四川省成都市雙流區2024屆高一數學第二學期期末學業質量監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數，，若在區間上是單調函數，，則的值為（）A． B．2 C．或 D．或22．用數學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在驗證n=1成立時，左邊的項是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a43．函數在上零點的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．54．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A． B． C． D．5．若，則A． B． C． D．6．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．7．在△ABC中，若asinA+bsinB＜csinC，則△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．都有可能8．已知直線與，若，則（）A．2 B．1 C．2或-1 D．-2或19．已知正四棱錐的頂點均在球上，且該正四棱錐的各個棱長均為，則球的表面積為()A． B． C． D．10．經過平面α外兩點，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作()A．1個或2個B．0個或1個C．1個D．0個二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=.12．下圖是2016年在巴西舉行的奧運會上，七位評委為某體操運動員的單項比賽打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的方差為__________．13．已知數列，若對任意正整數都有，則正整數______；14．對于正項數列，定義為的“光陰”值，現知某數列的“光陰”值為，則數列的通項公式為_____．15．數列的前項和為，已知，且對任意正整數，都有，若恒成立，則實數的最小值為________.16．設函數滿足，當時，，則=________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為，求在上的投影.18．已知關于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標準方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.19．在中，角所對的邊分別為．且．（1）求的值；（2）若，求的面積．20．從高三學生中抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學生成績的眾數與中位數；（2）這50名學生的平均成績.（答案精確到0.1）21．（1）求函數的單調遞增區間；（2）求函數，的單調遞減區間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先根據單調性得到的范圍，然后根據得到的對稱軸和對稱中心，考慮對稱軸和對稱中心是否在同一周期內，分析得到的值.【詳解】因為，則；又因為，則由可知得一條對稱軸為，又因為在區間上是單調函數，則由可知的一個對稱中心為；若與是同一周期內相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以；若與不是同一周期內相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以.【點睛】對稱軸和對稱中心的判斷：對稱軸：，則圖象關于對稱；對稱中心：，則圖象關于成中心對稱.2、C【解析】

在驗證時，左端計算所得的項，把代入等式左邊即可得到答案.【詳解】解：用數學歸納法證明，

在驗證時，把當代入，左端.

故選：C.【點睛】此題主要考查數學歸納法證明等式的問題，屬于概念性問題.3、D【解析】

在同一直角坐標系下，分別作出與的圖象，結合函數圖象即可求解.【詳解】解：由題意知：函數在上零點個數，等價于與的圖象在同一直角坐標系下交點的個數，作圖如下：由圖可知：函數在上有個零點.故選：D【點睛】本題考查函數的零點的知識，考查數形結合思想，屬于中檔題.4、A【解析】

設5人分到的面包數量從小到大記為，設公差為，可得，，求出，根據等差數列的通項公式，得到關于關系式，即可求出結論.【詳解】設5人分到的面包數量從小到大記為，設公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點睛】本題以數學文化為背景，考查等差數列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數列的性質應用是解題的關鍵，屬于中檔題.5、B【解析】

分析：由公式可得結果.詳解：故選B.點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎題.6、B【解析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點：向量的數量積；向量的投影；向量的夾角．點評：熟練掌握數量積的有關性質是解決此題的關鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質．7、A【解析】

由正弦定理化已知條件為邊的關系，然后由余弦定理可判斷角的大小．【詳解】∵asinA+bsinB＜csinC，∴，∴，∴為鈍角．故選A．【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理，考查三角形形狀的判斷，屬于基礎題．8、C【解析】

由兩直線平行的等價條件，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，解得或.故選：C【點睛】本題主要考查利用兩直線平行的等價條件求值.9、C【解析】設點在底面的投影點為，則，，平面，故，而底面所在截面圓的半徑，故該截面圓即為過球心的圓，則球的半徑，故球的表面積，故選C.點睛：本題考查球的內接體的判斷與應用，球的表面積的求法，考查計算能力；研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：（1）球心與多面體中心的位置關系；（2）球的半徑與多面體的棱長的關系；（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；（4）能否做出軸截面.10、B【解析】若平面α外的兩點所確定的直線與平面α平行，則過該直線與平面α平行的平面有且只有一個；若平面α外的兩點所確定的直線與平面α相交，則過該直線的平面與平面α平行的平面不存在;故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：因為所以考點：向量數量積及夾角12、【解析】由平均數公式可得，故所求數據的方差是，應填答案。13、9【解析】

分析數列的單調性，以及數列各項的取值正負，得到數列中的最大項，由此即可求解出的值.【詳解】因為，所以時，，時，，又因為在上遞增，在也是遞增的，所以，又因為對任意正整數都有，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數列的單調性以及數列中項的正負判斷，難度一般.處理數列單調性或者最值的問題時，可以采取函數的思想來解決問題，但是要注意到數列對應的函數的定義域為.14、【解析】

根據的定義把帶入即可。【詳解】∵∴∵∴①∴②①-②得∴故答案為：【點睛】本題主要考查了新定義題，解新定義題首先需要讀懂新定義，其次再根據題目的條件帶入新定義即可，屬于中等題。15、【解析】令，可得是首項為，公比為的等比數列，所以，，實數的最小值為，故答案為.16、【解析】

由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出結果．【詳解】∵函數f（x）（x∈R）滿足f（x+π）=f（x）+sinx，當0≤x＜π時，f（x）=0，∴f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=0+=．故答案為：．【點睛】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當時，在上的投影為；當時，在上的投影為.【解析】

（1）由已知條件，結合正弦定理，求得，即可求得C的大小；（2）由已知條件，結合三角形的面積公式及余弦定理，求得的值，再由向量的數量積的運算，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；（2）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，當時，在上的投影為；當時，在上的投影為.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.18、（1）（2）①②證明見解析【解析】

（1）根據圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程．（2）①根據切線性質及切線長定理，表示出的長，根據圓的性質可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設出M點坐標，根據兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標準方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，根據平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當點坐標為時，.此時.②設點的坐標為，因為，所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點，，設所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因為是和的公共弦，所以，兩式相減得，故方程為：，當時，，所以直線恒過定點.【點睛】本題考查了圓的一般方程與標準方程的應用，圓中三角形面積問題的應用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題．19、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據三角形的面積公式求出答案．【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理等知識．在解三角形問題中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同角三角函數基本關系等問題，故應綜合把握．20、（1）眾數為75分，中位數為分；（2）76.2分【解析】

（1）由眾數的概念及頻率分布直方圖可求得眾數，根據中位數的概念可求得中位數；.（2）由平均數的概念和頻率直方圖可求得平均數.【詳解】（1）由眾數的概念及頻率分布直方圖可知，這50名學生成績的眾數為75分.因為數學競賽成績在的頻率為，數學競賽成績在的頻