葫蘆島第六初級中學

拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面向上”和“反面向上”發生的可能性相等，這兩個隨機事件發生的概率都是0.5，這個概率能否利用試驗的方法──通過統計很多擲硬幣的結果來得到呢？頻率和概率的關系【試驗要求】1.全班同學分成10組，每組同學拋擲一枚硬幣50次.2.統計試驗結果，按要求計算頻率（頻率結果保留兩位小數），

向組長匯報，并由組長填寫好表格.3.組長將表格交給老師.試驗投擲時要細心、認真.拋擲次數n50100150200250300350400450500“正面向上”的頻數m26527498128149176203225252“正面向上”的頻率m/n0.520.520.490.490.510.500.500.510.500.50第1組的數據填在第1列，第1,2組的數據之和填在第2頁......10個組的數據之和填在第10列.根據表中數據想一想：“正面向上”的頻率有什么規律？分析試驗結果及下面數學家大量重復試驗數據，大家有何發現？試驗者拋擲次數n“正面向上”次數m“正面向上”頻率(

)棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005根據上表中的數據，畫出“正面向上”的頻率的變化趨勢圖如下：發現：試驗次數越多頻率越接近0.5，即頻率穩定于概率.拋擲次數n0.520484040100001200024000“正面向上”頻率()0人們在長期的實踐中發現,在隨機試驗中,由于眾多微小的偶然因素的影響,每次測得的結果雖不盡相同,但大量重復試驗所得結果卻能反應客觀規律.這稱為大數法則,亦稱大數定律.由頻率可以估計概率是由瑞士數學家雅各布·伯努利（1654－1705）最早闡明的，因而他被公認為是概率論的先驅之一．頻率穩定性定理

為什么可以用頻率估計概率？一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的概率

會穩定在某個常數p附近，那么事件A發生的概率P(A)=p.頻率與概率有什么區別與聯系？

所謂頻率，是在相同條件下進行重復試驗時事件發生的次數與試驗總次數的比值，其本身是隨機的，在試驗前不能夠確定，且隨著試驗的不同而發生改變.而一個隨機事件發生的概率是確定的常數，是客觀存在的，與試驗次數無關.

從以上角度上講，頻率與概率是有區別的，但在大量的重復試驗中，隨機事件發生的頻率會呈現出明顯的規律性：隨著試驗次數的增加，頻率將會越來越集中在一個常數附近，具有穩定性，即試驗頻率穩定于其理論概率.★一般地,當試驗的可能結果有很多且各種可能結果發生的可能性相等時,則用列舉法，利用概率公式P(A)=

的方式得出概率.★當試驗的所有可能結果不是有限個,或各種可能結果發生的可能性不相等時,常常是通過統計頻率來估計概率,即在同樣條件下,大量重復試驗所得到的隨機事件發生的頻率的穩定值來估計這個事件發生的概率.

某籃球隊教練記錄該隊一名主力前鋒練習罰籃的結果如下：（1）填表（精確到0.001）；（2）比賽中該前鋒隊員上籃得分并造成對手犯規，罰籃一次，你能估計這次他能罰中的概率是多少嗎？練習罰籃次數306090150200300400500罰中次數274578118161239322401罰中頻率0.9000.7500.8670.7870.8050.7970.8050.802解：從表中的數據可以發現，隨著練習次數的增加，該前鋒罰籃命中的頻率穩定在0.8左右，所以估計他這次能罰中的概率約為0.8.例題

某水果公司以2元/kg的成本價新進了10000千克柑橘，如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為多少元比較合適？

頻率估計概率的應用例題0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103由上表可知：柑橘損壞率是

，完好率是

.0.100.90銷售人員首先從所有的柑橘中隨機抽取若干柑橘，進行“柑橘損壞率”統計，并把獲得的數據記錄在下表中，完成表格：解：根據估計的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的質量為10000×0.9=9000千克，完好柑橘的實際成本為設每千克柑橘的銷價為x元，則應有（x-2.22）×9000=5000，解得x≈2.8.因此，出售柑橘時每千克大約定價為2.8元可獲利潤5000元.分析

根據上表估計柑橘損壞的概率為0.1，則柑橘完好的概率為0.9.1.在一個不透明的盒子里裝有除顏色不同其余均相同的黑、白兩種球，其中白球24個，黑球若干.小兵將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是試驗中的一組統計數據：摸球的次數n10020030050080010003000摸到白球次數m651241783024815991803摸到白球概率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)請估計:當n很大時,摸到白球的頻率將會接近

（精確到0.1）；(2)假如你摸一次，估計你摸到白球的概率P（白球）=

.0.60.62.一水塘里有鯉魚、鯽魚、鰱魚共1000尾，養殖戶通過多次捕獲試驗后發現：鯉魚、鯽魚出現的頻率是25%和35%，則這個水塘里有鯉魚

尾,鰱魚

尾.2504003.為了估計一個不透明的袋子中白球的數量（袋中只有白球），現將5個紅球放進去（這些球除顏色外均相同）隨機摸出一個球記下顏色后放回（每次摸球前先將袋中的球搖勻），通過多次重復摸球試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定于0.2，由此可估計袋中白球的個數大約為

個.204.拋擲硬幣“正面向上”的概率是0.5.如果連續拋擲100次，而結果并不一定是出現“正面向上”和“反面向上”各50次，這是這什么？解：這是因為頻數和頻率的隨機性以及一定的規律性.或者說概率是針對大量重復試驗而言的，大量重復試驗反映的規律并非在每一次試驗中都發生.頻率估計概率大量重復試驗求非等可能性事件概率列舉法不能適應頻率穩定常數附近統計思想用樣本（頻率）估計總體（概率）一種關系頻率與概率的關系頻率穩定時可看作是概率但概率與頻率無關課堂總結16、錯過的人與事，不必頻頻回首;結痂的疤痕，無須反復觸摸。3、投資知識是明智的，投資網絡中的知識就更加明智。20、與其回味昨日的溫暖，不如好好把握今日的花香。14、愚昧者怨天尤人，無能者長吁短嘆，儒弱者頹然放棄。18、真心的對別人產生點興趣，是推銷員最重要的品格。5、為了不讓生活留下遺憾和后悔，我們應該盡可能抓住一切改變生活的機會。5、有魅力的女人不怕男人花心。有實力的男人不怕女人現實。16、因為愛得尊嚴，我選擇離去。因為愛得無奈，我選擇放棄。2、生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是沒味的。你可以勝利，也可以失敗，但你不能屈服。7、喜歡一個人不是回復他每條動態，而是研究下面可疑的評論。14、人生如一支歌，應該多一些昂揚的吟唱，少一些哀婉的詠嘆。16、欲望以提升熱忱，毅力以磨平高山。20、用辛勤收獲財富，用感恩回贈鄰里，小康我們同步前進。16、用最少的悔恨面對過去。用最少的浪費面對現在。用最