皿、、九

數1r學

本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復數z滿足z+Z=2,z—5=Ti,則忖=()

A1B.2C.75D.2逐

2已知集合M={x|y=ln(l—2x)},N={y[y=e、'J,則AfcN=()

B.C.D.0

3.已知向量a=(—2,4),b=(l,。，若a與》共線，則向量a+6在向量_/=(0,1)上的投影向量為()

A.jB.-jC.2jD.-2j

4.已知函數/(x)=a+1—(abwO)是奇函數，貝。()

3—1

A.2a+b=QB.2a—b=0C.a+b=OD.a—b=O

5.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最

上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，….…記各層球數構成數列{4},且{。用-。”}為等差

數列，則數列上的前100項和為()

A

A—100〃99200

B.-----C.—D.------

10010150101

6.直線/：y=Ax-2與圓6x—7=0交于A,8兩點，則|AB的取值范圍為（）

A.[77,4]B.[277,8]C,[A4]D.[2瘋8]

7T

7.已知0＜尸＜a＜e,cos(^+/?)=—,sin(a-/?)=y,則tanetan/?的值為()

35

AIB.-C.-D.2

53

8.若函數/（x）=，3—/+x+l在區間（0,2）上存在極小值點，則。的取值范圍為（）

D.(1,+co)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節能減排.現從某小區隨機調查了200戶家庭十月份的用

電量（單位：kW-h）,將數據進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，

A.圖中a的值為0.015

B.樣本的第25百分位數約為217

C,樣本平均數約為198.4

D.在被調查的用戶中，用電量落在［170,230）內的戶數為108

22

10.已知雙曲線E:——、=1（。〉0）的左、右焦點別為耳，工，過點工的直線/與雙曲線E的右支相交

于RQ兩點，則（）

A.若E的兩條漸近線相互垂直，則a=J5

B.若E的離心率為6，則E的實軸長為1

C若/耳尸&=90°,則閥卜|%=4

D.當。變化時，耳PQ周長的最小值為8&

11.已知點是函數/（￡）=sin］ox+：）+6（0〉O）的圖象的一個對稱中心，則（）

A./V-1是奇函數

28,

B.CD------\--k,eN

33

C.若/（x）在區間［獲，竽）上有且僅有2條對稱軸，則刃=2

,、14

D.若/（%）在區間上單調遞減，則＜9=2或0=一

3

12.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—A4GR中，已知M，N,P分別是棱G2,AA,,8。的中點,

。為平面上的動點，且直線與直線。用的夾角為30。，則（）

A.DB]±平面PMN

B.平面PW截正方體所得的截面面積為

C.點。的軌跡長度為兀

D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為

3—A/3

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為R點加在C上，軸，若Z\OFM（。為坐標原點）

的面積為2,則。=.

14.（2/+》—的展開式中刀5丁的系數為（用數字作答）.

15.已知三棱錐尸—A3C的四個頂點均在同一球面上，PC,平面ABC,PC=BC=瓜,AB=2^6,

且PA與平面ABC所成角的正弦值為逅，則該球的表面積為.

6

16.己知函數/（x）=e2、—2a（x—2）e*—//卜小。）恰有兩個零點，則。=

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設數列｛4｝的前"項和為5“，且S”=2a”一1.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（、,「log?為奇數（、

⑵若數列｛4｝滿足a=上田跖，求數列也｝的前2〃項和

為偶數

18.如圖，在四棱錐P—A5CD中，CDHAB,ZABC=90°,AB=2BC=2CD=4,三棱錐5—

的體積為逑.

3

（1）求點尸到平面ABC。的距離；

⑵若PA=PD,平面PAD，平面ABCD,點N在線段AP±.,AN=2NP,求平面NCD與平面ABCD

夾角余弦值.

7T

19.記5c的內角A,3,C的對邊分別為4,Z?,c,已知bsinB+csinC-asinA=2Z?sin5sinC且Cw—.

2

71

(1)求證：B=AH—；

2

(2)求cosA+sin_B+sinC的取值范圍.

20.已知函數/(%)=(x+2)ln(x+l)-依.

(1)當a=0時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)當—1<%<0時，/(x)<0,求。的取值范圍.

21.杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產良渚古城遺址、京杭大運河和

西湖，分別展現了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神.甲同學

可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內部隨

機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能

的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元.

(1)甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開.當甲買到的吉祥物首次出現相同款式時，用X

表示甲購買的次數，求X的分布列；

(2)為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數量不超過3個，若未集齊再直接購買吉祥物，

以所需費用的期望值為決策依據，甲應一次性購買多少個盲盒？

22.在平面直角坐標系中，點歹卜百,0),點P(x,y)是平面內的動點.若以PF為直徑的圓與圓

0：爐+/=4內切，記點P的軌跡為曲線E.

(1)求￡的方程；

⑵設點4(0,1),N(4—f,0)(/w2),直線AM,AN分別與曲線E交于點S,T(S,T異于A),

AH±ST,垂足為X,求的最小值.

2024屆廣州市高三年級調研測試

數學

本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：L答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復數z滿足z+Z=2,z—5=Ti,則忖二()

A.1B.2C.y/5D.275

【答案】C

【解析】

【分析】由條件求得z,即可計算模長.

【詳解】Vz+z=2,z-z=^i，，2z=2—4i,z=l-2z,

.?.目=#+(—2)2

故選：C.

2.已知集合M=卜卜=ln(l—2x)},N={y[y=e*},則McN=()

A.同]B./TC.D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據對數函數的定義域、指數函數的值域求得進而求得McN.

【詳解】由1—2x>0,解得x<；,所以"=(x|x<g

而y=e”>0,所以N={y|y>0},

所以MN=[o,gj

故選：A

3.已知向量々=(—2,4),若a與》共線，則向量a+6在向量j=(O,l)上的投影向量為()

A.jB.-jC.2jD.-2j

【答案】C

【解析】

【分析】根據a與匕共線，可得—2f—4=0,求得/=—2,再利用向量a+b在向量_/=(0,1)上的投影向

量為(a一+斤b)-上j,古j，計算即可得解.

【詳解】由向量a=(—2,4),匕=(1J),

若行與匕共線，則一27—4=0,所以/=—2,

〃+Z?=(―1,2),

所以向量a+b在向量j=(。,1)上的投影向量為：

(a+b)-jj(-1,2)-(0,1).

故選：c

A

4.已知函數/(%)=〃+1——(次?。0)是奇函數，則()

3—1

A.2a+b-0B.2a—b=0C.a+b-0D.a-b=0

【答案】B

【解析】

【分析】根據函數的奇偶性列方程，從而求得正確答案.

【詳解】八X)的定義域為{x|"0},

由于〃龍)是奇函數，所以/(—x)+〃x)=0,

所以a+'一+a+—b-yb

=2。—+

3X-13-13X-13X-1

^(l-3x)

=2a+=2a-b=Q-

3X-1

故選：B

5.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最

上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…….記各層球數構成數列｛4｝,且｛〃用-%｝為等差

數列，則數列,的前100項和為（

99100200

A.---B.——cTD.

10010150ToT

【答案】D

【解析】

【分析】根據累加法求得4,利用裂項求和法求得正確答案.

【詳解】q=1,4=3,%=6,%—=2,%—“2=3,

由于｛%+「％｝為等差數列，所以4+i—4=2+(w-l)xl=n+l,

所以=%+(。2-4)+(%-%)++(an~an-i)

=1+2+3++n=—,%也符合，

〃("+1)12(\1y

所以％=，一=~7--A=2--------，

2ann(n+l)\nn+lj

所以數列<一>的前100項和為2(1—7+7-；++-~I-1-

anJI223100101)\

故選：D

6.直線/:y=Ax—2與圓+/—6x—7=0交于A,B兩點，則|48|的取值范圍為()

A.[V7,4]B.[2近,8]C,[A/3,4]D.12點可

【答案】D

【解析】

【分析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態，即可求出目的取值范圍.

【詳解】由題易知直線/：y=丘-2恒過〃（0,—2）,

圓C:f+/一6%—7=0化為標準方程得C:（x—3『+丁=16,

即圓心為C（3,0）,半徑r=4,

圓心到M（0,-2）距離匕閭=J（3-Op+（0+2）2=而＜4,

所以M（0,—2）在圓C內，

則直線/與圓C交點弦|4耳最大值為直徑即8,

\AB\最小時即為圓心到直線距離最大，

即CM，/時，此時\AB\=2J42—13=26，

所以的取值范圍為[26,8]

故選：D

JI13

7.已知0＜尸＜。＜5，cos(cif+/?)=-,sin(a—分)=y,則tanetan/?的值為()

5

35

AB.-C.一D.2

-I53

【答案】B

【解析】

【分析】根據同角三角函數的基本關系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.

【詳解】cos(cif+,)=cosacos/?-sinorsin,

3

sin(a—/?)=sinacosp-cosasin/?=一,

cosacos6-sinasinB1人八，

sinacos夕—cososin夕=§'分子分母同時除以得:

1-tan。tan，_1①

tana-tan/?3

a—/3>。

JTTTjr

由于0<夕<a<5，所以，——<-P<0,所以0<a—/<萬,

八兀

0<a<一

12

所以cos(a-0=

所以tan(o―尸)=sm，噂=

cos〈a—0)4

tana-tan￡3八33八，?

即-----------二一,tan。一tan/?=—+—tanatan，，代入①得：

1+tanortanp444

1-tan<ztanB1.

------------------------------=—J

33八3，解得tanatan—.

—+—tan6irtanp5

故選：B

8.若函數/（x）=；d—以2+x+i在區間（0,2）上存在極小值點，則。的取值范圍為（）

A.B.l,￡jC.D.（1,+s）

【答案】A

【解析】

【分析】根據/'（%）的零點、/（尤）的極值點的情況列不等式，由此求得。的取值范圍.

【詳解】/（x）=-1x3-ax2+x+l,/f（x）=x2-2av+l,

/'（x）=x2-2ax+l的開口向上，對稱軸為x=a,與y軸的交點為（0,1）,

當aWO時，在區間（0,+。）上，f\x）>0,〃尤）單調遞增，

沒有極值點，所以a>0,

要使“龍）在區間（0,2）上存在極小值點，則/'（x）=f—2疑+1=0在（0,2）有兩個不等的正根,

。>0

A=4a2-4>05

則需《?c，解得1<。<二,

0<a<24

f（2）=5-4a>0

所以。的取值范圍是

故選：A

【點睛】求解函數極值點的步驟：⑴確定/（九）的定義域；⑵計算導數/'（X）;（3）求出/'（尤）=0的

根；（4）用/'（力=0的根將/（九）的定義域分成若干個區間，考查這若干個區間內/'（x）的符號，進而確

定/（%）的單調區間；（5）根據單調區間求得了（無）的極值點.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節能減排.現從某小區隨機調查了200戶家庭十月份的用

電量（單位：kW-h）,將數據進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，

B.樣本的第25百分位數約為217

C.樣本平均數約為198.4

D.在被調查的用戶中，用電量落在［170,230）內的戶數為108

【答案】AC

【解析】

【分析】根據頻率直方圖，結合各個統計量的含義，逐項分析判斷即可.

【詳解】對A,20(0.006+0.007+0.01+0.012+a)=1,

所以a=0.015,故A正確；

對B設樣本的第25百分位數約為6,,

則20x0.007=0.14<0.25

20(0.007+0.012)=0.38>0,25,

所以6《170,190],故B錯誤；

對C,樣本平均數為：20(160x0.007+180x0.012+200x0.015+220x0.01+240x0.006)=198.4,

故C正確；

對D,用電量落在[170,230)內的戶數為：

20(0.012+0.015+0.01)x200=148,故D錯誤.

故選：AC

22

10.已知雙曲線—、=l(a〉o)的左、右焦點別為耳，心，過點工的直線/與雙曲線E的右支相交

于RQ兩點，則()

A.若E的兩條漸近線相互垂直，則。=也

B.若E的離心率為班，則E的實軸長為1

C.若NKP8=90。，貝周.歸耳|=4

D.當。變化時，片PQ周長的最小值為8立

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意，b=?，

A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以2=1,a=沙=0,故A正確；

a

解得。=1,所以實軸長2a=2,故B錯誤;

］P周一|P用=2a

C選項，若/耳尸乙=90°,貝卜、|P耳「+忸居「=4。2,

整理得2|尸7訃|?閭=4?—4〃=4斤=8,歸耳卜歸閭=4,故C正確;

PF-PF=2a

D選項，根據雙曲線的定義可知，＜X2

QF{-QF2=2a'

兩式相加得歸耳|+|。耳|—|尸。=4a，|W|+|QK|=4a+|P@，

所以HPQ周長為4a+2|?。］,

當PQ_L耳心時，取得最小值生=d

aa

所以4a+2|PQ|24a+->2J4tz--=8V2,

aa

8廠

當且僅當4。=—,即。=血時，等號成立，

a

所以耳PQ周長的最小值為8、叵，故D正確.

故選：ACD

3兀71

11.已知點尸,1|是函數/(x)=sinCOXH---+6（。〉0）的圖象的一個對稱中心，則（

84

3兀

A.-1奇函數

8

28,*

B.CD------卜一k,eN

33

上有且僅有2條對稱軸，則①二2

若/（%）在區間［專］14

D.上單調遞減，則。=2或。=一

3

【答案】BC

【解析】

【分析】根據/（九）的對稱中心求得仇。，根據奇偶性、對稱性、單調性等知識確定正確答案.

3兀71

【詳解】依題意，點P,1|是函數〃x)=sinCOXH---+6（。〉0）的圖象的一個對稱中心,

84

.(371711c3兀兀7128

所以/?=1,且sin|一0+―|=0,—(D+—=kit,co=-kkGN①，B選項正確.

\84)849

28171.

則〃x)=sin-----1—k\x~\—+1,左GN,

33)44

所以小卡卜1兀

=sin-鴻人x-^+—

4

=sin444+微。-2左）,

3兀—1+|左[x+](l—2左)是偶函數,

由于1—2人是奇數，所以7%-1=sin

82

A選項錯誤.

3兀11兀3兀兀兀n兀7i

C選項,一<%<---,—CD+—<CDX~\----<--------CDH----,

8884484

9Q

將啰=——十—代入得:

33

亞3兀一九+烏71<二+九711171二+九+工71

2+X+—<-----

8334I334833J4

.，口7(28,]兀78加"2兀

整理得E<(一]+§%)％+1<E+飛——

433

由于/（%）在區間［獲，詈）

上有且僅有2條對稱軸,

?，，3兀8E2兀,5兀13,,19*?，，，

所以—<--------<—,斛得——<k<—,由于左eN>所以％=1,

23321616

2Q

對應力=---1—=2,所以C選項正確.

33

兀2兀

D選項，/（九）在區間上單調遞減,

55

712兀712兀7171712兀兀

一VXV---,——①<CDXV-----G)>—CDH----VCDXH-----<—(D+—,

555554454

2Q

將0=——+?左次eN*代入得：

33

7T二+九+工71<二+九一712n[28,]7K1

<———+-k+—,

3343345I33J4

生,口8兀77兀7116K,7t

整理得77%+=〈二十4》巴<----k------

15o03341560

則:^左一二一（普左十二]4兀，l<k<—,而ZwN*，所以女=1或左=2,

1560<1560J8

8兀左+7兀16兀左兀］_(37兀21兀］

女=1時,15+60，17-6oJ-l_6o'，^6"J符合單調性,

8兀7兀16K兀）_，71兀127兀

左=2時,,不符合單調性，所以左=2舍去

2Q

所以。=——+-xl=2,所以D選項錯誤.

33

故選：BC

12.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—A4G2中，已知M,N,尸分別是棱GA，AA],BC的中點,

。為平面PMN上的動點，且直線與直線。片的夾角為30。，則（）

A.DB}±平面PMN

B.平面尸截正方體所得的截面面積為3G

C.點。的軌跡長度為兀

D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為

3—'73

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出平面PW的法向量，得到線面垂直；B選項，作出輔助線，

找到平面PMV截正方體所得的截面，求出面積；C選項，作出輔助線，得到點0的軌跡，并求出軌跡長度；

D選項，由對稱性得到平面PMV分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，由對稱性可知，球心在耳。上，

設球心為火”//）,由|RS|=/得到方程，求出半徑的最大值.

【詳解】A選項，以。為坐標原點，。4,。。,。2所在直線分別為蒼y*軸，建立空間直角坐標系,

P（l,2,0）,M（0,l,2）,7V（2,0,l）,JD（0,0,0）,B1（2,2,2）,

故DBX=（2,2,2）,PM=（-1,-1,2）,=（1,-2,1）.

設平面尸的V的法向量為加=（羽y,z）,

m-PM=（x,y,z）?（-1,-1,2）=-x-y+2z=0

m-PN=（x,y,z）?（1,-2,1）=x-2y+z=0

令z=l得,x=y=l,故=

因為。4=2機，故。耳，平面FMN,A正確；

B選項，取A2，A瓦CG的中點E,￡Q,連接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP，AB,CD\,

因為N,P分別是棱G2，M-BC的中點，

所以NF11%B,MQ11CD”又CDJIEPIIA、B,

所以NFIIMQ/IEP,所以平面PMV截正方體所得的截面為正六邊形FPQMEN,

其中邊長為0,故面積為6x^x（后『=36，B正確；

C選項，。為平面PMV上的動點，直線與直線。用的夾角為30。,

又。耳，平面PMV,設垂足為S,以S為圓心,為半徑作圓,

即為點。的軌跡，

其中4。=仰J4+4+4=2G,由對稱性可知，4s=；4。=6,

故半徑r-^-xy/3-1,

3

故點。的軌跡長度為2兀，C錯誤;

D選項，因為M,N,P分別是棱G2，AA-8。的中點，

所以平面PMV分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，

不妨求能放入含有頂點D的空間幾何體的球的半徑最大值，

該球與平面尸MN切與點S,與平面AD2A，平面ADCB，平面。CG2相切,

由對稱性可知，球心在耳。上，設球心為則半徑為f,

s(i,i,i),故|RS/人即6(i—/)=，，解得/=

故球的半徑的最大值為上g,D正確.

2

故選：ABD

【點睛】立體幾何中截面的處理思路：

(1)直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找

交線的過程；

(2)作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找

直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

(3)作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借

助交點找到截面形成的交線；

(4)輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為R點M在c上，軸，若(。為坐標原點)

的面積為2,則。=.

【答案】2拒

【解析】

2

【分析】根據所給條件，可得/(，0),再令工=券得國=。，帶入面積公式S°FM=?,計算即可得

解.

【詳解】由嗎,0),令％■得3=/，

所以SOFM=~~\y\=-^=2'

所以p2=8,P=2忘.

故答案為：2夜

14.(2x?+x-的展開式中/產的系數為(用數字作答).

【答案】120

【解析】

【分析】根據二項式展開式有關知識求得正確答案.

【詳解】由于％5y2=(x2)2.x.y2,

所以(2f+x—的展開式中含了5y2的項為C：(2/『xC/XC|(―丁區=120爐產,

所以(2/+X—y)5的展開式中/產的系數為120.

故答案為：120

15.已知三棱錐尸—A5C的四個頂點均在同一球面上，PC,平面ABC,PC=BcM，AB=2屈,

且己4與平面ABC所成角的正弦值為逅，則該球的表面積為.

6

【答案】36兀

【解析】

【分析】求出三角形ABC外接圓圓心。「過。|作平面ABC,且OQ=工尸C=漁，則。為三棱

22

錐尸-ABC的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.

如圖根據題意，PC，平面ABC,

所以/PAC即與平面ABC所成角，貝hinNPAC=直，

6

又因為PC=5C="，AB=2底,

所以sinNPAC=電=黑nAP=6，則AC=VA^-PC2=730，

6AP

又AC2=30=AB2+BC2=>AB±BC^即三角形ABC為直角三角形,

取AC中點。一則。?為三角形ABC外接圓圓心，

取AP中點。，則PC,且oq=F=日,

所以OP=OC=Q4=OB,即。為三棱錐P-ABC的外接球球心，

其半徑氏2=042=。02+。42=］乎:+］等j=9,

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4成之=36兀.

故答案為：36兀

16.已知函數/(%)=62*-2。(%-2)6'-。2%2(。>0)恰有兩個零點，則4=.

2

【答案】—e

2

【解析】

【分析】利用導數，求出“X)的單調區間，由函數八％)恰有兩個零點即函數“X)與X軸有兩個不同的

交點，從而建立等量關系求解可得.

【詳解】因為〃x)=e2x—2a(x—2)爐—/爐.>0),

所以/'(x)=2e"-2a［e*+(*_2)砂］_2/%=2(e*_ox)(e*+a)

令y=ex-ax,則y'=e*-a,令y'>0,

故當x>lna時y'>0,函數y=e*-ax為增函數，

當x<lna時y'<0,函數y=e*-ax為減函數，

即當x=lna時函數y=e*—ax有最小值a(lTna),

若a。—Ina)NO,即0<aWe時/''(x"。，此時函數/(%)在R上為增函數，與題意不符；

若a(l—lna)<0,即a〉e時，此時函數丁=6"-女,(。>0)與x軸有兩個不同交點，

e項—ax

設交點為(占,0),(%,0),且0<須<尤2，即<丫11

2

e=ax2

所以當x<%i或無時y>0,即用x)>0,此時函數/(%)為增函數，

當石<》<9時y<0,即/'(力<0,此時函數/(%)為減函數，

依題意，函數/(九)恰有兩個零點即函數/(可與x軸有兩個不同的交點，即/(石)=0或/(電)=0，

所以e""—2a(%—2)e』一/x^=0或e2*_2。(9—2)e2—cTx^=0,

化簡得再=2或％2=2,所以。=——

2

2

故答案為：—e.

2

【點睛】根據函數零點個數求解參數范圍的問題的一般方法:

設/(%)=/(%)-g(x)

方法一：轉化為函數-工)與X軸交點個數問題，通過求解/(%)單調性構造不等式求解;

方法二：轉化為函數y=/(x),y=g(x)的交點個數問題求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設數列｛4｝的前〃項和為S“，且5"=24-1.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

logz。",”為奇數

(2)若數列也｝滿足d=<，求數列｛〃｝的前2”項和心,.

a“,九為偶數

【答案】(1)an=2"-'

17

(2)T=-x22,!+1+n2-?——

22,1n33

【解析】

&,〃二1

【分析】(1)根據。求得a”.

(2)根據分組求和法求得正確答案.

【小問1詳解】

依題意，S,=2a”—1,

當〃=1時，%=2%-1,4=1,

當〃之2時，Sn_x—2an_x—1,

所以4==2an-2%,an=2冊式〃22),

所以數列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數列，

所以a〃=2"T,%也符合.

所以4=2"!

【小問2詳解】

1,九為奇數

由⑴得或=<所以

2"、九為偶數'

/“=(0+2+4++2H-2)+(2+23++22,!~')

21-4

22

=—x4An+n2-n——

33

2n+l

=Lx2+n--n--

33

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，CD//AB,NA5c=90°,AB=2BC=2CD=4,三棱錐3—

的體積為逑.

(1)求點尸到平面ABC。的距離；

⑵若PA=PD,平面PAD，平面ABCD,點N在線段AP1.,AN=2NP,求平面NCD與平面ABCD

夾角的余弦值.

【答案】(1)V2

⑵逅

3

【解析】

【分析】(1)根據等體積法求得點尸到平面ABCD的距離；

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面NCD與平面ABC。夾角的余弦值.

【小問1詳解】

設點尸到平面A3CD距離為心

472

由題可知SABo=gA3-3C=4,

所以“=生3=生回=后，

q4

uABDf

所以點尸到平面ABCD的距離為J5.

【小問2詳解】

取AD的中點M,連接PM,因為PA=PRPAfLAD,

又平面Q4D，平面ABCD且交線為AD,P/0u平面MD,PM±AD,

所以PM_L平面ABC。，由（1）知PM=日

由題意可得3。=272,AD=y/（4-2）2+22=20，

所以">2+應>2=超2,所以AD13Z）

以。點為坐標原點，ZM為了軸，05為丁軸，過點。作的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系，則A（2A/2,0,0）,P（V2,0,V2）,C（-V2,0,0）,

依題意℃=「亞，亞,O）,AP=b0,O,0）,AN=|AP=一半,0,半，

所以DN=ZM+AN=1^,0,^,

I33J

設平面NCD的法向量為&=（%,%4）,

4-DC=-拒X[+y/2yl=0

則4后2庭，故可設勺=（1,1,一2）,

々?DN=------%H--------Z]=0

、33

平面A5CD的一個法向量為%=（0,0,1）,

設平面NCD與平面ABCD的夾角為。，

I~2\=^-

則cos6=COS(%，幾2

|\/6xl|3

所以平面NC。與平面ABCD夾角的余弦值為逅

3

7T

19.記,ABC的內角A,5,C的對邊分別為〃方,c,已知/?51口5+。5111角一々511124=2^51口35111。且。w—.

2

,71

(1)求證：B=A-\—；

2

(2)求cosA+sinjB+sinC的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵(A/2,3)

【解析】

7T

【分析】(1)根據正弦定理和余弦定理可把題設中的邊角關系化簡為cosA=sinB,結合誘導公式及C豐一

2

71

可證5=A+—.

2

71

(2)根據3=A+—及cosA=sin5,結合誘導公式和二倍角余弦公式將

2

cosA+sinB+sinC=2sinB+sinC=2sin[A+'1J+sin[5-2A]化為21cosA+4]--,先求出角

A的范圍，然后利用余弦函數和二次函數的性質求解即可.

【小問1詳解】

因為〃sinB+csinC-asinAuZAsinBsinC，

由正弦定理得，b2+c2-a2-2bcsinB>由余弦定理得Z??+c?—a?=2bccosA=2bcsin5，

jrjr

所以cosA=sin6,又cosA=sin(5—A),所以$也(萬—A)=sin3.

兀71

又0<A<JI,0<_B<兀，所以—A=5或—A+5=7i,

22

jrjr

所以A+5='或5=A+—,

22

TT'llTT

又Cw—,所以4+3=兀—CH—,所以3=A+—,得證.

222

【小問2詳解】

TTTT

由(1)知5=A+—,所以。=兀一A—3二一一2A,

22

又cosA=sinB,所以cosA+sinB+sinC=2sinJB+sinC=2sinA+—+sin--2A

=2cosA+cos2A=2cos2A+2cosA-l=2cosA+———，

I22