銳角三角函數(shù)的定義（2015?余姚市模擬）如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則cos∠ABC等于（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜邊長，進而求得∠ABC的鄰邊與斜邊之比即可．【解答】解：由格點可得∠ABC所在的直角三角形的兩條直角邊為2，4，∴斜邊為=2．∴cos∠ABC==．故選B．【點評】難點是構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜邊長，關(guān)鍵是理解余弦等于鄰邊比斜邊．（2015?蓬溪縣校級模擬）在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）A．都擴大兩倍 B．都縮小兩倍 C．不變 D．都擴大四倍【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】常規(guī)題型；壓軸題．【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答．【解答】解：∵各邊的長度都擴大兩倍，∴擴大后的三角形與Rt△ABC相似，∴銳角A的各三角函數(shù)值都不變．故選C．【點評】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，理清銳角的三角函數(shù)值與角度有關(guān)，與三角形中所對應(yīng)的邊的長度無關(guān)是解題的關(guān)鍵．（2013?遵義模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，交BC于點E，若DE=2，OE=3，則tanC?tanB=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】銳角三角函數(shù)的定義；三角形的外接圓與外心．【專題】壓軸題．【分析】由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，連接BD、CD，可證∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，將tanC，tanB在直角三角形中用線段的比表示，再利用相似轉(zhuǎn)化為已知線段的比．【解答】解：連接BD、CD，由圓周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，∴=，=，由AD為直徑可知∠DBA=∠DCA=90°，∵DE=2，OE=3，∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，tanC?tanB=tan∠ADB?tan∠ADC======4．故選C．【點評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．（2011?黔東南州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，若BC=6，AC=8，則tan∠ACD的值為（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】常規(guī)題型；壓軸題．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠A=∠ACD，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義列式求出∠A的正切值，即為tan∠ACD的值．【解答】解：∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴tan∠A===，∴tan∠ACD的值．故選D．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，求出∠A=∠ACD是解本題的關(guān)鍵．（2011?昆明）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分線ED交BC的延長線于D點，垂足為E，則sin∠CAD=（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】設(shè)AD=x，則CD=x﹣3，在直角△ACD中，運用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；【解答】解：設(shè)AD=x，則CD=x﹣3，在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，解得，x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD==；故選A．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及勾股定理的運用，求一個角的正弦值，可將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答．（2011?南充）如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結(jié)論：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；梯形中位線定理．【專題】壓軸題．【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及△ABC∽△CDE的對應(yīng)邊成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函數(shù)，得tan∠AEC=，再由等量代換求得tan∠AEC=；②由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質(zhì)a2+b2≥2ab（a=b時取等號）解答；③、④通過作輔助線MN，構(gòu)建直角梯形的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本選項正確；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b時取等號），∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本選項正確；④過點M作MN垂直于BD，垂足為N．∵點M是AE的中點，則MN為梯形中位線，∴N為中點，∴△BMD為等腰三角形，∴BM=DM；故本選項正確；③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本選項正確．故選D．【點評】本題綜合考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形的中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識點．在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．（2011?南寧）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，則AC?BC的值為（）A．14 B．16 C．4 D．16【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】計算題；壓軸題．【分析】解法一：利用二倍角公式sin2α=2sinαcosα、銳角三角函數(shù)的定義解答．解法二：作△ABC的中線CD，過C作CE⊥AB于E，求出AD=CD=BD=2，求出CE、DE、BE，根據(jù)勾股定理求出BC、AC，代入求出即可．【解答】解：解法一：∵sin30°=2sin15°cos15°=，∠A=15°，∴2××=；又∵AB=8，∴AC?BC=16．解法二：作△ABC的中線CD，過C作CE⊥AB于E，∵∠ACB=90°，∴AD=DC=DB=AB=4，∴∠A=∠ACD=15°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=30°，∴CE=CD=2，∴S△ABC=AC?BC=AB?CE，即AC?BC=×8×2，∴AC?BC=16故選：D．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．解答該題的關(guān)鍵是熟記二倍角公式．（2011?蘭州模擬）根據(jù)圖中的信息，經(jīng)過估算，下列數(shù)值與正方形網(wǎng)格中∠ɑ的正切值最接近的是（）A．0.6246 B．0.8121 C．1.2252 D．2.1809【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】計算題；壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】正切函數(shù)就是直角三角形中，角所對的直角邊與鄰邊的比值，根據(jù)定義即可確定正切值的范圍，即可確定．【解答】解：設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長是1，則AC=4，4＜AB＜5∵tanα=∵AC=4，4＜AB＜5∴1＜tanα＜1.25∴最接近的是1.2252．故選C．【點評】本題主要考查了正切函數(shù)的定義，根據(jù)定義確定正切函數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵．（2011?歷城區(qū)一模）在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則tan∠A的值為（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】連接CD，即可證明△ACD是直角三角形，利用正切函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：連接CD，則CD2=2，AC2=4+16=20，AD2=9+9=18∴AC2=CD2+AD2，AD==3，CD=∴∠ADC=90°∴tan∠A===．故選C．【點評】本題主要考查了正切函數(shù)的定義，正確證明△ACD是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．（2010?常德）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，則sinA的值是（）A． B．2 C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正弦的定義sinA=解答．【解答】解：根據(jù)題意，AB==BC，sinA===．故選C．【點評】本題主要考查角的正弦的定義，需要熟練掌握．（2010?西藏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，則cosB的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】首先利用勾股定理計算出AB的長，再根據(jù)余弦的定義可得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=，BC=，∴AB==，∴cosB===，故選：D．【點評】此題主要考查了三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（2009?漳州）三角形在方格紙中的位置如圖所示，則tanα的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決．【解答】解：在直角三角形中，正切值等于對邊比上鄰邊，∴tanα=．故選A．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．（2008?威海）在△ABC中，∠C=90°，tanA=，則sinB=（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義，已知tanA=，就是已知BC與AC的比值，設(shè)BC=x，則AC=3x．根據(jù)勾股定理就可以求出AB，再根據(jù)三角函數(shù)定義就可以求出三角函數(shù)值．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA=，∴設(shè)BC=x，則AC=3x．故AB=x．sinB===．故選D．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．（2008?湘潭）已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，則sinA=（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理．【專題】壓軸題．【分析】先根據(jù)直角三角形的三邊長判斷出三角形的形狀，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，即42+32=52，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．sinA==．故選A．【點評】本題考查了直角三角形的判定定理及銳角三角函數(shù)的定義，屬較簡單題目．（2007?昌平區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是邊長為1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．則tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值為（）A． B． C．1 D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值計算．【解答】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，則tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5=1×+×+×+×+×=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．故選A．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．關(guān)鍵是找出每個銳角相應(yīng)直角三角形，根據(jù)正切的定義求值．（2006?南通）如圖，已知⊙O的半徑為5cm，弦AB的長為8cm，P是AB延長線上一點，BP=2cm，則tan∠OPA等于（）A． B． C．2 D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；垂徑定理．【專題】壓軸題．【分析】作OC⊥AB，構(gòu)造直角三角形，運用三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：作OC⊥AB于C點．根據(jù)垂徑定理，AC=BC=4．在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC==3．故tan∠OPA==．故選D．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰比斜；正切等于對比鄰．（2006?溫州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，則cosA等于（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求出∠A的余弦值即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AC==13，cosA==．故選D．【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的概念與勾股定理，比較簡單．（2005?紹興）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，則sin∠ABD的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；垂徑定理；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】由垂徑定理和圓周角定理可證∠ABD=∠ABC，再根據(jù)勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴弧AC=弧AD，∴∠ABD=∠ABC．根據(jù)勾股定理求得AB=10，∴sin∠ABD=sin∠ABC==．故選D．【點評】此題綜合考查了垂徑定理以及圓周角定理的推論，熟悉銳角三角函數(shù)的概念．（2005?三明）根據(jù)圖中信息，經(jīng)過估算，下列數(shù)值與tanα的值最接近的是（）A．0.3640 B．0.8970 C．0.4590 D．2.1785【考點】銳角三角函數(shù)的定義；估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】壓軸題．【分析】α的正切值等于這個角的對邊與鄰邊之比．【解答】解：tanα=3÷7≈0.43，∴0.4＜tanα＜0.5．故選C．【點評】注意熟悉銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合圖形分析tanα的取值范圍．（2005?泰安）直角三角形紙片的兩直角邊AC與BC之比為3：4．（1）將△ABC如圖1那樣折疊，使點C落在AB上，折痕為BD；（2）將△ABD如圖2那樣折疊，使點B與點D重合，折痕為EF．則tan∠DEA的值為（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；翻折變換（折疊問題）．【專題】壓軸題．【分析】直角三角形紙片的兩直角邊AC與BC之比為3：4，就是已知tan∠ABC=，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．【解答】解：根據(jù)題意：直角三角形紙片的兩直角邊AC與BC之比為3：4，即tan∠ABC==；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，∠CBD=a，則由折疊可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，∴tan∠DEA=tan∠ABC=．故選A．【點評】已知折疊問題就是已知圖形的全等，并且三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，因而求一個角的函數(shù)值，可以轉(zhuǎn)化為求與它相等的其它角的三角函數(shù)值．（2001?河南）如圖，銳角ABC中，以BC為直徑的半圓O分別交AB、AC于D、E兩點，且S△ADE：S四邊形BCED=1：2，則cos∠BAC的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】要求∠BAC的余弦值就要構(gòu)建直角三角形找出相應(yīng)的邊的比例關(guān)系，那么可連接CD，通過AD和AC的比例關(guān)系來求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例關(guān)系可通過△ADE∽△ACB三來求解，這樣就不難求得其余弦值了．【解答】解：連接CD．∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．∵S△ADE：S四邊形BCED=1：2，∴S△ADE：S△ACB=1：3，∴AD：AC=：3，∴cos∠BAC=：3．故選D．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定以及圓周角定理，根據(jù)三角形相似，用面積比求出相關(guān)的線段比是解題的關(guān)鍵．（2001?溫州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，則tanA的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)的定義tanA=．【解答】解：．故選A．【點評】此題很簡單，關(guān)鍵是記住定義．（2000?嘉興）在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，已知∠ACD的正弦值是，則的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】利用直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義可得sin∠B=sin∠ACD，即可求出的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，因而∠B=∠ACD，∴sin∠B=sin∠ACD==．故選D．【點評】利用等角轉(zhuǎn)換是此題的關(guān)鍵．（1998?臺州）如圖，延長Rt△ABC斜邊AB到D點，使BD=AB，連接CD，若cot∠BCD=3，則tanA=（）A． B．1 C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；三角形中位線定理．【專題】壓軸題．【分析】若想利用cot∠BCD的值，應(yīng)把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位線，可分別得到所求的角的正切值相關(guān)的線段的比．【解答】解：過B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中點，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵cot∠BCD=3，設(shè)BE=x，則BC=3x，AC=2x，∴tanA===，故選A．【點評】此題涉及到三角形的中位線定理，銳角三角函數(shù)的定義，解答此題關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形，再進行計算．（1997?海南）對于以下的運算結(jié)果：①a3+a2=a5；②a3÷a3=a0（a≠0）；③﹣m2﹣m2=﹣2m2；④sinα+sinβ=sin（α+β）．正確的是（）A．①、② B．①、③ C．②、④ D．②、③【考點】銳角三角函數(shù)的定義；合并同類項；同底數(shù)冪的除法．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)冪的除法法則以及銳角三角函數(shù)的定義逐項分析即可．【解答】解：①a3與a2不是同類項不能合并，故該選項錯誤；②a3÷a3=a0=1計算是正確的，故該選項正確；③﹣m2﹣m2=（﹣1﹣1）m2=﹣2m2計算是正確的，故該選項正確；④sinα+sinβ=≠sin（α+β），計算是錯誤的，故該選項錯誤；所以計算正確的是②③，故選D．【點評】本題考查了合并同類項的法則、同底數(shù)冪的除法法則以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種運算法則．（2013?寶應(yīng)縣校級一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，則cosA=．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】作出圖形，根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊，列式計算即可得解．【解答】解：如圖，∵∠C=90°，AB=10，AC=8，∴cosA===．故答案為：．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．（2010?涼山州）如圖，∠1的正切值等于．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以把求三角函數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的比的問題．【解答】解：根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：∠1=∠2．∵tan∠2=，∴∠1的正切值等于．故答案為：．【點評】本題考查圓周角的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．（2012?浠水縣校級模擬）已知△ABC中，AB=AC，CH是AB邊上的高，且CH=AB，則tanB=或3．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】作高AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=2BD，設(shè)AB=5x，則CH=AB=3x，根據(jù)三角形面積公式有AD?BC=CH?AB，即2BD?AD=15x2，根據(jù)勾股定理得到BD2+AD2=AB2=25x2，然后進行等式變形有（BD+AD）2﹣2BD?AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，（BD﹣AD）2+2BD?AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，易得BD+AD=2x，BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，可求出BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，然后在Rt△ABD中根據(jù)正切的定義得到tanB=，再把DB與AD的值代入計算即可．【解答】解：如圖，作高AD，∵AB=AC，∴BC=2BD，設(shè)AB=5x，則CH=AB=3x，∵AD?BC=CH?AB，∴2BD?AD=15x2，∵BD2+AD2=AB2=25x2，∴（BD+AD）2﹣2BD?AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，∴BD+AD=2x，∴（BD﹣AD）2+2BD?AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，∴BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，∴BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，在Rt△ABD中，tanB=，∴tanB==或tanB==3．故答案為：或3．【點評】本題考查了正切的定義：在直角三角形中，一銳角的正切等于這個角的對邊與鄰邊的比值．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及代數(shù)式的變形能力．（2007?安順）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2．如果將線段BD繞著點B旋轉(zhuǎn)后，點D落在CB的延長線上的D′點處，那么tan∠BAD′等于．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)勾股定理求出BD的長，即BD′的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．【解答】解：BD是邊長為2的正方形的對角線，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案為：．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，注意本題中BD′=BD．（1999?杭州）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA=．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【點評】本題考查勾股定理及銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．（1997?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則sinA=．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正弦定義：把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，可代入數(shù)計算出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA==，故答案為：．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握正弦定義．（2012?銅仁地區(qū)）如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα==，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：（1）ctan30°=；（2）如圖，已知tanA=，其中∠A為銳角，試求ctanA的值．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】壓軸題；新定義．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用AC表示出AB及AC的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行解答即可；（2）由于tanA=，所以可設(shè)BC=3，AC=4，則AB=5，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行解答即可．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC===AB，∴ctan30°==．故答案為：；（2）∵tanA=，∴設(shè)BC=3，AC=4，∴ctanA==．【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的性質(zhì)，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．（2012?昌平區(qū)模擬）如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，四邊形OABC是正方形，點A的坐標為（m，0）．將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角，得到正方形ODEF，DE與邊BC交于點M，且點M與B、C不重合．（1）請判斷線段CD與OM的位置關(guān)系，其位置關(guān)系是垂直；（2）試用含m和α的代數(shù)式表示線段CM的長：CM=m?tan；α的取值范圍是0°＜α＜90°．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接CD，OM．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出MC=MD，OC=OD，再證明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CD⊥OM；（2）首先用含α的代數(shù)式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得出CM的長度；由OD與OM不能重合，且只能在OC右邊，得出α的取值范圍．【解答】解：（1）連接CD，OM．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共邊，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC?tan∠COM=m?tan；因為OD與OM不能重合，且只能在OC右邊，故可得α的取值范圍是0°＜α＜90°．【點評】解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，有助于提高解題速度和準確率．（2009?南充）如圖，在平面直角坐標系中，已知點B（4，2），BA⊥x軸于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）將點B繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后記作點C，求點C的坐標；（3）將△OAB平移得到△O′A′B′，點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點B'的坐標為（2，﹣2），在坐標系中作出△O′A′B′，并寫出點O′、A′的坐標．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；作圖-平移變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標；（3）根據(jù)平移的規(guī)律求出平移后的對應(yīng)點的坐標，順次連接即可．【解答】解：（1）∵點B（4，2），BA⊥x軸于A，∴OA=4，BA=2，∴tan∠BOA===．（3分）（2）如圖，由旋轉(zhuǎn)可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴點C的坐標是（﹣2，4）．（5分）（3）△O′A′B′如圖所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）【點評】本題考查的是平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖．作平移圖形時，找關(guān)鍵點的對應(yīng)點也是關(guān)鍵的一步．平移作圖的一般步驟為：①確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點；②確定圖形中的關(guān)鍵點；③利用第一組對應(yīng)點和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點的對應(yīng)點；④按原圖形順序依次連接對應(yīng)點，所得到的圖形即為平移后的圖形．作旋轉(zhuǎn)后的圖形的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，基本作法是①先確定圖形的關(guān)鍵點；②利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點；③按原圖形中的方式順次連接對應(yīng)點．要注意旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和角度．（2008?深圳）如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=，求△ACF的面積．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【