所謂時域是指一個或多個信號其取值大小、相互關系等，可定義為很多不同的時間函數(shù)或參數(shù)，這些時間函數(shù)或參數(shù)的集合稱為時域。時域分析指計算這些函數(shù)并進行分析。顯然對于確定性信號或隨機信號存在不同的定義及處理方法。隨機信號的定義及處理方法比較復雜，確定性信號的處理則與隨機信號中的各態(tài)歷經(jīng)過程的處理類似，所以以下敘述中以隨機信號的定義及處理方法為主，確定性信號的處理可參見各態(tài)歷經(jīng)過程的處理。

1.3.4信號的時域分析5/25/20241

根據(jù)時間函數(shù)或參數(shù)的不同，時域進一步細分還可以分為幅值域、時差域、倒頻域、復時域等。

1、幅值域對樣本記錄的取值進行統(tǒng)計，稱為在幅值域內對信號進行研究．在此幅值是廣義的幅值，即樣本記錄的一切可能取值。在幅值域內幾個最重要的基本概念是概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)、隨機過程的數(shù)字特征（均值、均方值、方差、歪度、峭度等）。5/25/20242演示實驗：5/25/20243（1）概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)①隨機信號的概率表示

在研究下圖所示的N個隨機信號樣本時，在確定時刻t，隨機變量X（t）的大小是不同n個，可定義其概率為：5/25/20244

②概率密度函數(shù)

隨機信號研究中，經(jīng)常用到概率密度函數(shù)，其定義如下式：即概率密度函數(shù)與研究的時刻有關。

5/25/20245

概率密度函數(shù)計算可見下圖。概率密度函數(shù)提供了隨機信號沿幅值域分布的信息，是隨機信號的重要特征參數(shù)之一。不同的隨機信號有不同的概率密度函數(shù)圖形，因此可以利用它作信號分析的依據(jù)。5/25/20246③直方圖

以幅值大小為橫坐標，以每個幅值間隔內出現(xiàn)的頻次為縱坐標進行統(tǒng)計分析的一種方法。直方圖概率密度函數(shù)歸一化5/25/20247下圖是四種常見隨機信號（這里均假設信號的均值為零）的概率密度函數(shù)圖形。5/25/20248實驗圖譜

5/25/20249實驗圖譜

5/25/202410

（2）隨機過程的數(shù)字特征

①均值均值用以描述信號的穩(wěn)定分量，隨機過程X(t)的均值

X（t）定義為：

式中，E[]表示方括號中內容的數(shù)學期望或稱為算術平均值。均值

x（t）腳標x在此表示下式實際上是按t時刻的隨機變量X統(tǒng)計的，所以一般隨機過程的均值

x（t）為選定時刻t的函數(shù)。均值又稱為一階矩。5/25/202411均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之為直流分量。5/25/202412②均方值、均方根值

均方值和均方根值用于描述信號的能量，隨機過程X（t）的均方值

x2（t）定義為：

均方根值定義為均方值

x2（t）的正平方根。均方值又稱為二階矩。5/25/202413信號的均方值E[x2(t)]，表達了信號的強度；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)，也是信號平均能量的一種表達。

5/25/202414③方差、標準差

方差和標準差用于描述信號的波動分量，隨機過程X（t）的方差

x2（t）定義為：5/25/202415方差：反映了信號繞均值的波動程度。大方差

小方差

5/25/202416

④歪度歪度反映信號中大幅值成分的影響，隨機過程X（t）的歪度

x（t）定義為,歪度又稱為三階矩。5/25/202417⑤峭度

峭度反映信號中影響，隨機過程X（t）的峭度

x（t）定義為,峭度又稱為四階矩5/25/202418⑥均值、均方值、方差、歪度、峭度與概率密度函數(shù)之間的關系，見下圖：5/25/2024195/25/202420（3）平穩(wěn)隨機過程與非平穩(wěn)隨機過程

當隨機過程X（t）的所有統(tǒng)計量不隨時間變化時，稱為嚴格意義上的平穩(wěn)隨機過程，主要統(tǒng)計如均值、均方值、方差或自相關函數(shù)、互相關函數(shù)不隨時間或所研究的時刻變化時，稱為廣義的平穩(wěn)隨機過程，反之則為非平穩(wěn)隨機過程。對于平穩(wěn)隨機過程，均值、均方值與方差等都是常數(shù)，自相關函數(shù)和互相關函數(shù)只是時間差

的函數(shù)。5/25/202421（4）各態(tài)歷經(jīng)隨機過程為了計算隨機過程X（t）的統(tǒng)計量，需要知道X（t）的全部樣本函數(shù)（理論上應為無限多個）或概率密度函數(shù)，實際上是很難做到的。而在隨機平穩(wěn)過程中，若任一單個樣本的時間平均統(tǒng)計統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)隨機過程叫各態(tài)歷經(jīng)（遍歷性）隨機過程。工程中存在這一類平穩(wěn)隨機過程或可近似當作各態(tài)歷經(jīng)隨機過程來處理，因此，只對其某個樣本函數(shù)進行研究，就能計算該隨機過程X（t）的各統(tǒng)計量。各統(tǒng)計量的新定義為：計算簡圖見5/25/2024225/25/202423

式中T---表示樣本信號的長度。確定性信號中非周期信號的各統(tǒng)計量計算公式與各態(tài)歷經(jīng)過程完全相同，對于周期信號，上式中的T表示周期信號的周期，不需要取極限過程。5/25/202424（5）應用超門限報警信號類型識別

基本參數(shù)識別Pp-p5/25/202425案例：汽車速度測量:5/25/202426案例：旅游索道鋼纜檢測超門限報警

5/25/2024275/25/2024282、時差域

對樣本記錄在不同時刻取值的相關性進行統(tǒng)計，稱為在時差域內對信號進行研究。在時差域內幾個最重要的基本概念是自相關函數(shù)、互相關函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)等。（1）變量相關的概念統(tǒng)計學中用相關系數(shù)來描述變量x，y之間的相關性。是兩隨機變量之積的數(shù)學期望，稱為相關性，表征了x、y之間的關聯(lián)程度。

5/25/202429xyxyxyxy5/25/202430（2）波形變量相關的概念（相關函數(shù)）如果所研究的變量x,y是與時間有關的函數(shù)，即x(t)與y(t)：x(t)y(t)5/25/202431這時可以引入一個與時間τ有關的量，稱為函數(shù)的相關系數(shù)，簡稱相關函數(shù)，并有：相關函數(shù)反映了二個信號在時移中的相關性。x(t)y(t)5/25/202432

①自相關函數(shù)

自相關函數(shù)是指用以描述信號自身的相似程度。對于某一個隨機過程（各態(tài)歷經(jīng)隨機過程）X（t），若X（t）和X（t+

）見圖所示,其自相關函數(shù)定義為：5/25/202433算法：令x(t)、y(t)二個信號之間產(chǎn)生時差τ，再相乘和積分，就可以得到τ時刻二個信號的相關性。

x(t)y(t)時延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)積分器

Rxy(τ)自相關函數(shù)：x(t)=y(t)5/25/202434由于周期信號的自相關函數(shù)是周期函數(shù)，而白噪聲信號的自相關函數(shù)是

函數(shù)，所以進行自相關函數(shù)分析，可以發(fā)現(xiàn)淹沒在噪聲中的周期信號。5/25/2024355/25/202436

上圖四種典型信號的自相關函數(shù)，稍加對比可以看到自相關函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手段。只要信號中含有周期成分，其自相關函數(shù)在

很大時都不衰減，并具有明顯的周期性。不包含周期信號成分，當

稍大時自相關函數(shù)就將趨近于零。寬帶隨機噪聲的自相關函數(shù)很快衰減到零，窄帶隨機噪聲的自相關函數(shù)則有較慢的衰減特性。5/25/202437平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)有以下重要性質：5/25/202438②互相關函數(shù)

互相關函數(shù)是指用以描述兩個信號之間的相似程度或相關性。對于某二個隨機過程X（t）和Y（t）（各態(tài)歷經(jīng)隨機過程）。

其互相關函數(shù)定義為：

如果X（t）和Y（t）兩信號是同頻率的周期信號或者包含有同頻率的周期成分，那么，即使T

，互相關函數(shù)也不收斂并出現(xiàn)該頻率的周期成分。如果兩信號含有頻率不等的周期成分，則兩者不相關。這就是說，同頻相關，不同頻不相關。5/25/202439互相關函數(shù)的意義可由下圖來說明：5/25/2024405/25/202441例：設有兩個周期信號x（t）和y（t）

x（t）=Asin（

0t+）

y（t）=Bsin（0t+-）

式中---x（t）相對于t=0時刻的相位角；

---x（t）與y（t）的相位角。

解：因為兩個信號是同頻率的周期函數(shù)，其周期為T0=2/0，有根據(jù)三角公式5/25/202442由這個例子可見，兩個均值為零，且有相同頻率的周期信號，其相關函數(shù)中保留了這兩個信號的圓頻率

0，對應的幅值A和B以及相位差值的信息。5/25/202443例：若兩個周期信號x（t）和y（t）的圓頻率不等試求其互相關函數(shù)。解：因為兩個信號的圓頻率不等（

1

2），不具有共同的周期，因此按定義式計算5/25/202444

由此可見，兩個非同頻率的周期信號是不相關的。互相關函數(shù)的這些性質，使它在工程應用中有重要的價值。在噪聲背景下提取有用信息的一個非常有效的方法叫相關濾波，它是利用互相關同頻相關、不同頻不相關的性質來達到濾波效果的。互相關技術還廣泛應用于各種測試中，如利用相關技術通過兩個間隔一定距離的傳感器來非接觸地測量運動物體的速度等。5/25/2024455/25/202446相關函數(shù)的性質

相關函數(shù)描述了兩個信號間或信號自身不同時刻的相似程度，通過相關分析可以發(fā)現(xiàn)信號中許多有規(guī)律的東西。

（1）自相關函數(shù)是的偶函數(shù)，RX()=Rx(-)；（2）當=0時，自相關函數(shù)具有最大值。（3）周期信號的自相關函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，但不保留原信號的相位信息。（4）隨機噪聲信號的自相關函數(shù)將隨的增大快速衰減。5/25/202447（5）兩周期信號的互相關函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，且保留原了信號的相位信息。（6）兩個非同頻率的周期信號互不相關。5/25/202448相關分析的工程應用

案例：機械加工表面粗糙度自相關分析性質3,性質4:提取出回轉誤差等周期性的故障源。5/25/202449案例：自相關測轉速理想信號干擾信號實測信號自相關系數(shù)性質3，性質4：提取周期性轉速成分。5/25/202450案例：地下輸油管道漏損位置的探測X1X25/25/202451式中S—兩傳感器的中點至漏損處的距離。

v—音響通過管道的傳播速度。

5/25/202452案例：地震位置測量5/25/202453案例：傳遞路徑的識別，如下圖所示，輸入信號x（t）從A點可以通過兩條途徑傳輸?shù)紹點，得到輸出y（t），其一是通過空氣的傳播，其傳播時間另一條途徑是通過桶壁傳播，其其傳播時間t1。互相關圖的兩個峰值點時延分別與t1、t2對應，這樣即可定出信號由A點傳輸?shù)紹點的兩條路徑的傳輸效率。5/25/202454（3）信號相關的物理解釋

對信號相關的物理解釋可以多方面的，根據(jù)工程信號處理應用主要有兩個方面：

①信號相關是波形相似的度量下圖A列出四個樣本波形，從波形相似的觀點出發(fā)觀測這四個波形，可以看到波形a、b較為相似，波形c如向左移動值則與前兩者也較相似，而a、b、c與d顯然很不相似。這種觀測是定性的、粗略的估計。如果要精確地、定量地估計波形相似程度，需要更進一步的分析。下圖B是二樣本波形x（t），y（t），假設要度量他們之間相似程度，需對它們在波形相對應的時間軸上取幅值相比較，求各時間點上兩個信號幅值之差，如這一差值愈小則波形就愈相似。5/25/202455波形相似性分析5/25/202456②相關是周期信號中同頻成分的反映同頻無相位差的二正弦（或余弦）信號具有最好的相關性。同頻無相位差的正弦與余弦信號，具有零相關函數(shù)值。兩不同頻的正弦（或余弦）諧波信號，具有零相關函數(shù)值。5/25/2024573、隨機函數(shù)的相關函數(shù)與其頻譜的關系

（1）對于平穩(wěn)隨機信號，自相關函數(shù)Rx（）是時域描述的重要統(tǒng)計特征，而功率譜密度函數(shù)Sx（f）則是頻率域描述的重要統(tǒng)計特征，可以證明Rx（）與Sx（f）有密切的關系5/25/202458同理可以證明5/25/202459

可見，自相關函數(shù)Rx（）與自功率譜函數(shù)Sx（f）構成了一對傅里葉變換對，即上面兩個式子組成的傅里葉變換對被稱為維納-辛欽定理，維納-辛欽定理揭示了平穩(wěn)隨機信號時域統(tǒng)計特征與其頻域統(tǒng)計特征之間的內在關系，是分析隨機信號的重要公式。正變換反變換5/25/202460

Rx（）和Sx（f）之間是傅里葉變換對的關系，二者惟一對應，Rx（）中包含著Sx（f）的全部信息。Rx（）是實偶函數(shù)，Sx（f）亦為實偶函數(shù)

例：以知，有限帶寬白噪聲信號的自功率譜密度函數(shù)試求其自相關函數(shù)。解：根據(jù)維納-辛欽定理，自相關函數(shù)與自功率譜密度函數(shù)為傅里葉變換，則5/25/202461可知，限帶白噪聲的自相關函數(shù)是一個sinc（

）型函數(shù)。由這個例子可以說明，隨機信號自相關函數(shù)在=0點附近有較大值，隨值增大，Rx（）衰減為零。

（2）可證明，互譜密度函數(shù)Sxy（）和互相關函數(shù)Rxy（）也構成一對傅里葉變換對，即5/25/202462式中5/25/202463（3）工程應用

功率譜的應用的主要出發(fā)點是基于它的物理含義和數(shù)學特征。

利用功率譜的數(shù)學特點求取信號傳遞系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。旋轉機械振動特征檢測。旋轉機械的轉軸部件從啟動，升速到額定轉速的過程經(jīng)歷了全部轉速的變化，因此在各個轉速下的振動狀態(tài)可用對機器的臨界轉速、固有頻率和阻尼比等各參數(shù)進行識別。啟動和停車過程包含了豐富的信息，是常規(guī)運行狀態(tài)下所無法獲得的。描述這種瞬態(tài)過程的一種方法是“瀑布圖法”，它是在機械振動或停車過程中將不同轉速下振動的功率譜圖疊加而成的，由于這種圖的結構形似瀑布，故稱“瀑布圖”5/25/202464下圖a是根據(jù)旋轉機械不同轉速下的功率譜所制成的一張瀑布圖，圖中橫坐標為頻率，縱坐標為機器自零到額定轉速的轉速，該圖由20個功率譜疊加而成。圖b為對該瀑布圖所作的一個分析圖。由它可見機器的轉速（基頻）n（r/min）及其各次諧波下的譜峰高度，由此可得出機器的臨界轉速、固有頻率及阻尼比等數(shù)據(jù)。從圖b可見，機器臨界轉速約為4000r/min，且機器振動的高次諧波分量很小，主要是回轉頻率處的譜峰，因此可判斷轉子存在較嚴重的失衡（轉子不平衡）。此外還可看到圖中60Hz處有一譜峰值，它不隨轉速升高而改變，判斷為電源的脈動干擾。5/25/202465旋轉機械的瀑布圖，a、由機器在不同轉速下的功率譜疊加成的瀑布圖b、瀑布分析圖5/25/202466（4）相干函數(shù)

與互相關函數(shù)的不等式類似，對互功率譜也有下列不等式成立：

|Sxy（f）|2

Sx（f）Sy（f）根據(jù)上面的不等式，定義