專題4.1圖形的認識（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】幾何圖形【1】幾何圖形分類立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.平面圖形：三角形、四邊形、圓等.幾何圖形【2】立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進行折疊就會得到相應的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機地結合起來．【3】從不同方向看：主（正）視圖----從正面看幾何體的三視圖左視圖-----從左（右）邊看俯視圖---------從上面看【4】幾何體的構成元素及關系幾何體是由點、線、面構成的.點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.【知識點二】線段、射線、直線【1】線段、射線、直線的定義（1）線段：線段可以近似地看成是一條有兩個端點的崩直了的線。線段可以量出長度。（2）射線：將線段向一個方向無限延伸就形成了射線，射線有一個端點。射線無法量出長度。（3）直線：將線段向兩個方向無限延伸就形成了直線，直線沒有端點。直線無法量出長度。【2】線段、射線、直線的表示方法（1）線段的表示方法有兩種：一是用兩個端點來表示，二是用一個小寫的英文字母來表示。（2）射線的表示方法只有一種：用端點和射線上的另一個點來表示，端點要寫在前面。（3）直線的表示方法有兩種：一是用直線上的兩個點來表示，二是用一個小寫的英文字母來表示。【3】直線公理：過兩點有且只有一條直線。簡稱兩點確定一條直線。【4】線段的比較：（1）疊合比較法；（2）度量比較法。【5】線段公理：“兩點之間，線段最短”。連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。【6】線段的中點：如果線段上有一點，把線段分成相等的兩條線段，這個點叫這條線段的中點。若C是線段AB的中點，則：AC=BC=AB或AB=2AC=2BC。【知識點三】角【1】角的概念：（1）角可以看成是由兩條有共同端點的射線組成的圖形。兩條射線叫角的邊，共同的端點叫角的頂點。（2）角還可以看成是一條射線繞著他的端點旋轉所成的圖形。【2】角的表示方法：角用“∠”符號表示（1）分別用兩條邊上的兩個點和頂點來表示。（頂點必須在中間）（2）在角的內部寫上阿拉伯數字，然后用這個阿拉伯數字來表示角。（3）在角的內部寫上小寫的希臘字母，然后用這個希臘字母來表示角。（4）直接用一個大寫英文字母來表示。【3】角的度量：會用量角器來度量角的大小。【4】角的單位：角的單位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的單位是60進制與時間單位是類似的。度、分、秒的換算：1°=60′，1′=60″。【5】銳角、直角、鈍角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的兩邊成一條直線時，這個角叫平角。（2）周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合時，這個角叫周角。（3）0°<銳角<90°，直角=90°，90°<鈍角<180°，平角=180°，周角=360°。【6】畫兩個角的和，以及畫兩個角的差（1）用量角器量出要畫的兩個角的大小，再用量角器來畫。（2）三角板的每個角的度數，30°、60°、90°、45°。【7】角的平分線從角的頂點出發將一個角分成兩個相等的角的射線叫角的平分線。若BD是∠ABC的平分線，則有：∠ABD=∠CBD=∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD【8】角的計算。【9】角的互余互補關系（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.【考點目錄】【考點1】幾何圖形【考點2】直線、射線、線段的理解認識【考點3】角的理解認識【考點4】線段的有關計算【考點5】角的有關計算【考點6】兩點之間距離兩點確定一條直線的理解【考點7】線段、角的綜合【考點目錄】【考點1】幾何圖形【考點2】直線、射線、線段的理解認識【考點3】角的理解認識【考點4】線段的有關計算【考點5】角的有關計算【考點6】兩點之間距離兩點確定一條直線的理解【考點7】線段、角的綜合【考點1】幾何圖形【例1】（2023上·江西南昌·七年級校考期中）如圖，這是正方體紙盒的表面展開圖，相對兩個面的代數式之和都相等，設，請解答下列問題：

（1）求F所代表的代數式．（2）若，求F所代表的代數式的值．【答案】（1）；（2）【分析】題考查了正方體向對兩個面上文字以及整式的加減：（1）根據題意可得面A和面D相對，面B和面F相對，面C和面E相對，再由相對兩個面的代數式之和都相等，可得，然后根據整式的加減運算，即可求解；（2）把代入（1）中結果，即可求解．（1）解：根據題意得：面A和面D相對，面B和面F相對，面C和面E相對，∵相對兩個面的代數式之和都相等，∴，（2）解：當時，．【變式1】（2023上·重慶沙坪壩·七年級重慶市鳳鳴山中學校聯考階段練習）下面幾何體中，從正面看到的平面圖形為三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】從物體前面看所得到的平面圖形，由此進行判斷即可．解：A選項：從圓臺正面看到的平面圖形為梯形，故本選項不合題意；B選項：從圓錐正面看到的平面圖形為三角形，故本選項符合題意；C選項：從圓柱正面看到的平面圖形為長方形，故本選項不合題意；D選項：從長方體正面看到的平面圖形為長方形，故本選項不合題意；故選：B．【點撥】考查從不同方向看幾何體，解題關鍵是掌握從圓錐正面看到的平面圖形為三角形．【變式2】（2023上·全國·七年級專題練習）如圖是一個正方體的平面展開圖，如果將該展開圖折疊成正方體后，相對面上的兩個數互為相反數，則．【答案】3【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間相隔一個正方形，根據這一特點確定x，y，z的相對面，再根據“相對面上的兩個數互為相反數”求出x，y，z的值，然后求解即可．解：∵正方體的表面展開圖，相對的面之間相隔一個正方形，∴2和y是相對面，3和z是相對面，和x是相對面，∵相對面上的兩個數互為相反數，∴，，，∴．故答案為：3．【點撥】本題考查了正方體的展開圖，求出代數式的值，相反數．注意正方體的空間圖形，從相對面入手分析，解決問題．【考點2】直線、射線、線段的理解認識【例2】（2023上·福建寧德·七年級福鼎市第一中學校考階段練習）如圖，已知兩點A，B和線段m．（1）尺規作圖：畫線段，并在線段上截取，使；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在上圖中，若，，點D是線段的中點，求線段的長．請將下面的解題過程補充完整：解：________-________，，，________．∵點D是線段的中點，________．（理由：________）________．【答案】（1）見分析；（2），；4；，線段中點的定義；2【分析】本題考查了線段中點的計算，以及線段的和差．（1）利用尺規作圖的方法作出圖形即可；（2）先根據線段的和差求出的長，再根據中點定義即可求出的長．（1）解：所作圖形，如圖所示，；（2）解：，，，．點是線段的中點，．（理由：線段中點的定義）．故答案為：，；4；，線段中點的定義；2．【變式1】（2023上·四川達州·七年級校考期中）下列說法正確的是（

）A．射線與射線是同一條射線 B．射線的長度是C．直線，相交于點 D．兩點確定一條直線【答案】D【分析】根據射線的表示方法判斷A；根據射線的定義判斷B；根據直線的表示方法判斷C；根據直線的性質公理判斷D．解：A、射線PA和射線AP是同一條射線，說法錯誤；B、射線OA的長度是12cm，說法錯誤；C、直線ab、cd相交于點M，說法錯誤；D、兩點確定一條直線，說法正確．故選：D．【點撥】本題考查了直線、射線的定義及表示方法：直線可用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大些字母（直線上的）表示，如直線AB（或直線BA）．射線是直線的一部分，可用一個小寫字母表示，如：射線l；或用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．直線與射線都是無限長，不能度量．也考查了直線的性質公理．【變式2】（2023上·山西晉城·七年級校聯考階段練習）如圖，直線與相交于點，是直線上一點，以為圓心，長為半徑畫弧，與直線，分別交于點，，再以點為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點，過點作直線，延長交直線于點，若圖中以點為端點的射線有條，與線段相等的線段有條（不包括），則代數式的值為．【答案】【分析】本題考查了射線、線段、代數式求值、整式的加減運算，根據題意得，，再根據整式的加減運算法則得，再將，代入原式即可求解，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．解：依題意得：，，，將，，代入原式得：，故答案為：．【考點3】角的理解認識【例3】（2023上·遼寧沈陽·七年級統考期末）如圖：貨輪O在航行過程中，發現燈塔A在它的南偏東59°的方向上，同時，在它的北偏東37°、南偏西12°、西北方向上又分別發現了客輪B，貨輪C和海島D．（1）求的補角的度數；（2）①求的度數；②求的度數．【答案】（1）127°；（2）①129°，②4°【分析】（1）根據題意得出∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，求出∠BOE的度數，再求出答案即可；（2）①先求出∠AOB的度數，再求出答案即可；②先求出∠BOD和∠WOC的度數，再求出答案即可．（1）解：∵貨輪O在航行過程中，發現燈塔A在它的南偏東59°的方向上，同時，在它的北偏東37°、南偏西12°、西北方向上又分別發現了客輪B，貨輪C和海島D，∴∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，∵∠NOE＝90°，∴∠BOE＝∠NOE?∠BON＝90°?37°＝53°，∴∠BOE的補角的度數是180°?53°＝127°；（2）解：①∵∠BON＝37°，∠AOS＝59°，∴∠AOB＝180°?（∠BON＋∠AOS）＝84°，∵∠WOD＝45°，∴∠WOD＋∠AOB＝45°＋84°＝129°；②∵∠BON＝37°，∠DON＝45°，∴∠BOD＝∠BON＋∠DON＝37°＋45°＝82°，∵∠WOS＝90°，∠COS＝12°，∴∠WOC＝∠WOS?∠COS＝90°?12°＝78°，∴∠BOD?∠WOC＝82°?78°＝4°．【點撥】本題考查了余角與補角和角的和差計算，求出各個角的度數是解此題的關鍵．【變式1】（2023上·陜西西安·七年級校考階段練習）從1點到4點，分針和時針夾角成60°的次數是（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】略【變式2】（2022上·遼寧盤錦·七年級統考期末）如圖，要修建一條公路，從村沿北偏東75°方向到村，從村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路與的方向一致，則的度數為．

【答案】80°【分析】根據題意得出∠FBD的度數以及∠FBC的度數，進而得出答案．解：由題意可得：AN∥FB，EC∥BD，故∠NAB=∠FBD=75°，∵∠CBF=25°，∴∠CBD=100°，則∠ECB=180°-100°=80°．故答案為：80°．

【點撥】此題主要考查了方向角，正確得出平行線是解題關鍵．【考點4】線段的有關計算【例4】（2023上·全國·七年級專題練習）如圖，C是線段上一點，，，點P從A出發，以的速度沿向右運動，終點為B；點Q從點B出發，以的速度沿向左運動，終點為A．已知P、Q同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P運動時間為ts．（1）當P、Q兩點重合時，求t的值；（2）是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，滿足條件的值為4或7或【分析】本題考查了一元一次方程在線段上動點問題中的應用，線段的中點；（1）當P、Q兩點重合時，P、Q兩點運動的距離之和為線段的長；（2）分類討論：①當點C是線段的中點時，②當點P是線段的中點時，③當點Q是線段的中點時；能根據不同的中點進行分類討論是解題的關鍵．（1）解：由題意可得：，，∴當P、Q重合時，，解得：；（2）解：由題意可得：，①當點C是線段的中點時，，解得：；②當點P是線段的中點時，，解得：；③當點Q是線段的中點時，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．【變式1】（2023上·河北滄州·七年級統考期中）三點在同一直線上，兩點之間的距離為，兩點之間的距離為，那么兩點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．以上答案都不對【答案】C【分析】分兩種情況：點C在點B左側和點C在點B右側，分別利用線段的和與差求解即可．解：①若點C在點B左側，如圖，兩點之間的距離為，兩點之間的距離為，；②若點C在點B右側，如圖，兩點之間的距離為，兩點之間的距離為，；∴A，C之間的距離為或，故選：C．【點撥】本題主要考查線段的和與差，分情況討論是解題的關鍵．【變式2】（2023上·廣東佛山·七年級校考階段練習）如圖，點、是線段上兩點，、分別是線段、的中點，給出下列結論：①若，則；②；則；③；其中正確的有（請填寫序號）【答案】①②③【分析】由可得，再由線段的中點，即可判斷①；可得，再由線段的中點可判斷②；由結合線段的中點可判斷③．解：，，是線段的中點，，，，，即，故①正確；，，，M、N分別是線段、的中點，，，，故②正確；M、N分別是線段、的中點，，，，，故③正確；故答案：①②③．【點撥】本題考查了線段的中點定義，線段的和差；能根據所求線段或等式用線段和差表示，并由線段中點進行等量轉換是解題的關鍵．【考點5】角的有關計算【例5】（2023上·陜西寶雞·七年級統考階段練習）點為直線上一點，過點作射線，使．將一直角三角板的直角頂點放在點處．

（1）將三角板按圖1位置擺放，此時是的角平分線，求的度數；（2）將三角板按圖2位置擺放，此時，求的度數．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據補角的定義可得，再根據角平分線的定義可得，再結合垂直的定義運用平角的定義列式計算即可；（2）由可設，則；再結合、運用平角的性質可得，最后根據即可解答．（1）解：，，是的角平分線，，，．（2）解：∵，設，則，，，，．，．【點撥】本題主要考查了考余角和補角、角平分線的定義、三角板等知識點，明確題意、弄清角之間的關系是解答本題的關鍵．【變式1】（2022上·天津·七年級天津外國語大學附屬外國語學校校考期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）將三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，繞點C順時針方向旋轉，當0°＜∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，下列結論中：①若∠DCE=35°，∠ACB=145°；②∠ACB+∠DCE=180°；③當三角尺BCE的邊與AD平行時∠ACE=30°或120°；④當三角尺BCE的邊與AD垂直時∠ACE=30°或75°或120°，正確個數有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據余角的定義、補角的定義和角的和差可判斷①②；畫出對應圖形，結合平行線的性質和三角形內角和定理可判斷③；畫出對應圖形，結合垂直的定義和三角形內角和定理可判斷④．解：∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，∴∠DCB=90°-35°=55°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+55°=145°，故①正確；∵∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠BCD+∠DCE=180°，∴∠ACB+∠DCE=180°，故②正確；當AD//BC時，如圖所示：∵AD//BC，∴∠DCB=∠D=30°，∵∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠DCB=30°；當AD//CE時，如圖所示：∵AD//CE；∴∠DCE=∠D=30°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°,當BE//AD時，延長AC交BE于F，如圖所示：∵BE//AD,∴∠CFB=∠A=60°，∴∠CFE=120°，∵∠E=45°，∴∠ECF=180°-∠E-∠CFE=15°，∴∠ACE=165°，綜上，當三角尺BCE的邊與AD平行時，∠ACE=30°或120°或165°，故③錯誤；當CE⊥AD時，如下圖∵CE⊥AD，∴∠A+∠ACE=90°，∵∠A=60°，∴∠ACE=30°，當EB⊥CD時，如下圖，∵EB⊥CD，∴∠E+∠EFD=90°，∵∠E=45°，∴∠AFC=∠EFD=∠E=45°，∴∠ACE=180°-∠A-∠AFC=75°，當BC⊥AD時，如下圖，∵BC⊥AD，BC⊥CE，∴AD//CE，∴∠DCE=∠ADC=30°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°．綜上所述當三角尺BCE的邊與AD垂直時∠ACE=30°或75°或120°，④正確．故正確的有3個，故選：B．【點撥】本題考查三角板中角度的計算．主要考查平行線的性質、三角形內角和定理、垂直的定義等．三角板是我們生活中常用的工具，可借助實物拼湊得出圖形，再結合圖形分析，注意分情況討論．【變式2】（2023上·江蘇泰州·七年級統考期末）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，、為折痕，點、折疊后的對應點分別為、，若，則的度數為.【答案】/41度【分析】根據折疊的性質得出，根據，得出，進而得出，即可求解．解：∵折疊∴，∴,∴∴，故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質，掌握折疊的性質是解題的關鍵．【考點6】兩點之間距離兩點確定一條直線的理解【例6】（2023下·福建福州·七年級校考開學考試）尺規作圖：如圖，已知點A，點B，直線l及l上一點M．（1）在圖（1）中，請在直線上確定一點O，使點O到點A與點O到點B的距離之和最短，并寫出作圖的依據；（2）在圖（2）中，連接，并在直線l上作出一點N，使得點N在點M的左邊，且滿足．【答案】（1）見分析，作圖依據：兩點之間線段最短；（2）見分析【分析】（1）根據兩點之間線段最短可知，連接與直線的交點即為所求的點O；（2）以M為圓心的長為半徑畫弧，與直線的交點即為點N的位置．（1）解：點O如圖所示，作圖依據：兩點之間線段最短；

（2）解：點N如圖所示．

【點撥】本題考查了尺規作圖，兩點之間線段最短，熟練掌握基本作圖方法是解題的關鍵．【變式1】（2023上·河北石家莊·七年級統考期中）為了讓一隊學生站成一條直線，先讓兩名學生站好不動，其他學生依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那名學生，這種做法依據的幾何知識應是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短C．射線只有一個端點 D．兩直線相交只有一個交點【答案】A【分析】先讓兩個同學站好，實質是確定兩定點，而由兩點即可確定一條直線．解：由題意可知：兩點確定一條直線，故選：A．【點撥】本題考查了直線的性質，解題的關鍵是正確掌握直線的性質．【變式2】（2023上·遼寧錦州·七年級統考期末）下列生活、生產現象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙兩地的路程；③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子；④從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設．其中能用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的現象有．【答案】②④【分析】直接利用線段公理以及直線公理分別分析得出答案．解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，利用的是“兩點確定一條直線”，故①不合題意；②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙兩地的路程，可用“兩點之間線段最短”來解釋，故②符合題意；③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子，利用的是“兩點確定一條直線”，故③不合題意；④從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設，可用“兩點之間線段最短”來解釋，故符合④題意；故答案為：②④．【點撥】此題主要考查了線段公理和直線公理，解題關鍵是正確掌握線段公理：兩點之間，線段最短；直線公理：兩點確定一條直線．【考點7】線段、角的綜合【例7】（2022上·陜西西安·七年級校考期末）已知：如圖1，點A、O、B依次在直線上，現將射線繞點O按順時針方向以每秒的速度旋轉，同時射線繞點O按逆時針方向以每秒的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒秒）（1）用含t的代數式表示的度數．（2）在運動過程中，當第二次達到時，求t的值．（3）如果讓射線改變方向，繞點O逆時針方向旋轉，在用時不超過30秒的情況下，用時多少秒，能使得，請直接寫出t的值．【答案】（1）當0≤t≤9時，∠MOA＝20t，當9＜t≤18時，∠MOA＝360°-20t，當18＜t≤27時，∠MOA＝20t-360°，當27＜t≤30時，∠MOA＝；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或28.5【分析】（1）分四種情況，分別求出∠MOA的度數，即可；（2）當∠AOB第二次達到120°時，射線OB在OA的左側，∠AOM與∠BON重疊部分為∠AOB，故有等量關系∠MOA＋∠NOB?∠AOB＝180°，列方程求解可得t．（3）OA、OB都是逆時針旋轉，可理解為初始路程差為180°的追及問題：當∠AOB第一次達到30°時，即OB差30°追上OA，路程差為（180?30）°，即40t?20t＝180?30；第二次達到30°時，即OB追上OA且超過30°，路程差為（180＋30）°；第三次達到30°時，OB再走一圈差30°追上OA，路程差為（180＋360?30）°；第四次達到30°時，OB再次追上且超過30°，路程差為（180＋360＋30）°，此時求出的t已接近30，故不需再求第五次．解：（1）當0≤t≤9時，∠MOA＝20t，當9＜t≤18時，∠MOA＝360°-20t，當18＜t≤27時，∠MOA＝20t-360°，當27＜t≤30時，∠MOA＝，（2）當∠AOB第二次達到120°時，如圖1，得：∠MOA＋∠NOB?∠AOB＝180°