據正弦定理進行化簡，繼而求得tanA=g,即可求解.

【詳解】因為asinC=^ccosA,由正弦定理得

sinAsinC=拒sinCcosA,

因為Cw(O,7r),則sinCwO,

故sinA=\/3cosA，即tanA=若，

又Ae(O㈤，所以

故答案為：y.

14.54

【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三

名同學在三個位置上全排列，由分步乘法計數原理即可求解.

【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3種情況，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，

其他三名同學排在三位置全排列有A；種，

由分步乘法計數原理可知共有3x3xA；=54種，

故答案為：54.

15.土正

5

【分析】

2

設出坐標，根據A8在拋物線上，坐標滿足方程，兩式相減可得左=7，繼而利用

CM±四,兩直線斜率相乘等于1建立方程解出即可.

【詳解】

答案第8頁，共18頁

［玉+無2=2%,卜；=4出,

、卜1+%=2%-］尺=49，

兩式相減得(必+為)(%一y2)=4(再一工2)，

則心——=2

X］一無2%+%%

設圓心為c(5,0),貝

入0—3

2y1

因為直線/與圓相切，所以——弋n=T，

y0x0-5

解得X0=3,代入(丈一5)2+y2=9得

2-2非

%=土石,k=—=法=土工

%

故答案為：士正.

5

7

16.—/0.28

25

【分析】先對函數化簡變形，然后由題意可得*=4/+左,求得再由

/(%)=|〃可得sin［x°+弓］=1,再利用誘導公式和二倍角公式可求得結果

【詳解】/(x)=<7sinx+Z?cosx=V^2+b2sin(x+^7),abwb

...,.ba

其中=聲

由于函數的圖象關于x=￡對稱，所以/1)="2+已,

BP—a+b=\Ja2+b2,化簡得6=J5a,

所以/（尤。）=asin毛+-J3acos/=2。sin（毛+三］=ga,

即sin^0+^=|,

所以

答案第9頁，共18頁

故答案為：

17.⑴%="+l(〃eN*)

(2)證明見解析

【分析】

(1)變化條件，得到數列［含;是以每一項均為1的常數列，繼而可求解;

22211

⑵根據下=即,而⑵=7一繼而求出4即可?

【詳解】(1)因為次=("+1)%T，n>2

:.工=嗎,且幺=1,

n+1n2

數列］含;是以每一項均為1的常數列,

則2-=1,即4=〃+l(〃wN*)；

n+1'7

(2)由(1)得。〃=〃+1,

—2=---2---<----2-----1-----1--

片(n+1)2〃(〃+2)n〃+2

11

+-------

〃32435nn+2

13

=w------<—

2n+1〃+22

18.(1)證明見解析；(2)叵.

7

【分析】(1)設AC,80交于點。，連接E。，尸0,根據題中條件，得到FOVBD,

再由線面垂直的判定定理及性質，即可證明結論成立；

(2)根據題中條件，先得到0￡=。尸=走，BD=1,DEF和，0EF的面積，設點B到平

2

面DEV的距離為〃，根據等體積法，由％一"即:匕一山尸+%一神尸列出方程求解，即可求出結果.

【詳解】(1)證明：菱形A3CD中，AC1BD,設AC,BD交于點0,連接E。，F0,

則EO_LBD,FO1BD,又EO\FO=O,EOu平面歹Ou平面E0尸，

答案第10頁，共18頁

所以平面EOF；

又EFu平面EOF,所以BD_LEF；

(2)因為菱形A3CD邊長為1,AC=V3,所以OE=O尸=OA=OC=工AC=立，則

22

BD=2dAB，-O1=］，

222

3(IFA-OF—FF1

又EF=三,所以cos/EOP=——=則NEO尸=120,

22OEOF2

所以S。即=LoE-OQsinl20=—；

-0EF216

3

在，。所中，DE=DF=1,EF',

則cos/ED歹=ED?+DF?-EF?=一j_,所以$畝/瓦)尸=近,

2DEDF88

所以S=工DE-DF.sinNEDF=^~；

DEF216

設點B到平面DEF的距離為h,

由題意，VB_DEF=VB-OEF+VD-OEF

1

即3LD)CEjrF-h=3-SC/OcrEF-OB+3-St/cOrEFOD=3-S,t/cOrEFBD,

【點睛】方法點睛:

求解空間中點尸到面a的距離的常用方法:

（1）等體積法：先設所求點到面的距離，根據幾何體中的垂直關系，由同一幾何體的不同

的側面（或底面）當作底，利用體積公式列出方程，即可求解;

（2）空間向量法：先建立適當的空間直角坐標系，求出平面a的一個法向量正，以及平面a

PA-m

的一條斜線R4所對應的向量B4,則點尸到面a的距離即為d=

\m\

答案第11頁，共18頁

19.（1）每件產品的平均銷售利潤為4元（2）（0y=64V（*該廠應投入256萬元營銷

費.

【分析】（1）分別求出三類產品的頻率，求出分布列及其數學期望即可；

（2）（z）利用公式求出相關系數，即可求出回歸方程；（而）設年收益為z萬元，求出z,設

蚱/，/（。=256二-「，求出函數的導數，根據函數的單調性即可求出z的最大值―

【詳解】（1）設每件產品的銷售利潤為4元，則4的所有可能取值為1.5,3.5,5.5,

由直方圖可得，A,B,C三類產品的頻率分別為0.15、0.45、0.4,

所以，P偌=15)=0.15,產信=3.5)=0.45,P(J=5.5)=0.4,

所以隨機變量g的分布列為:

1.53.55.5

P0.150.450.4

所以，￡^=1.5x0.15+3.5x0.45+5.5x0.4=4,

故每件產品的平均銷售利潤為4元；

(2)(O由y=得，Iny=ln(a-x')=lna+61nx,

令〃=lnx,u=lny,c=\na,貝IJu=c+6",

由表中數據可得,

貝Uc=。-加=---0.25x---=4.159,

所以，0=4.159+0.25”，

即ln$=4.159+0.251nx=ln產./,

\7

1

因為0*59=64,所以夕=64/，

故所求的回歸方程為y-64戶；

(ii)設年收益為z萬元，貝Uz=(埼)?y-x=256x：_x，

設一/，/⑺=2567——,

I——A''

答案第12頁，共18頁

則尸⑺=256-4/=4（64-/）,

當/?0,4）時,仆）>0,在（0,4）單調遞增,

當作（4,—）時，在（4,口）單調遞減，

所以，當1=4,即x=256時，z有最大值為768,

即該廠應投入256萬元營銷費，能使得該產品一年的收益達到最大768萬元.

【點睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題，求回歸直線方程的步驟：（1）依據樣本數

據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；（2）計算工亍,趟,L”七其的值；（3）計

Z=1Z=1

算回歸系數a,b;（4）寫出回歸直線方程，=%+隊

20.⑴匕+爐=1

3

⑵樣）

【分析】

（1）由題意列式求"c,即可得橢圓C的標準方程；

（2）設直線/的方程為y=M%-2）,聯立方程利用韋達定理結合弦長公式整理得

進而可得取值范圍.

【詳解】（1）

因為V=40y的焦點坐標為倒，⑹，所以*0,3）,

所以附刑=上」。引=c=0.

a

因為粵=*，所以21一"，化簡可得上=也，

\0F\3正-丁a3

22222

a-b=c=29解得a=3,b=1,

2

所以橢圓c的標準方程為^+/=1.

3

（2）

由（1）可知P（2,0）,可知過點尸的直線/的斜率存在且不為0,

設直線/的方程為>=左（》-2）,

答案第13頁，共18頁

y=^(x-2)

222

由，y22化簡可得(k+3)x-4kx+4左2—3=0,

I3

設4（菁，乂），8（々，%），則為+%=k^'占％=▼%，

k+3k+3

由A=（-4左2『一4（r+3）（4F-3）>0,解得0</<1.

根據弦長公式可得|A斗忸可=，1+蚱-xj-A/1+F|2-X2|

=(1+k?12—%]卜[2—/J=(1+k2)[4—2(西+9)+玉電|

4(^2+3)-8)t2+(4F-3)9(1+巧

(1+抬)

一+3-r+3

因為VAPE的面積為HABPE的面積為S2,

設點E到直線/的距離為d,根據點到直線的距離公式可得d=上%

VF+1

所以斗4同=；1忸葉d,

2

2

1，..,219F+l(-3k\|81k2813

因止匕SjS?=-\AP\-\BP\-d2=—-11-

41"1442+31正工4嚴+3一1r+3

Q1<381

因為0<左2<1,所以3<公+3<4,貝l|O<a[l-<,

k2+316

的取值范圍是.

方法點睛：解決解析幾何中平面圖形面積的最值或取值范圍問題一般有三個步驟:

一是求出面積的表達式（常用直接法或分割法）;

二是得到目標函數后，明確自變量及自變量的限制條件;

答案第14頁，共18頁

三是利用配方法、基本不等式法、單調性法等求出面積的最值或取值范圍.

21.(哨,+℃

⑵(0』.

【分析】(1)由題可得方程1三有兩個解，然后構造函數利用導數研究函數的性質進而即

ae

得；

(2)由題知g(x)=f(x)-a(l-2sinx)N0恒成立,進而轉化為證明當0<aWl時

^ex-3x-a(l-2siax)>0(*),然后利用二次函數的性質結合條件可得只需證明

e，-3x+2sinx-120即可，再構造函數利用導數證明不等式即得.

1

【詳解】(1)由/'(X)有兩個零點，得方程有兩個解，

設廠(x)=稱，貝”(司="廠)，

ee

由r'(x)>0,可得尤<1,r(x)單調遞增，由r'(x)<。，可得x>l,r(x)單調遞減，

所以r(x)的最大值為廠(1)=一，當x—+8時r(x)->0,當x->-8時，廠(司——0,

e

所以可得函數r(x)的大致圖象，

所以，〃x)有兩個零點時，a的取值范圍是(|,+3；

(2)設g(x)=y(x)-a(l-2sinx),gpg(x)=—e%-3x-a(l-2sinx),則g(尤)2。恒成立,

由g⑼」30,gfy^=-e?-3x^>0,可得0<aWl,

a16J〃6

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ii3

下面證明當0<a41時，一e"-3%-Q(1-2sinx)N0(*),即證fe"——x+2sinx-l>0,

aaa

令b=}貝ij證62d一3胸+2$欣—GO,^e[l,-H?),

令/z(Z?)二從3—3區+2sinx—l為開口向上的二次函數，對稱軸為力=—,

由(1)可知人=會工或<1,故無(。)在。?1,轉)時單調遞增，

貝Ih(b)>h(l)=ex-3x+2sinx—1,

3x-2sinx+l

下面只需證明e"-3%+2sinx-1)0即可，即證-l<0,

3x—2sinx+12—3x+2sinx—2cosx

令F(x)=則尸(x)=

令q(x)=2-3x+2sinx—2cosx,貝ijg'(尤)=-3+2cos尤+2sinx=20sin|尤+'-3<0,

所以函數4(x)單調遞減,且4(0)=0,

所以當尤<0時，F,(x)>0,當x>0時，b'(x)<0,

所以函數尸(x)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+巧上單調遞減，

故廠(力(80)=0,即3A?S+1_IV0,從而不等式(