江西省宜豐中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)五模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.將函數(shù)y=sin2x的圖像向左平移叭甲＞0）個單位得到函數(shù)y=sin2x+-的圖像，則。的最小值為（）

6

~6

2.在邊長為2的菱形ABCD中，BD=26,將菱形ABCD沿對角線AC對折，使二面角3-AC-O的余弦值為:，

則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

2萬,

A.—B.2〃C.4萬D.67T

3

3.已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上,上4，平面ABC,AABC是邊長為26的等邊三角形，若球。

的表面積為207，則直線PC與平面八鉆所成角的正切值為（）

A.-B.立C.-V7D.立

4374

4.若不相等的非零實數(shù)X,y,z成等差數(shù)列，且X,y,z成等比數(shù)列，則二=（）

Z

57

A.——B.-2C.2D.-

22

5.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CP1（居民消費(fèi)價格指數(shù)），同比上漲4.5%,CP/上漲的主要因素是

豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CP/上漲3.27個百分點(diǎn).下圖是2019年11月CP/一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該

圖，下列結(jié)論錯誤的是（）

教育文化和

娛樂8.5%

A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%

C.豬肉在。尸/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

6.己知全集為實數(shù)集R,集合4=｛小2+2工-8>0｝,B=｛x\log2^<l｝9貝?。?A）c5等于（）

A.[-4,2]B.[-4,2）C.（-4,2）D.（0,2）

-+X2,X<1

7.已知函數(shù)/（%）=alnx、一若曲線>上始終存在兩點(diǎn)A,B,使得OALQ5,且AB的中點(diǎn)在V

-------,%>1

x（x+l）

軸上，則正實數(shù)，的取值范圍為（）

1

A.(0,+oo)C.D.[e,+oo)

e

8.等比數(shù)列｛4｝中，=-,q=2,則%與他的等比中項是（）

8

11

A.±4B.4C.±-D.-

44

9.設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,若邑=3,%+為=12,則公比4=（）

A.+4B.4C.±2D.2

10.已知正三角形ABC的邊長為2,。為邊的中點(diǎn)，E、R分別為邊A3、AC上的動點(diǎn)，并滿足|AE|=2|"卜

則。￡?。尸的取值范圍是（）

A.B.（-00,—]C.[一[0]D.（-00,0]

2lo162

11.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）

A.12萬B.16乃

C.24%D.48乃

12.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線C:二-2=1（。>03>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，

ab

若|耳閭=2|。叫，12112航工耳22,則雙曲線C的離心率的取值范圍為.

14.設(shè)全集U=R,集合4=卜|必—2x<0},B={x\x>l},則集合Ac05）=.

15.已知平面向量.，人的夾角為g,口=（行,1）,且|a—切=6，則|切=

22

16.已知橢圓r：=+?=1（?！?〉0）,尸I、仍是橢圓r的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓r的上頂點(diǎn)，延長Ab2交橢圓r

ab

于點(diǎn)況若AB片為等腰三角形，則橢圓r的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù);'（xhalnx—史:曲線y=/（力在點(diǎn)（I"⑴）處的切線方程為2x—y—2—e=0.

（1）求a,b的值;

（2）證明函數(shù)/（x）存在唯一的極大值點(diǎn)/，且/（%）<21n2—2.

18.（12分）管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓

管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為Ls的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于A5位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是

圓管內(nèi)壁直徑大小，.

（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

19.（12分）已知函數(shù)/（4）=/+=,g（x）=e1nx.

（1）若對于任意實數(shù)％20,/（可>0恒成立，求實數(shù)a的范圍;

（2）當(dāng)a=-1時，是否存在實數(shù)九使曲線C：y=g（x）—/（x）在點(diǎn)/處的切線與V軸垂直？若存在，求

出與的值；若不存在，說明理由.

22

20.（12分）設(shè)點(diǎn)耳（-c,O）,心（G。）分別是橢圓C:=+匕=1（?！?）的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

一a24

PR時的最小值為L

（2）如圖，直線/:x=5與％軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B且斜率左W0的直線4與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，M為線段E名的中

點(diǎn)，直線AM交直線/于點(diǎn)N,證明：直線BNJU.

21.（12分）在①J§（Z?cosC-a）=csinB；?2a+c=2Z?cosC；@Z?sinA=A/3?sin~~~~這三個條件中任選一

個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足,b=2^3,a+c=4,求AABC的面

積.

22.（10分）為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民

提供技術(shù)支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設(shè)莖高大于或等于180厘米

的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米.

抗倒?fàn)钜椎範(fàn)?/p>

77314

9733115

9640167

554175

12667

9S521900345899

6632023

（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)加；

（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表:

抗倒伏易倒伏

矮莖

高莖

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(KL.K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移（p（（p>0）個單位，

得至（Jy=sin2（%+。）=sin（2x+2（p）,

TT

此時與函數(shù)y=sin（2九十:）的圖象重合，

6

JI

貝（］2（p=2k兀H——,即0=左力—,keZ,

612

77

二當(dāng)左=0時，9取得最小值為°=一，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.

2、D

【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角5—AC—。的平面角，過點(diǎn)3作3OLDN于0,易得點(diǎn)。為_ADC的

/7丫/巧丫

中心，則三棱錐A-BCD的外接球球心在直線3。上，設(shè)球心為。1，半徑為乙列出方程2以-r+乂=1

33

即可得解.

【詳解】

如圖，由題意易知-ABC與_ADC均為正三角形，取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,

則的VLAC,ONLAC,,即為二面角3—AC—。的平面角，

過點(diǎn)B作BOLDN于。，則50,平面AC。，

=BN-cosZBND=^~,0D=^-,03=}—［個］=^~'

由BN=ND=6,cosNBND=；可得ON二

ON=gNL＞即點(diǎn)。為一ADC的中心，

???三棱錐A-BCD的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為。1，半徑為廠，

BOX=DO{=r,OO]=乎—r,

...其5—力+f—“解得一逅，

332

23

???三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S=4乃r=4A〃x—=.

2

故選：D.

B

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

3、C

【解析】

設(shè)。為中點(diǎn),先證明CD，平面八鉆，得出NCP。為所求角，利用勾股定理計算PA,PD,CD，得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)。，石分別是45,3。的中點(diǎn)AECD=F

R4_L平面ABC:.PA±CD

AABC是等邊三角形:.CD±AB

又QAAB=A

\CE>A平面245.?.NCP。為PC與平面八旬所成的角

AABC是邊長為26的等邊三角形

2

.-.CD=AE=3,AF=—AE=2且歹為AABC所在截面圓的圓心

3

球。的表面積為20萬二球。的半徑。4=6

:.OF=^O^-AF2=1

24,平面ABC:.PA=2OF=2

PD=VPA2+AD2=V7

CD_3_377

tan/CPD=

本題正確選項：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解

出線段長，屬于中檔題.

4、A

【解析】

Y+7X7

由題意，可得y=一z2=孫，消去y得f+xz—2z2=0,可得一二—2,繼而得到y(tǒng)=—不，代入即得解

2z2

【詳解】

由X,y,Z成等差數(shù)列，

所以y=±5二，又%z,y成等比數(shù)列，

所以z2=孫，消去y得好+xz—2Z2=0，

所以2=0,解得二=1或2=-2,

\7.)ZZZ

因為％,y,z是不相等的非零實數(shù)，

X7

所以一二—2,此時y=—三,

z2

所以二=-2—L_9.

z22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

5、D

【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個圖，分清2.5%是在C7V一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CP/一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的，故正確.

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡5,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.

【詳解】

解：由*2+2*-8>0,得xV-4或x>2,

/.A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由，ogzxvl,x>0,得0VxV2,

/.B={x\log2X<l}={x|0<x<2},

則^A={xM<x<2},

A(^A)i6=(0,2).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了對數(shù)不等式，二次不等式的求法，是基礎(chǔ)題.

7,D

【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在y軸上，設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)B(t,f(ty),a>0).對f分成三類，利用

04,03則0403=0,列方程，化簡后求得。=乙，利用導(dǎo)數(shù)求得L的值域，由此求得。的取值范圍.

InfInr

【詳解】

根據(jù)條件可知A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)A(-r,「+巧，,(/>0),若，<1,則/⑺=-?+/，

由O瓦所以。403=0，即一/+(/+/)(—產(chǎn)+〃)=o,方程無解；若/=i,顯然不滿足a。QB；若/>1,

2/32、。In/八t(tln^-1t

則/?)=/=，由04.03=0,即T+卜+/)/二=0,即。=「，因為—=;~所以函數(shù)「

t(t+1)'，/?+1)Inz(in?)'Inr

在(O,e)上遞減，在(e,+s)上遞增，故在/=e處取得極小值也即是最小值丘=6,所以函數(shù)丁=士在(1+8)上的

值域為[e,+8),故ae[e,+8).故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.

8、A

【解析】

利用等比數(shù)列{4}的性質(zhì)可得城=%%，即可得出.

【詳解】

設(shè)應(yīng)與a8的等比中項是

由等比數(shù)列｛%｝的性質(zhì)可得憂=%。8，???元=±。6.

，為與〃8的等比中項％=±。6=±—X25=±4.

8

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比中項的求法，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

由$2=3得q+4=3,又％+%=(4+%)"2=12,兩式相除即可解出4.

【詳解】

解：由$2=3得q+%=3,

又。3+。4=(/+%)/=12,

q2=4,q=-2,或q=2,

又正項等比數(shù)列｛4｝得q>0,

/.q=2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線AB:y=6(x+l),AC:y=-A^(X-I)

設(shè)出點(diǎn)石(冽,石(加+1)),/(",-6(〃—1))，通過IAE|=2|CR|,找出相與”的關(guān)系.

通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將上.)表示成〃，與〃的關(guān)系式，消元，轉(zhuǎn)化成機(jī)或〃的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關(guān)

知識，求出其值域，即為￡>?￡>/的取值范圍.

【詳解】

以D為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為V軸建系，

設(shè)A(O,g),B(—1,O),C(1,O),則直線AB:y=g(x+l),AC:y=—6(x—D

設(shè)點(diǎn)E(m,限m+1)),F(n,-瓜n-1)),-l<m<O,O<n<l

所以AE=(m,A^m),CF=(n-l,-73(M-1))

由|荏|=2|序|得加=4(〃-l)2,即加=2("—l),

7i

所以DE-DF=nm-3(m+1)(〃-1)=-4n2+7n-3=-4(〃一一)2+—,

816

由—1<m=2(〃-1)<0及0<〃Wl,解得由二次函數(shù)y=-4(〃一1)2+J_的圖像知，je[-lX],所以

2816216

DE.。廠的取值范圍是?故選A.

216

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.

n、A

【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代

入求得表面積公式計算.

【詳解】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2,

底面為等腰直角三角形，斜邊長為2應(yīng)，如圖：

.?.AABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)。，0D1AC,且。。u平面SAC,

SA=AC^2,

SC的中點(diǎn)。為外接球的球心，

?4?半徑R=6,

外接球表面積S=4萬X3=12萬.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)

求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

12、C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時橢圓長軸長為J12?+6?=6小，短軸長為6,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了楠圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、l<e<

【解析】

P4°2=|叫「+陽閭2,1311/；明耳=需|,又由雙曲線

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得/片Mg=

....,...\MF.\e2=l+---

的定義得|5|-|a1=2。，將離心率表示成關(guān)于|M|，|叫|的式子，再令扁=后2,則右?+1_2,令

/（0=?+p對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在[2,+8）上單調(diào)性，可求得離心率的范圍.

法二：令|上陰|=、|叫|=馬，ZMF2F=0,tan6>>2,]=2csin。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得

71

ZF.MF^-,將離心率表示成關(guān)于角。的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan夕的函數(shù)，可求得離

心率的范圍.

【詳解】

\MF.\

2

法一：國用|=2|QM|,.?./[叫=]:.4c=\MF}f+\MF2ftan/MF?F\—-----:

2慳研____________

4c_\MF}f+\MF2f

\MF^-\MF^=2a,才一(的周一|咽|)2

師居

MK1-2IMI+\MF2f

\MF2f

鉛四則/r+12

L>2-；-----------=1H-------：------

設(shè)同一62'則2、

t-2t+l—IH-1---Z

令/("=/+；,/，("=]_:'寧—1),所以/>2時,/'(?)>0,/(。在[2,+8)上單調(diào)遞增,

115廠

?-t+->2n+—=—,：.l<e2<5f:.l<e<V5.

t22

法二：⑶月令|阿|=、|叫|=&,

|=2|0M|,.?.NGMg=T，ZMF2F=0,tan(9>2,r=2csm6,

r>=2ccos0,:.2a=r,-n=2c(sin0-cos6),e=---------------,

sin0-cos0

1_sin20+cos20_tan26^+1

1+-------------------<5

222

(sin-cosOYsin^+cos0-2sin^cos^tan0+1-2tan0tan0+--------2

tan。

故答案為：l<e<^.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題，關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的”,dc有關(guān)，從而將離心率表示關(guān)

于某個量的函數(shù)，屬于中檔題.

14、(0,1]

【解析】

分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集，再由集合交集的運(yùn)算法則計算求得答案.

【詳解】

由題可知，集合A中7-2x<0=>x(x-2)<0n0<x<2

集合8的補(bǔ)集g3={x|x<l},則Ac&3)={x|0<x〈l}

故答案為：(0,1]

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15、1

【解析】

rrr

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得。，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得a力；將化簡并代入即可求得

【詳解】

a=(G,l),則卜卜J(百丁+儼=2,

平面向量a，匕的夾角為則由平面向量數(shù)量積定義可得a2=W-Wcosg=2xMx；=M|,

根據(jù)平面向量模的求法可知1=V3，

代入可得,4—2忖+此=73，

解得卜|=1，

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

16、B

3

【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)忸囚=/,由題可得忸耳|的長，在三角形耳中，三角形幽心中由余

弦定理可得的值相等，可得a,c的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率

【詳解】

如圖，若AA5耳為等腰三角形，貝！］|3為|平為.設(shè)|3g|=f,貝!J|BR|=2a-f,所以|4昨a+U|3尸i|=2a-f,解得a=2f,即

尸i|=3f,\AFi\=2t,設(shè)NR40=仇貝!|/區(qū)4歹尸2仇所以「的離心率e='=當(dāng)"=sin?,結(jié)合余弦定理，易得在

AA54中，cos20=-=l-2sin2^,所以sin2g=L,即e=sin。=占，

333

故答案為：走.

3

【點(diǎn)睛】

此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a=2,b=l(2)證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)，可得了'(1)=。，f(1)=-be,結(jié)合已知切線方程即可求得。，〃的值；

e"22

(2)利用導(dǎo)數(shù)可得了(%)=2歷x。----=2lnx0---------x0e(l,2),再構(gòu)造新函數(shù)〃(幻=2歷x------------,l<x<2,利用導(dǎo)

Xox0-1x-1

數(shù)求其最值即可得證.

【詳解】

(1)函數(shù)的定義域為(0,+8),廣(x)--ge：e、),

XX

則/'(1)=a,f(1)=-be,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)a,f(1))處的切線方程為辦-y-a-%=0,

又曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x-y-2-e=0,

..a=2,b=1；

x2x-xex+ex

(2)證明：由(1)知，f(x)=2lnxe--,則廣㈤二:,

XX

令g(x)=2x-xe*+e*,貝!)g，(x)=2-xe",易知g'(x)在(0,+℃)單調(diào)遞減，

又g，(0)=2>0,g'(1)=2-e<0,

故存在占€(0,1),使得g@)=0,

且當(dāng)xe(0,』)時，g'(x)>0,g?)單調(diào)遞增，當(dāng)+co)時，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

由于g(0)=l>0,g(1)=2>0,g(2)=4-e2<0,

故存在/e(1,2),使得g(xO)=O,

且當(dāng)xw(O,%)時，g(x)>0,/(%)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe?,+8)時，g(x)<0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞

減，

故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)%,且g(無。)=21-瓦洲+*=0,即*=用、,為e(l,2),

*2

貝(I/(%)=2歷%----=2lnx0----------,

%X。-1

222

令h(x)=2lnx--------,1<%<2,貝?。輍\x)=-+-------j>0,

x-1x(x-1)

故川犬)在(1,2)上單調(diào)遞增，

2

由于毛￡(1,2),故帖；0)</2(2)=2歷2-2,即2g)--------<2/n2-2,

/T

二./(犬0)<2ln2-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題.

18、(1)-^r+—0,^1；(2)13A/13COT.

sm0cos0\2J

【解析】

(1)過A作PC的垂線，垂足為C,易得AP=「，BP=-進(jìn)一步可得￡；

sin6cos6

(2)利用導(dǎo)數(shù)求L(0)=三+一6e|0,^|得最大值即可.

sinacos，I2)

【詳解】

(1)如圖，過A作PC的垂線，垂足為C,在直角△APC中，AAPC=0,

278

AC=27cm,所以=——cm,同理3尸二----cm,

sin0cos0

',IZvZI,I

sin。cos夕I2J

rmi丁“、27cos68sin^8sin3^-27cos3^

貝（1L（6）=-----5一+——==------5-----5—，

sin20cos20sin2<9cos20

令工⑹=0,則tai?*?,即tan6=m

設(shè)6oe]o,1^,且tan%=|,則

當(dāng)。€（0,〃）時，tan0<|,￡（0）<0,所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時，tan9>m，Z（e）>0,所以單調(diào)遞增,

所以當(dāng)。=%時，〃，）取得極小值，

所以L（。）1rali="4）.

33

2

因為tan4=—,所以sinq=—cos^,又sin?綜+cos00=1,

所以COSKJ,又4+目，

~2.3

所以COS6O=7U，所以sin6o=7^,

所以■為"嘉+e=13萬(。〃)

所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為13疝%.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

19、(1)(-e,-Hx>)；(2)不存在實數(shù)九0e[l,e],使曲線y="(尤)在點(diǎn)x=/處的切線與丁軸垂直.

【解析】

(1)分類x=0時，恒成立，龍W0時，分離參數(shù)為。〉-乙，引入新函數(shù)H(x)=-利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即

XX

可；

(2)M(x)=f(x)-g(x)=ex]nx-ex+x,導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)”(x),問題轉(zhuǎn)化為"(x)=0在口⑷上有解.再用導(dǎo)數(shù)研

究M(x)的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：(1)因為當(dāng)尤20時，/(x)=e*+ax>0恒成立,

所以，若x=0,。為任意實數(shù)，/(%)="+3:>0恒成立.

若%>0,/(%)=e，+ax>0恒成立，

即當(dāng)尤>0時，a>-—,

X

山口/\e*〃，/\exx-ex(l-x)ex

設(shè)H(%)=---9H(x)=------—=-------9

xxx

當(dāng)xe(O,l)時，H'(x)>0,則H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，H'(x)<0,則H(x)在。,+?)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時，H(x)取得最大值.

用"厘二"⑴”，

所以，要使“0時，/(尤)>0恒成立，。的取值范圍為(—％+8).

(2)由題意，曲線。為：y=exlnx-ex+x.

令M(x)=e*lnx-e*+x,

所以M'(x)=J+e*Inx-e*+1=［4+lnx-l］e*+1,

設(shè)/i(x)=^+lnx—1,貝U/f(x)=—二+工=與，

XXJCJC

當(dāng)xe［l,e］時，/z'(%)>0,

故h(x)在［1,e\上為增函數(shù)，因此/i(x)在區(qū)間［1,e\上的最小值%⑴=In1=0,

所以/z(x)=—+ln%-l>0,

當(dāng)/epe］時,*>0,—+ln%0-l>0,

X。

(1、

所以M'(xo)=---blnx0-1*+1〉0,

\x0)

曲線y=einx-e'+x在點(diǎn)x=/處的切線與y軸垂直等價于方程AT(%)=。在％e[1,e]上有實數(shù)解.

而"'(%)>0,即方程”(不)=0無實數(shù)解.

故不存在實數(shù)xoe[l,e],使曲線y=M(尤)在點(diǎn)x=%處的切線與丁軸垂直.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式恒成立，考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由導(dǎo)數(shù)幾何把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.

22

20、(1)—+^=1(2)見解析

54

【解析】

(1)設(shè)p(x,y),求出PE后由二次函數(shù)知識得最小值，從而得a,即得橢圓方程；

(2)設(shè)直線4的方程為y=1),4W0,代入橢圓方程整理，設(shè)由韋達(dá)定理得

X+X,=-^^,為々=V，設(shè)N(5,y°),利用AM,N三點(diǎn)共線，求得％=T，

1-4+5左2，]24+5左之Xj-3

然后驗證%-%=0即可.

【詳解】

解：(I)設(shè)P(x,y),則"=(—c—%—y)，朋=(c—x,—y)，

所以「=必+>2一°2=q:1必+4-°2,

a

因為Q>2,尤￡[-a,a].

所以當(dāng)x=0時，月片?"值最小，

所以4—/=3,解得。=1,(舍負(fù))

所以/=5,

22

所以橢圓C的方程為土+匕=1,

54

(2)設(shè)直線4的方程為y=1),左W0,

y=k(x-V),

聯(lián)立2,得(4+5左2)/一10左2JC+5/—20=0.

1一5+一4=1,

、幾4/xox、??lQk~5k~—20

設(shè)4%,%),5(%2，>2)，貝！I%+々=-——j,為々=~~ZTF，

/1I，>vID

設(shè)N(5,y0),因為AM,N三點(diǎn)共線，又M(3,0)

所以m=+，解得為=上\.

3_%2玉—3

°,1015A2—20「

-1K-------------K---------------1K

2

而2M_24(芭―1)3左(西+々)一打馬一5左—4+5424+5Z:所以

%—3%-3%-3%—3

直線的V//x軸，即3NU.

【點(diǎn)睛】

本題考查求